時空Chebyshev偽譜方法求解Burgers方程

王 磊，李海洋

(河南工業職業技術學院基礎教學部，河南南陽473000)

1 引言及預備知識

Burgers方程是流體力學的基本偏微分方程，它發生在數學和物理的各個領域，如氣體動力學模型和交通流模型［1-3］.目前，常用的求解Burgers方程的方法是空間有限差分、有限元、間斷有限元等，時間上一般用TVD Runge-Kutta法或一般顯式方法等，這些方法存在的缺陷是在時空上不具備高階精度.Chebyshev偽譜法是一種高效的、高精度的計算微分方程的數值方法，它與有限元法和有限差分相比，它的計算速度快，計算精度高，適合大規模模型的計算［4-6］.因此，研究用時空Chebyshev偽譜方法求解Burgers方程就顯得尤為重要了.

考慮下面Burgers方程［1］的初邊值問題

其中，v為常數，φ(x)、ψ1(t)和 ψ2(t)為已知函數.

本文首先運用Chebyshev偽譜法對空間導數進行離散，然后再使用Chebyshev偽譜方法求解離散后的常微分方程組，并通過數值試驗給出性能分析圖，證明了此方法的有效性.

2 譜配置點法及微分矩陣

3 Chebyshev偽譜方法求解常微方程組

4 Chebyshev偽譜方法求解Burgers方程

5 數值試驗

考慮方程(1)［1］，取t0=0，T=1，a=0，b=1，初始條件為

邊界值條件為

該問題的精確解為

圖1為Nt=8，Nx=10時的時空網格圖，圖2為Nt=25，Nx=30時的時空網格圖，圖3為精確解曲面圖，圖4為Nt=25，Nx=30時的數值解曲面圖，圖5為Nt=25，Nx=30時的精確解和數值解的絕對誤差曲面圖，當Nt=20時，對空間配置節點進行誤差性能分析得到圖6，當Nx=30時，對空間配置節點進行誤差性能分析得到圖7.

圖1 Nt=8,Nx=10時的時空網格圖Fig.1 The space-time trellis of Nt=8,Nx=10

圖2 Nt=25,Nx=30時的時空網格圖Fig.2 The space-time trellis of Nt=8,Nx=10

圖3 精確解曲面圖Fig.3 The surface chart of exact solutions

圖4 取Nt=25,Nx=30時的數值解曲面圖Fig.4 The numerical solution surface chart of Nt=25,Nx=30

圖5 取Nt=25,Nx=30時的精確解和數值解的絕對誤差曲面圖Fig.5 The absolute error surface plot for the exact solution and the numerical solution of Nt=25,Nx=30

圖6 Nt=20時的對空間配置節點進行誤差性能分析圖Fig.6 The error performance analysis chart for spatial configuration node of Nt=20

圖7 Nx=30時的對時間配置節點進行誤差性能分析圖Fig.7 The error performance analysis chart for time configuration node for of Nx=30

本文從理論上論述了用時空Chebyshev偽譜法求解Burgers方程的可行性，并通過數值實例給出了性能分析圖，可以說明該方法是非常有效的.該方法思路清晰，易于理解，是對求解Burgers方程問題的豐富和發展.

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