離散型隨機變量的分布列、期望和方差

了解隨機變量的概念，理解隨機變量的分布列、期望和方差；會求離散型隨機變量的分布列、期望和方差.

離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率和. 求離散型隨機變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率.對求離散型隨機變量的期望和方差的應用問題，首先應仔細地分析題意，當概率分布不是一些熟知的類型時，應全面地剖析各個隨機變量所包含的各種事件，并準確判斷各事件的相互關系，從而求出各隨機變量相應的概率.

英語老師要求學生從星期一到星期四每天學習3個英語單詞；每周五對一周內所學單詞隨機抽取若干個進行檢測（一周所學的單詞每個被抽到的可能性相同）.

（1）英語老師隨機抽了4個單詞進行檢測，求至少有3個是后兩天學習過的單詞的概率；

（2）某學生對后兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為 ，對前兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為

若老師從后三天所學單詞中各抽取一個進行檢測，求該學生能默寫對的單詞的個數ξ的分布列和期望.

破解思路 此題主要考查古典概型及其計算公式，互斥事件、獨立事件、獨立重復事件的概率公式，離散型隨機變量的分布列及其數學期望E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn+…等核心知識，對概率型應用性問題，理解題意是基礎，然后進行分類、分步轉化是關鍵.

完美解答 （1）設“英語老師隨機抽到的4個單詞中，至少有3個是后兩天學過的單詞”為事件A，則由題意可得P某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響. 已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用ξ表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積.

（1）記“函數f（x）=x2+ξx為R上的偶函數”為事件A，求事件A的概率；

（2）求ξ的分布列和數學期望.

破解思路 概率型應用性問題是高考命題的一個重要考點，且常考常新，對于此類考題，要注意認真審題，從數學與實際生活兩個角度來理解問題的實質，將問題成功轉化為古典概型及獨立事件、互斥事件等概率模型來求解.

完美解答 （1）設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x，y，z，？搖依題意得x（1-y）（1-z）=0.08，xy（1-z）=0.12，1-（1-x）（1-y）（1-z）=0.88，解得x=0.4，y=0.6，z=0.5.

若函數f（x）=x2+ξx為R上的偶函數，則ξ=0.？搖

當ξ=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選，所以P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24，所以事件A的概率為0.24. ？搖

（2）依題意知ξ=0，2，則ξ的分布列為：

所以ξ的數學期望為E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52.

1. 已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球. 現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.

（1）求取出的4個球均為黑球的概率；

（2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（3）設ξ為取出的4個球中紅球的個數，求ξ的分布列和數學期望.

2. 某城市有大明湖、趵突泉、千佛山、園博園4個旅游景點，一位客人瀏覽這四個景點的概率分別是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.

（1）求ξ=0對應的事件的概率；

（2）求ξ的分布列及數學期望.endprint