重視數學思想方法的滲透和應用培養優秀人才

林彩金

摘 要：數學基本思想是中學數學教學中的一個重要研究的課堂。教師要從數學思想的滲透和數學思想的應用這兩個方面來研究。

關鍵詞：數學教育；基本思想方法；優秀人才

隨著現代科技的進一步發展，特別是計算機應用領域的擴大，對信息的加工、處理、分類、統計要求越來越高。培養一代高素質、具有創新能力的優秀人才，對我們的教育教學工作提出了新要求。因此，這就更加突出了數學基本思想在中學教學中的滲透和應用的重要意義。

下面，我就把教學中常用的數學思想方法的應用舉例說明。

一、數學思想方法的滲透

數學思想的滲透既是培養數學能力的基礎，又是創新的源泉，既增益，又減負。有利于中學數學的教學，也符合教學大綱的要求。

（1）數形結合思想的滲透。數形結合的思想是中學數學的重要思想之一，是數學的靈魂，數和形反映了事物的兩個方面：數無形，少直觀；形無數，難入微。因此，在解決有關數的問題時，需要畫出圖形或結合給出的圖形去尋求數之間的聯系；在解決形的問題時，又常常通過數的計算去找到圖形之間的聯系。這種數形結合的思想是解決數學問題的切入點，能讓學生比較容易地找到解題的途徑，達到化繁為簡的目的。

例1：代數式■+■的最小值是____。（第十二屆希望杯初二賽題）

分析：∵條件是x為實數，將數化為形。

如圖1，BA⊥AC于A，DC⊥AC于C，AB=2，CD=3，AC=12，AP=x，則BP+PD=■+■。

即轉化為：在AC上求一點P，使PB+PD最小。

于是作B關于AC的對稱點F，從而可得出BP+PD=FD=13，故■+■的最小值為13。

（2）換元思想的滲透。在初中數學中我們就接觸過換元法，有些題目如用常規方法求解，會帶來很大的計算量，甚至不得要領，無從下手。而通過換元這種轉化可減少運算量，化難為易，帶來很大的方便。

例2：已知■=■=■，則■____。（2001年重慶初三數學競賽題）

分析：可設■=■=■=k，從而得x=■y+z=■z+x=■， 解出x，y，z，可得■=■。

（3）方程思想的滲透。方程思想是最基本的也是最重要的數學思想方法之一，要從對問題的數量關系分析入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（這種模型可以是方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。在具體應用中，常見的技能包括待定系數法、直接設元解方程、運用根的定義構造方程、運用判別式構造方程、運用根與系數關系構造方程、由待求式與條件式構造方程組、挖掘隱含條件構造方程（組）和構造復數方程八種解題方法，它們又是互相聯系、協調統一的數學方法。

例3：若m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，則m5+n5=____。（江蘇省第四屆初中數學競賽題）

解：∵m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，∴m、n是方程x2-x-1=0的兩個根。由根與系數關系得m+n=1，m n=-1。∴m2+n2=3，m3+n3=4。m5+

n5=（m2+n2）（m3+n3 ）-m2 n2 （m+n）=11。

（4）分類討論思想的滲透。分類討論思想是指依據數學研究對象有本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想。分類討論思想是一種常用而重要的數學思想。

例4：求y=1+sint+■ 的值域。

解：①當sint>0，y=1+sint+■≥3。②sint<0，y=1-（-sint+■）≤1-2=-1。∴ y ∈ （-∞，-1]∪ [3，+∞）。

（5）整體思想的滲透。解數學問題時，可將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構，并注意已知條件及待求結論在這個整體中的地位和作用，然后對整體結構的調節和轉化使問題獲解。整體思想是數學解題中的一種常用思維方法，由于這種思維具有一定的簡約性和跳躍性，掌握起來有一定的難度，教師在教學當中應注意通過一些具體實例由淺入深地進行展開和討論，以便學生領會和掌握。

例5：設對所有實數x ，不等式x2log2■+2xlog2■+log2■>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：此題可以有多種解法，一般學生都利用二次函數性質來解，不但運算復雜，而且因討論的層次較多，容易出錯。如果通過觀察題設中不等式的整體結構可以發現，式中三個對數可以轉化為同一形式，從而原不等式化簡為：3x2+[（〖x-1）〗2+1]log2■>0，這個不等式對所有實數恒成立的充要條件是log2■>0？圳■>1？圳0

二、數學思想的應用

所謂應用是讓學生逐步獨立地、自覺地將觀念應用于數學思維過程中，一方面深化對觀念的理解，一方面檢驗觀念的正解與否，從而完成從抽象到具體的飛躍。這個階段要求學生在數學觀念下能概略解決問題，而教師的主導作用在于對學生思維活動的評價。

通過十幾年教學實踐，使我更深刻地認識到，在教學過程中注重數學思想的滲透，使學生受到潛移默化的教育，為數學思想應用奠定了基礎，學生能容易地建立對這一數學思想的初步認識，從而在檢驗、應用中逐步獨立地、自覺地將觀念運用于數學思維的過程中，使學生提高了用同一種思想處理不同問題的能力，提高解決問題的能力，從而增強了數學思維的“動力機制”，提高了數學質量。

總之，我們數學師應重視數學基本思想在中學數學教學中的滲透，從而培養更多的優秀人才。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].杭州：杭州教育出版社，1999（3）.

[2]葉蔥蔥.換元法在數學竟賽中的應用[J].福建中學數學，2003（12）.

（福建莆田青璜中學）