基于兩步估計的空間非合作目標相對軌道確定方法研究

車汝才

北京控制工程研究所，北京100190

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基于兩步估計的空間非合作目標相對軌道確定方法研究

車汝才

北京控制工程研究所，北京100190

研究運行于橢圓軌道的衛星相對軌道確定問題，適用于配置有非合作測量敏感器的衛星。首先給出了以相對運動狀態描述的橢圓軌道相對運動方程(T-H方程)，并給出了解析解;其次根據星間測量幾何關系對應的測量方程，提出一種新的基于兩步估計的相對軌道確定方法;最后通過數學仿真對算法的有效性進行了驗證。

兩步估計;非合作目標;相對軌道確定;橢圓軌道;衛星

對空間非合作目標跟蹤飛行可以進行實時觀測或監視[1]，國外很早就開展了相關研究，如美國XSS系列衛星具有自主交會對接、軌道監視、以及圍繞目標近距離機動等能力[2]，美國AeroAstro公司提出的Escort微小衛星能夠對空間目標進行在軌監視、逼近等，沿航向對目標進行跟蹤飛行并實現三維觀測[3]。因此，跟蹤空間非合作目標在軍事、商業和科學等領域具有廣泛的應用前景。

若追蹤星能利用星載測量設備完成自主相對軌道確定，則可對在軌自主軌道跟蹤或構型保持任務提供重要的依據。利用相對距離、方位角和俯仰角測量信息來確定相對軌道信息，已有很多學者開展了研究，如文獻[4-5]分別針對圓軌道C-W方程利用Kalman濾波和EKF算法研究了編隊飛行的相對軌道確定問題；文獻[6]針對非合作目標相對導航問題提出了粒子濾波算法，但是系統模型都局限于C-W方程；文獻[7]根據非線性系統方程提出了EKF算法，但是算法收斂速度略慢。對于空間非合作目標跟蹤任務，算法的收斂速度將是值得考慮的因素。

考慮到非合作目標的軌道具有一定任意性，利用圓軌道模型的C-W方程將有一定的局限，模型誤差較大。因此本文從一般性出發，針對橢圓道衛星的相對軌道確定問題進行了研究，提出了采用橢圓軌道T-H方程進行相對軌道確定的思路。在測量信息選擇方面，根據常用的幾類相對導航敏感器，如微波測距儀、可見光相機、激光雷達等，采用相對距離、方位角和俯仰角作為系統測量信息，并針對相對軌道確定算法的快速收斂問題，提出一種新的基于兩步估計的相對軌道確定方法，該算法收斂速度快，最后通過數學仿真對算法有效性進行了驗證。

1 橢圓軌道衛星相對運動方程

首先定義如下坐標系：

1) 地心慣性坐標系OXYZ：坐標系原點O為地心，X軸指向春分點，Z軸指向北極，Y軸按右手法則確定；

圖1 空間坐標系示意圖

1.1 衛星相對運動方程

參考軌道坐標系原點位于追蹤星質心，并設追蹤星和目標星在地心慣性系中的位置矢量分別為rc和rt，目標星相對于追蹤星的位置矢量ρ在參考軌道坐標系中坐標為[x,y,z]T，則

(1)

求取式(1)對時間的二階導數：

(2)

(3)

若目標星與追蹤星間的相對距離ρ?rc，可忽略二次以上高階項，整理得到理想二體軌道運動假設下相對運動方程[8](T-H方程)：

(4)

式中，η=1+ecosθ，e為軌道偏心率。將對時間的導數轉換為對真近點角θ的導數，可將T-H方程從時域轉換至θ域，并寫成狀態方程的形式：

(5)

(6)

T-H方程是線性方程，其模型誤差取決于相對距離與地心距的比值，比值越小誤差也越小。

1.2 衛星相對運動方程解析表達式

引入變量X=[x,y,z,x′,y′,z′]T，在理想二體假設下，T-H方程存在如下解析解[9]：

X(θ)=ΦX(θ0)=ΦaΦbX(θ0)

(7)

(8)

(9)

其中，

φa11=esinθ,φa12=2e2H(θ)sinθ-eη-2cosθ,

φa13=-cosθ,φa21=η,φa22=2eηH(θ),

φa23=(1+η-1)sinθ,φa24=η-1,

φa35=η-1sinθ,φa36=η-1cosθ,φa41=ecosθ,

φa42=2e2H(θ)cosθ+2e2H′(θ)sinθ+

eη-2sinθ-2e2η-3sinθcosθ，

φa43=sinθ,φa51=-esinθ,

φa52=2e[H′(θ)-eH(θ)sinθ+eH′(θ)cosθ],

φa53=(1+η-1)cosθ+eη-2sin2θ,

φa54=eη-2sinθ,φa65=η-1cosθ+eη-2sin2θ,

φa66=eη-2cosθsinθ-η-1sinθ,

φb11=e-1sinθ0,φb14=e-1cosθ0,

φb31=-2e-1η0,φb32=sinθ0,φb35=-e-1η0,

φb42=(1+η0)cos2θ0-1,

其中，

(10)

E為偏近點角，dH保證H(θ0)=0。

2 基于兩步估計法的相對軌道確定

2.1 相對軌道測量方程

在對空間非合作目標進行測量時，一般采用微波雷達、光學相機等設備獲取相對距離ρ、方位角α和俯仰角ε信息，圖2為測量示意圖。本文主要研究相對軌道確定算法，因此不對姿態確定作詳細討論，選擇相對位置和相對速度作為估計變量，根據空間幾何關系，測量值ρ，α和ε可表示為

(11)

圖2 相對軌道測量示意圖

2.2 基于兩步估計的相對軌道確定

(12)

兩步估計法可以更好地利用有效的測量信息，提高狀態估計的精度，其中的迭代計算有助于消除初始誤差帶來的影響。下面給出其具體計算公式。

第1步估計可由如下方程進行描述：

(13)

式中，

(14)

(15)

由于第1步估計的測量方程為線性方程，利用卡爾曼濾波可求出Yk的最優估計值

(16)

(17)

(18)

其中，ek為第2步估計的測量噪聲，其協方差矩陣為Pyk。式(18)為非線性方程，可以利用Gauss-Newton算法求其最優解，迭代計算公式如下

(19)

(20)

需指出第2步估計必須在第1步估計的測量更新和時間更新之間進行。圖3給出了兩步估計算法的詳細計算流程。

圖3 兩步估計法計算流程圖

(21)

其中，K為采樣數。

3 仿真算例

衛星初始軌道根數如表1，仿真中考慮J2攝動，假設相對距離測量精度10m，方位角和俯仰角測量精度均為0.01°，測量采樣周期1s。系統動態噪聲協方差陣Q=diag{0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1}，測量噪聲協方差陣R=diag{102,3×10-8,3×10-8}，初始狀態協方差陣MX1=diag{108,108,108,108,108,108}。仿真時間為1個軌道周期，同時采用兩步估計和EKF兩種方法進行比較。

表1 初始軌道參數

圖4～5給出整個仿真周期內相對位置估計誤差和相對速度估計誤差曲線。為了便于分析，圖6～7給出仿真初期50s內相對位置估計誤差和相對速度估計誤差的變化曲線。可以看出，兩步估計算法的初始收斂速度快于EKF算法。圖8～9給出仿真末期1000s內相對位置估計誤差和相對速度估計誤差曲線，濾波算法精度與敏感器測距精度和測角精度有關。仿真表明，兩步估計算法的相對位置估值和相對速度估值基本趨于穩定，EKF算法的相對位置估值已穩定，但相對速度估值仍有一定偏差，但從總體趨勢來看，也將逐漸收斂。

圖4 相對位置估計誤差(整個仿真周期)

圖5 相對速度估計誤差(整個仿真周期)

圖6 相對位置估計誤差(仿真初期50s)

圖7 相對速度估計誤差(仿真初期50s)

圖9 相對速度估計誤差(仿真末期1000s)

為了驗證兩步估計算法的有效性，對兩步估計算法和EKF算法同時進行50次Mente-Carlo仿真。仿真末期的相對位置誤差和相對速度誤差統計結果見圖10～11。統計結果表明，在相同的仿真時間內，兩步估計算法的計算精度優于EKF算法計算精度。

圖10 相對位置估計誤差統計

圖11 相對速度估計誤差統計

以上仿真結果表明兩步估計算法收斂速度快于EKF算法，而且兩步估計算法對初始狀態的選取不敏感，具有一定的魯棒性。對于空間非合作目標跟蹤任務來講，算法的快速收斂性將是一個明顯的優勢，能為跟蹤星后續的制導控制提供有利的時機。由于兩步估計法需要一定的迭代計算，計算量較擴展卡爾曼濾波大。考慮到目前星載計算機的計算能力大幅提升，足以滿足兩步估計算法的計算量。因此，兩步估計算法在未來空間非合作目標跟蹤問題上將有一定的應用前景。

4 結論

研究了橢圓軌道衛星跟蹤空間非合作目標的相對軌道確定問題，利用相對軌道狀態描述的相對運動方程(T-H方程)，提出一種基于兩步估計的相對軌道確定方法，該方法收斂速度快、精度較高，對于快速跟蹤非合作目標具有一定應用價值。考慮到計算模型中未考慮地球形狀攝動的影響，對算法的估計精度有一定影響，后續還需進一步深入研究。

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The Relative Orbit Determination for Non-cooperative Target Based on Two-step Estimator

CHE Rucai

Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190，China

Therelativeorbitdeterminationofellipticorbitsatelliteisdiscussedinthispaper,anditcanbeusedforthenon-cooperativetargetmeasuringandtracking.Firstly,therelativemotionbetweenthechaserandtargetinarbitraryellipticorbitisdescribedbyusingTschauner-Hempelequations.Thehomogenoussolutionoftheseequationscanbeobtainedduetotheeccentricanomaly.Secondly,basedonthethegeometricrelationbetweenthechaserandthetarget,anewtwo-stepestimatorispresentedfortherelativeorbitdetermination.Thesimulationresultsshowtheeffectivenessofthisproposedmethod.

Two-stepestimator；Non-cooperativetarget；Relativeorbitdetermination；Ellipticalorbit；Satellite

2013-07-08

車汝才(1979-)，男，山西人，博士，高級工程師，主要研究方向為衛星相對運動動力學及控制技術。

V448

A

1006-3242(2014)03-0038-06