具有軌道傾角和最大高度約束的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)

張如飛 趙世范

1．北京控制與電子技術(shù)研究所信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038 2．中國(guó)航天二院研究生院，北京 100854

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具有軌道傾角和最大高度約束的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)

張如飛1,2趙世范1

1．北京控制與電子技術(shù)研究所信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038 2．中國(guó)航天二院研究生院，北京 100854

快速響應(yīng)空間固體運(yùn)載火箭軌道轉(zhuǎn)移級(jí)以最大限度利用能量而非消耗能量為目的進(jìn)行耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)，基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種適用于具有軌道、制導(dǎo)多種約束的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)方法，通過(guò)實(shí)時(shí)尋找需要推力方向，充分利用軌道轉(zhuǎn)移級(jí)能量，導(dǎo)引上面級(jí)進(jìn)入具有給定軌道傾角和最大高度約束的轉(zhuǎn)移軌道，同時(shí)實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī)。理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)仿真表明，本文提出的制導(dǎo)方法能在耗盡關(guān)機(jī)條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)移軌道的高精度控制。

快速響應(yīng)空間；耗盡關(guān)機(jī)；閉路制導(dǎo)；能量管理

固體運(yùn)載火箭[1]具有快速準(zhǔn)備、按需發(fā)射、長(zhǎng)服務(wù)周期、強(qiáng)生存、高可靠、低成本和便于長(zhǎng)期貯存等突出特點(diǎn)，通常采用指令關(guān)機(jī)和耗盡關(guān)機(jī)兩種關(guān)機(jī)方式，但指令關(guān)機(jī)需要推力終止系統(tǒng)[2]，不僅增加了結(jié)構(gòu)重量，提高了系統(tǒng)使用成本，而且損失了有效運(yùn)載能力，降低了系統(tǒng)可靠性。因此，耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)問(wèn)題成為研究的熱點(diǎn)，能量管理閉路制導(dǎo)[3-5]是實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)的有效技術(shù)途徑，一系列需求牽引了能量管理閉路制導(dǎo)的發(fā)展與改進(jìn)，如實(shí)現(xiàn)終端多約束[4]、提高耗盡關(guān)機(jī)末速控制精度[6]等，但能量管理的2個(gè)突出特點(diǎn)未變：1)通過(guò)姿態(tài)調(diào)制[7-9]消耗多余能量；2)常姿態(tài)導(dǎo)引段采用零射程線[7,10]保證命中目標(biāo)。

本文以軌道轉(zhuǎn)移級(jí)的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)為方向，提出了一種具有軌道傾角和軌道最大高度約束的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)方法，與基于能量管理閉路制導(dǎo)的耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)不同，其目的不是通過(guò)姿態(tài)交變消耗多余能量，而是最大限度利用軌道轉(zhuǎn)移級(jí)能量，形成盡可能大的轉(zhuǎn)移軌道速度，從而減輕入軌級(jí)的能量需求。該方法數(shù)學(xué)邏輯簡(jiǎn)單、便于工程應(yīng)用且對(duì)轉(zhuǎn)移軌道的控制精度高，適合于固體運(yùn)載火箭的軌道轉(zhuǎn)移級(jí)制導(dǎo)及其它相似應(yīng)用。

1 坐標(biāo)系定義與轉(zhuǎn)換

1.1 發(fā)射慣性坐標(biāo)系

發(fā)射坐標(biāo)系定義：原點(diǎn)取發(fā)射點(diǎn)在當(dāng)?shù)貐⒖紮E球體表面的投影點(diǎn)；OYg軸與當(dāng)?shù)貐⒖紮E球體的法線一致且指向上方；OXg與OYg軸垂直且指向射向；OXgYgZg為右手直角坐標(biāo)系。

在運(yùn)載器發(fā)射瞬間發(fā)射慣性坐標(biāo)系OXIYIZI與發(fā)射坐標(biāo)系OXgYgZg重合，運(yùn)載器發(fā)射后發(fā)射慣性坐標(biāo)系在慣性空間定位定向。

1.2 北天東坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)在運(yùn)載器質(zhì)心，OYN軸與從地心到原點(diǎn)的矢量方向一致；OXN在當(dāng)?shù)刈游缑鎯?nèi)與OYN軸垂直且指向北；OXNYNZN為右手直角坐標(biāo)系。

1.3 坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣

在發(fā)射慣性坐標(biāo)系中描述的地球自轉(zhuǎn)角速度方向和當(dāng)前點(diǎn)地心矢徑方向?yàn)?/p>

(1)

式中，A0為發(fā)射方位角，B0為發(fā)射點(diǎn)地理緯度；r0,x，r0,y，r0,z為發(fā)射點(diǎn)地心距向量在發(fā)射慣性坐標(biāo)系中的分量，x，y，z為當(dāng)前點(diǎn)在發(fā)射慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

當(dāng)前點(diǎn)地心緯度可以按照下式直接計(jì)算：

(2)

北天東坐標(biāo)系到發(fā)射慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[7]

(3)

式中，F(xiàn)11，F(xiàn)12，F(xiàn)13以及F31，F(xiàn)32，F(xiàn)33計(jì)算式為

(4)

2 視速度模量計(jì)算與約束建模

2.1 總視速度模量

設(shè)運(yùn)載器某級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為Isp，其點(diǎn)火點(diǎn)質(zhì)量為m0，該級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)總裝藥量為mf，則其能產(chǎn)生的總的視速度模量為

(5)

可見，某級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)總視速度模量ΔW0與其比沖Isp、初始質(zhì)量m0和耗盡點(diǎn)質(zhì)量(m0-mf)密切相關(guān)，由于m0，mf事先可以比較準(zhǔn)確的得到，因此，按式(5)對(duì)ΔW0的估算偏差主要與比沖Isp相關(guān)。通常ΔW0的估算偏差能夠控制在1.0%以內(nèi)。

2.2 剩余視速度模量

(6)

式中，t0到t時(shí)刻的視加速度模量積分可根據(jù)加表實(shí)際測(cè)量值按照下式計(jì)算：

(7)

對(duì)于式(7)，當(dāng)t=t0時(shí)，ΔW(t0,t0)=0，此時(shí)剩余視速度模量等于總視速度模量；當(dāng)t=tK時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)已至耗盡關(guān)機(jī)時(shí)刻，按式(6)計(jì)算的剩余視速度模量為0。

2.3 軌道約束模型

為了進(jìn)入軌道傾角為i0、高度為h0(相對(duì)平均地球半徑Ra)的圓軌道，根據(jù)霍曼軌道轉(zhuǎn)移理論，建議運(yùn)載器預(yù)先進(jìn)入軌道傾角為i0、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為h0(相對(duì)平均地球半徑Ra)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道，該橢圓轉(zhuǎn)移軌道就是本文研究的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)預(yù)期進(jìn)入的軌道。

下面根據(jù)軌道運(yùn)動(dòng)理論，用數(shù)學(xué)模型描述軌道傾角約束、軌道高度約束。

(1)軌道傾角i0的數(shù)學(xué)模型

由式(2)，可得當(dāng)前點(diǎn)的地心緯度φK。為了進(jìn)入軌道傾角約束為i0的橢圓轉(zhuǎn)移軌道，根據(jù)軌道傾角、地心緯度與速度方位角的關(guān)系式

αR=arcsin(cosi0/cosφK)

(8)

可得當(dāng)前點(diǎn)需要速度方位角αR。

(2)軌道高度h0的數(shù)學(xué)模型

軌道面內(nèi)描述的轉(zhuǎn)移軌道極坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為

r=p/(1-ecosξ)

(9)

式中，p，e為轉(zhuǎn)移軌道半通徑和偏心率；r為飛行點(diǎn)地心距，ξ為飛行點(diǎn)真遠(yuǎn)點(diǎn)角。

要求轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)(ξK=0)高度為h0，則根據(jù)式(9)，該約束可以描述為

rA=Ra+h0=p/(1-e)

(10)

式中，rA為轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)地心距，它等于平均地球半徑加上軌道高度約束h0。

2.4 制導(dǎo)約束模型

要形成轉(zhuǎn)移軌道，除了需要滿足軌道傾角、軌道高度等約束外，還需要保證轉(zhuǎn)移軌道通過(guò)當(dāng)前點(diǎn)以及進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)能量剛好耗盡，這分別對(duì)應(yīng)為當(dāng)前點(diǎn)位置約束和耗盡關(guān)機(jī)約束，建立它們的數(shù)學(xué)模型將為形成耗盡關(guān)機(jī)導(dǎo)引律奠定基礎(chǔ)。

(1)當(dāng)前點(diǎn)位置約束

根據(jù)式(9)，當(dāng)前點(diǎn)位置約束的數(shù)學(xué)模型為

rK=p/(1-ecosξK)

(11)

式中，rK為當(dāng)前點(diǎn)地心距，ξK為當(dāng)前點(diǎn)真遠(yuǎn)點(diǎn)角。

(2)耗盡關(guān)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)當(dāng)前時(shí)刻的剩余視速度模量為ΔWR，當(dāng)前速度為VpI，尋找一發(fā)射慣性坐標(biāo)系中的需要速度VRI，使得下式成立

(12)

3 多約束耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)

3.1 轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)解算

假設(shè)給定當(dāng)前點(diǎn)在轉(zhuǎn)移軌道上的真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξK以及當(dāng)前點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)地心距rK，rA，則根據(jù)式(10)和(11)可以解得轉(zhuǎn)移軌道偏心率及半通徑

(13)

可見，通過(guò)調(diào)整當(dāng)前點(diǎn)真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξK，將會(huì)獲得相同高度約束下的不同橢圓轉(zhuǎn)移軌道。

3.2 發(fā)射慣性坐標(biāo)系需要速度

已知當(dāng)前點(diǎn)真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξK、轉(zhuǎn)移軌道半通徑p，當(dāng)前點(diǎn)需要速度及需要速度傾角為[7]

(14)

結(jié)合式(8)給出的需要速度方位角，可得北天東坐標(biāo)系中的需要速度為

(15)

3.3 耗盡關(guān)機(jī)轉(zhuǎn)移軌道的迭代計(jì)算

給定當(dāng)前點(diǎn)在轉(zhuǎn)移軌道上的真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξK,i，結(jié)合式(12)～(15)，可得相應(yīng)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道以及沿該軌道飛行的需要視速度增量ΔWi：

(16)

由式(12)描述的耗盡關(guān)機(jī)條件可知，當(dāng)剩余視速度模量ΔWR等于當(dāng)前點(diǎn)需要視速度模量ΔWi,即ΔWi=ΔWR時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī)。但實(shí)際上，不可能給定一個(gè)ξK,i，正好得到ΔWi等于ΔWR，因此需要對(duì)式(16)進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代過(guò)程如下：

1)給定真遠(yuǎn)點(diǎn)角ξK,i，由式(16)計(jì)算ΔWi；

2)給定ξK,i+δξ，由式(16)計(jì)算ΔWi+δΔWi，由此得偏導(dǎo)數(shù)

?ξK/?ΔW=δξ/δΔWi

(17)

3)根據(jù)牛頓迭代修正ξK,i，修正公式如下：

ξK,i+1=ξK,i-?ξK/?ΔW×(ΔWi-ΔWR)

(18)

4)判斷迭代是否結(jié)束。計(jì)算對(duì)應(yīng)ξK,i+1的ΔWi+1，當(dāng)

(19)

時(shí)，設(shè)i:=i+1，ξK,i:=ξK,i+1，迭代計(jì)算步驟1)～ 3)；否則停止迭代。

迭代停止后，由式(18)得到的ξK,i+1即為當(dāng)前點(diǎn)在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上的期望真遠(yuǎn)點(diǎn)角，此時(shí)，由式(19)再次調(diào)用式(16)得到的pi，ei即為期望的橢圓轉(zhuǎn)移軌道半通徑和偏心率，相應(yīng)的Vg,i即表征了發(fā)動(dòng)機(jī)的需要推力方向。

3.4 需要推力方向

(20)

式中，φC,P，ψC,P，γC,P表示俯仰、偏航、滾動(dòng)通道指令姿態(tài)角。

4 數(shù)學(xué)仿真與結(jié)果分析

設(shè)期望的圓軌道的軌道傾角為32°,軌道高度(相對(duì)平均地球半徑)為350km，因此，橢圓轉(zhuǎn)移軌道的軌道傾角為32°,遠(yuǎn)地點(diǎn)軌道高度為350km。軌道轉(zhuǎn)移級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)總視速度模量為ΔW0=2484m/s，制導(dǎo)周期為TS=10ms。

應(yīng)用本文提出的多約束耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)方法，仿真計(jì)算結(jié)果如圖1～2和表1～2所示。圖1～2中，φC,P，ψC,P分別表示俯仰姿態(tài)角指令、偏航姿態(tài)角指令；ha表示相對(duì)平均地球半徑Ra的高度，即ha=r-Ra；Vf表示相對(duì)地球速度(即地速)模量。

表1 耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)軌道參數(shù)

圖1 耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)指令姿態(tài)角

圖2 耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)飛行軌道及飛行速度

圖1～2和表1～2仿真過(guò)程中忽略了J2項(xiàng)擾動(dòng)引力場(chǎng)的影響，上述計(jì)算結(jié)果表明，雖然耗盡關(guān)機(jī)點(diǎn)的待增速度殘差約為0.698m/s，橢圓轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)平均高度控制誤差約為40.7m，軌道傾角的控制誤差約為7.0×10-4(°)，可見軌道控制精度較高。

表2 耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)遠(yuǎn)地點(diǎn)高度控制偏差

由于多約束耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)基于中心引力場(chǎng)作用的橢圓軌道推導(dǎo)得到，因此J2項(xiàng)等高階引力項(xiàng)對(duì)于飛行軌道的影響并沒(méi)有得到補(bǔ)償，其將對(duì)制導(dǎo)出的軌道產(chǎn)生影響。表2展示了僅有制導(dǎo)方法誤差(即待增速度殘差)以及同時(shí)有制導(dǎo)方法誤差和J2項(xiàng)干擾的計(jì)算結(jié)果，表明J2項(xiàng)引起的高度控制誤差約為541.8m，約為耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)方法誤差的13倍，可見J2項(xiàng)對(duì)飛行軌道影響明顯。為了實(shí)現(xiàn)J2作用下的高精度軌道控制，在裝訂最大軌道高度時(shí)，提前補(bǔ)償J2項(xiàng)的影響，此時(shí)計(jì)算得到的方法誤差與J2項(xiàng)共同作用下的高度控制誤差約42.5m，比方法誤差引起的高度控制誤差僅大1.8m，補(bǔ)償效果明顯。

此外，關(guān)于稀薄大氣的仿真計(jì)算表明，高度150km處的稀薄大氣作用力已小于0.1N，其對(duì)運(yùn)載器的視加速度已小于5.0×10-5m/s2；而當(dāng)高度大于200km時(shí)，稀薄大氣作用力迅速下降1個(gè)數(shù)量級(jí)以上。實(shí)際飛行軌道計(jì)算結(jié)果亦表明，稀薄大氣對(duì)轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度的影響在米級(jí)，相對(duì)于制導(dǎo)方法誤差和J2項(xiàng)干擾，其影響完全可以忽略。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種具有軌道傾角和遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約束能力的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)方法，該方法適用于多級(jí)固體運(yùn)載火箭的轉(zhuǎn)移軌道制導(dǎo)。仿真計(jì)算結(jié)果表明，該方法對(duì)轉(zhuǎn)移軌道傾角和遠(yuǎn)地點(diǎn)高度控制精度高，能夠滿足高精度入軌制導(dǎo)的制導(dǎo)精度要求，可以作為高精度入軌制導(dǎo)的軌道轉(zhuǎn)移級(jí)制導(dǎo)方法，亦可以作為其它具有高度約束的橢圓軌道的耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)方法。

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TheDepletedShutdownClosedLoopGuidancewithConstraintsofOrbitInclinationandMaximumHeight

ZHANG Rufei1,2ZHAO Shifan1
1. Beijing Institute of Control and Electronic Technology， Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, Beijing 100038, China 2. Graduate School, 2ndAcademy of China Aerospace, Beijing 100854, China

Thesolidrocketmotororbittransferstageforresponsivespaceaccess(RSA)isrequiredtoadoptdepletedshutdownguidancewhichaimsatmaximizingenergyuse,butnotconsumingredundantenergy.BasedonellipticalorbittheoryandNewtoniterationmethod,adepletedshutdownclosedloopguidancetodealwithmultipleorbitandguidanceconstraintsisoriginated,whichseekstherequiredthrustdirectioninrealtimeandutilizestheorbittransferstageenergysufficientlytoguidestheupperstagetoentertransferorbitwithconstraintsoforbitinclinationandmaximumheight.Meanwhile,thedepletedshutdownisimplemented.Theorydeductionandnumericalsimulationdemonstratethattheproposedguidancemethodcanachieveprecisecontrolfortransferringorbitunderconditionsofdepletedshutdown.

Responsivespaceaccess;Depletedshutdown;Closedloopguidance;Energymanagement

2014-04-16

張如飛(1981-)，男，安徽懷遠(yuǎn)人，博士后，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制；趙世范(1943-)，男，上海人，研究員，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

V448.21; TJ765.2

： A

1006-3242(2014)05-0016-05