基于觀測方程的捷聯系統工具誤差可觀測性分析

高葉葉 李華濱 李 伶 宋維軍

北京航天自動控制研究所,北京 100854

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基于觀測方程的捷聯系統工具誤差可觀測性分析

高葉葉 李華濱 李 伶 宋維軍

北京航天自動控制研究所,北京 100854

針對捷聯導航系統工具誤差可觀測性問題，建立相對較完整的激光慣組誤差模型，并在慣性系中推導了捷聯慣導工具誤差的觀測方程。利用奇異值分解理論(SVD)分析誤差系數的可觀測性，并以仿真程序生成的彈道為例說明了分析捷聯系統工具誤差可觀測性的過程及特點。

捷聯慣導；工具誤差；可觀測性；奇異值分解

隨著計算機技術和慣性器件的飛速發展，捷聯慣性導航系統在上世紀80年代已逐漸進入實際應用階段。捷聯慣導系統最大的特點是用數學平臺代替物理平臺,避免了平臺式慣導系統復雜的物理實體平臺,且捷聯慣導系統的可靠性高，體積小，成本低,還可通過冗余技術提高系統的容錯能力[1]。因此，捷聯系統在導彈慣性導航領域得到了廣泛應用。

對于應用捷聯慣性導航系統的導彈來說，影響其命中精度的因素有很多，如制導工具誤差、方法誤差、初始對準誤差等，其中，制導工具誤差影響最大。實踐證明，對慣性測量元件的工具誤差進行補償是提高導彈命中精度切實可行的方法。捷聯系統工具誤差系數的可觀測性是進行工具誤差系數分離、實現誤差補償的基礎。捷聯系統中用姿態解算矩陣代替物理平臺，而姿態陣解算過程與陀螺儀輸出密切相關，因此陀螺儀誤差密切耦合于捷聯系統解算出的各物理量中，同時加速度計的測量輸出也存在誤差，使工具誤差項的可觀測性更為復雜。誤差的可觀測性直接影響誤差項的估值效果，因此開展針對捷聯系統的工具誤差可觀測性研究很有必要。

本文通過建立激光捷聯慣組的誤差模型，推導計算了捷聯系統工具誤差與遙外差之間的線性關系，即得到工具誤差的可觀測矩陣。介紹了奇異值分解理論(SVD)在捷聯系統誤差系數可觀測性方面的應用；最后選取一段仿真程序得到的彈道應用SVD分析捷聯系統工具誤差的可觀測性。為捷聯系統誤差分離的研究工作提供了參考。

1 建立慣組工具誤差模型

本文以2個兩軸陀螺儀正交安裝的捷聯慣組為研究對象，利用其2個雙敏感軸構成三軸正交系，其敏感軸與飛行器坐標軸平行，敏感測量飛行器角速度在彈體坐標系3個軸方向的投影，其誤差主要包括陀螺零次項漂移、一次項誤差及安裝誤差，其中安裝誤差為3個敏感軸安裝不垂直引起的輸出誤差。因此，建立激光捷聯慣組陀螺儀誤差模型如下：

(1)

其中，αx,αy,αz為陀螺儀輸出值的偏差在彈體系坐標軸方向的投影；ωx1,ωy1,ωz1為飛行器角速度在彈體系坐標軸方向的投影；egij(i,j=x,y,z)為陀螺儀一次項誤差及安裝誤差系數。

捷聯系統中，加速度計測量值為彈體系視加速度，其誤差模型主要包括零次項誤差、一次項誤差、安裝誤差項與二次項誤差。建立誤差模型如下：

(2)

2 計算觀測矩陣

理論論證與飛行實踐表明，捷聯系統工具誤差與遙外差之間可近似認為是線性關系，利用該關系建立觀測方程。

捷聯系統中通過求解飛行器體軸轉動的運動學方程，得出姿態轉換矩陣，從而建立起數學平臺，實現彈體系到慣性系的轉換。姿態陣解算過程與陀螺儀輸出相關，因此陀螺儀誤差密切耦合于捷聯系統解算出的各物理量中。另外，除陀螺儀引起的誤差外，加速度計本身存在漂移，加速度計在安裝時存在不對準情況，也導致視加速度的測量值存在誤差。

綜上，由陀螺儀測量誤差間接引起及加速度計測量誤差直接導致的捷聯系統視加速度偏差總和可表示為：

(3)

其中，陀螺儀引起的視加速度測量偏差為：

(4)

(5)

(6)

其中，D為27×1維工具誤差系數矩陣，式(6)即為遙外差與誤差系數的線性關系式，SV為捷聯系統工具誤差的觀測矩陣。

3 誤差系數可觀測性

觀測矩陣包含了工具誤差可觀測性的全部信息，因此研究誤差的可觀測性即研究其可觀測性矩陣。文獻[2]通過對捷聯系統誤差狀態進行可觀測性的研究，表明動態系統的可觀測性矩陣奇異值的大小能用于定量分析系統可觀測性,定性分析系統可觀測度的大小。分別計算奇異值對應的誤差項的值，可具體分析每一項誤差的可觀測性，對應的奇異值越小，則該項誤差系數的可觀測性越差。

矩陣的奇異值分解：

設A∈Cm×n,rankA=r>0，則A有奇異值分解：

(7)

其中，U為m階酉矩陣，V為n階酉矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1≥σ2≥…≥σr>0是A的r個正奇異值。

將該方法應用到捷聯系統工具誤差可觀測性研究，對前文所得可觀測性矩陣的奇異值分解如下：

(8)

則有：

(9)

若σn>0，則：

(10)

選取

(11)

認為σi對應的誤差項不可觀測。其中α為實數，其值根據工程需要確定。

4 仿真算例

利用仿真程序生成一段彈道，其彈體系角速度與視加速度分別如圖1和2所示。

圖1 彈體系角速度

圖2 彈體系視加速度

利用捷聯系統六自由度彈道仿真程序仿真遙、外測數據，計算該彈道對應環境函數。對環境函數進行奇異值分解，得奇異值見表1。

表1 觀測矩陣的奇異值

根據奇異值整體情況，選取奇異值

即σi(i=19,20,…,27)對應的誤差項為不可觀測項。將σi由小到大排列，根據式(10)分別計算這9個奇異值對應的誤差系數值。下面以圖3(a)，即σ27=0.02191為例說明奇異值與誤差系數項可觀性的關系，其對應項為第10項誤差，該項誤差系數對應的奇異值極小，認為該項誤差系數不可觀測。如此類推，圖3(b)中奇異值對應的不可觀測誤差系數項為第20和21項，即egxy和egxz。綜合奇異值對應的誤差系數值，不可觀測項為kayy，kayz，kazx，kazy，kazz，egxx，egxy，egxz，egyy，egyz，egzy，egzz。

另外，在上述誤差項中，對于第20與21項，即egxy和egxz，該兩項誤差在同一個奇異值計算結果中，總是數值基本相等，符號相反，因此，可判斷該兩項誤差對應的觀測向量為線性相關關系。同理還有egyy與egyz，egzy與egzz，kayy與kayz，kazy與kazz。

圖3 奇異值對應的誤差系數值

利用仿真彈道得到遙外差并計算觀測矩陣。首先，直接利用最小二乘估計得出27項誤差系數估計值，其中前文提及的不可觀測項其估計值與真值偏離大，甚至完全不可信。然后，去掉完全不可觀測的誤差項，將線性相關項合并后重新計算，其估計值更接近真值，整體估值效果得到明顯改善，驗證了前文可觀測性結論的正確性。表2為前文得出的12項不可觀測誤差項估值與真值的對比。表中陀螺儀誤差系數單位為(°)/h，表中誤差項的單位均為1.0×10-5。

同時，圖3(d)中σ24=0.55905對應的誤差項有第11，12，23和24項，即該4項誤差的觀測矩陣相關性極強，其中既有加速度計誤差又有陀螺誤差項，即加速度計誤差與陀螺誤差耦合緊密，前文只對加速度計誤差、陀螺誤差分別進行簡單合并，沒有考慮加速度計與陀螺的耦合關系，加之最小二乘法在處理復共線性較強的問題時有很大的局限性，估計值與真值仍有較大偏差，可以考慮應用貝葉斯估計、主成分估計等算法改進估值效果。

表2 誤差項真值與估計值對比

5 結論

在捷聯系統工具誤差可觀測性分析過程中，分別計算觀測矩陣的奇異值對應的誤差項的值，可具體分析每一項誤差的可觀測性，對應的奇異值越小，則該項誤差系數的可觀測性越差；且同一項奇異值對應的誤差項具有線性相關關系，可為誤差項的取舍、合并提供依據。

[1] David H T-itterton,Jhon L Weston.Strapdown Inertial Navigation Technology[M]. 2nd ed. UnitedKingdom: The Institution of Electrical Engineers,2004:29-33.

[2] 柴衛華,杜亞東,張樹俠.捷聯慣導系統可觀測性的研究[J].哈爾濱工程大學學報, 2000，21(2)：10-14.(Chai Weihua,Du Yadong,Zhang Shuxia.The Study of Observability of Strapdown Inertial Navigation System[J].Journal of Harbin Engineering University, 2000,21(2):10-14.)

[3] 徐延萬.彈道導彈、運載火箭控制系統設計與分析[M].北京: 宇航出版社, 1999.

[4] 程向紅，萬德鈞，仲巡.捷聯慣導系統的可觀測性和可觀測度研究[J].東南大學學報，1997，27(6)：6-10.(Cheng Xianghong,Wan Dejun,Zhong Xun.Study on Observability and Its Degree of Strapdown Inertial Navigation System[J].Journal of Southeast University,1997, 27(6)：6-10.)

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The Observability Analysis of SINS Instrumental Error Based on Observation Equations

GAO Yeye LI Huabin LI Ling SONG Weijun

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

RegardingtheproblemofSINSerrorobservation,establisharelativelycompletelaserSIMUmodelisestablishedandtheformulasofSINSobservationequationarederivedininertialreferenceframe.Then, SVDisusedtostudytheobservationoftheinstrumentalerror.Finally,atrajectorysimulationisusedasaninstancetodemonstratetheSINSerrorobservabilityandfeatures.

SINS;Instrumentalerror;Observation; SVD

2014-01-15

高葉葉(1989-)，女，河北保定人，碩士研究生，主要研究方向為導航與制導；李華濱(1966-)，男，廣西蒙山縣人，研究員，主要研究方向為飛行器導航、制導與控制；李 伶(1972-)，女，湖北赤壁人，研究員，主要研究方向為飛行器制導與控制；宋維軍(1979-)，男，山東日照人，高級工程師，主要研究方向為飛行器導航、制導與控制。

V249.32+2

A

1006-3242(2014)03-0029-04