反思，讓學生由“活動經歷”到“經驗獲得”

胡逸飛

“基本數學活動經驗”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）中提出的“四基”之一。它是指圍繞數學課程教學目標，學生在經歷了與學科相關的各類基本活動之后，形成的并在遇到相似情景時可以憶起的某種體驗、方法性知識或某種觀念。那么如何讓學生獲得“基本數學活動經驗”呢？《課程標準》中指出：教學中注重結合具體的學習活動，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。

我們知道數學經驗是在活動中獲得的，但活動了并不就是獲得經驗了。所以在教學中，教師應致力于讓學生先進行“活動的經歷”， 再引導他們實現“活動的內化”，最后達到“經驗的獲得”。“活動的內化”其實就是一種思維的建構活動，即由具體的活動抽象出相應的模式。這個過程，簡而言之，就是我們平時所說的“反思”。如下圖所示：

適時引導學生在各類活動后展開反思、討論，并在下次數學活動中合理運用，是學生形成基本數學活動經驗的重要方法。

一、動手操作后的反思，促進感知型經驗的形成

在數學課堂中，學生動手操作活動非常普遍。簡單的如摸一摸、量一量、折一折、剪一剪、畫一畫等，復雜的如具體情境中購物、使用尺或天平等工具測量等都是常見的學習方法。學生的這些行為操作，都是他們親身經歷的源于實際生活的數學活動，其目的或是初步感知概念，或是嘗試解決問題，或是體會數學源于生活，或是培養樂學情感。在這些操作之后，學生往往會“若有所思”，但又不是“了然于心”，在此時教師引導學生反思自己的操作過程，回味自己的學習方法，有助于他們形成數學感知的經驗。

如在教學人教版二年級上冊“厘米的認識”時，學生經歷了豐富的動手操作的活動后獲得了對測量單位的感性認識，這時學生對操作過程有所體驗，但只是零星的、雜亂的感悟，在此基礎上，教師及時引導：“回想一下，剛才我們是怎么認識1厘米的？” 讓學生在回憶學習過程中實現活動經驗數學化：“我是從直尺上找到1厘米的。”“我知道1厘米有這么長（用手比畫）”“我的指甲寬度就是1厘米”“課桌的寬里大約含有30個1厘米，所以課桌寬約30厘米”……對于這些學生描述的具體操作活動，教師再深入引導：“根據這些我們對1厘米的認識，你能說說通過怎樣的活動來認識其他的長度單位？”交流后總結出：我們是通過認一認（認識1厘米到底有多長？）；比一比（比畫1厘米有多長？）；找一找（身體上或生活中的1厘米有哪些？）；估一估（估計具體物品長有幾厘米？）；量一量（測量物體的長度，并和預估的結果進行比較）等活動來學習“厘米”的。在這里教師注重在學生經歷“對1厘米認識的操作活動”后引導反思，使他們獲得了建立1厘米概念的清晰的活動經驗，為以后在學習同類知識（米的認識，毫米、分米的認識，千米的認識）或相似知識（面積單位的認識、體積單位的認識、質量單位的認識）積累了感知型的數學經驗。

二、探究活動后的反思，促進知識型經驗的形成

對于新的數學知識，教師往往會設計相關的情境，引導學生在數學情境中進行自主探究，在經歷數學發生、發展的過程后使他們習得概念和定義、掌握運算方法、找到解決問題的策略等，這就是學生的自主探究合作學習活動。不同內容、不同形式的探究活動背后其實有著某些相同的數學思維和數學理解，這些思維和理解，往往能進行正遷移，這就是數學知識形成經驗的一種。教師所要做的就是通過“探究活動—引導反思—形成經驗—運用經驗再探究”的過程，讓學生的經驗在活動中孕育，在反思中產生，在運用中提升。

在教學人教版三年級下冊“長方形和正方形的面積”時，教師引導學生用“猜想—驗證—歸納—運用”的方法進行學習，驗證并歸納“長方形面積=長×寬”的過程，讓學生小組合作探究，在反饋中，學生匯報了自己的研究結果：第一種是將單位面積（小正方形）放滿整個長方形后數出小正方形的個數即是面積；第二種是將小正方形放在長和寬處，用長的個數乘寬的個數得出面積；第三種是直接用尺子量出長和寬再相乘得出面積。

合作探究活動之后，教師讓學生反思：這節課我們是怎么探究長方形的面積的？生1：我們知道求長方形的面積是多少平方厘米，就是求長方形里包含了幾個1平方厘米的正方形。生2：求長方形里包含幾個1平方厘米的小正方形，可以用小正方形去擺滿整個長方形；也可以只擺長（每行有幾個）和寬（有這樣的幾行），再推算；最方便的是量出長方形的長和寬，其實就是明白長方形的長能放幾個、寬能放幾個，再通過乘法計算得到面積。生3：長方形的面積計算方法推理如下：

學生在本節課中獲得了面積計算方法推導的知識型經驗，在五年級下冊學習“長方體和正方體的體積”時，就可以運用經驗自主接近問題了，可以先讓學生回憶長方形面積的推導方法，激活已有的經驗，自主探索長方體體積的計算方法。

五年級上冊“多邊形的面積”這個單元中也有此類通過參與探究活動后獲得的知識型的經驗，在探究平行四邊形面積計算方法后，引導學生反思形成數學活動經驗：能把未知圖形轉化成學過的什么圖形？動手剪一剪、拼一拼，進行轉化，再尋找轉化后的圖形與原來的圖形有什么關系？從而在三角形的面積和梯形的面積學習時，同樣可以以此激發學生的已有探究經驗來進行自主學習。同理，圓面積計算公式的推導過程中的活動經驗，也適合進行圓柱的體積計算公式的推導。

三、數學建模后的反思，促進策略型經驗的形成

《課程標準》指出：應重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。數學建模是在感性認識的基礎上，把獲得的感覺材料經過思考與分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理與改造，形成概念、判斷、推理。在這個過程完成之后，教師要引導學生回味、比較和梳理建模活動中的方法和策略，在集體交流的基礎上，形成對數學建模過程相對完整準確的共識，這就是數學活動經驗中的策略性成分。endprint

在五年級下冊“找次品”一課的教學中，需要通過多次找次品的嘗試活動，并在每次活動后開展經驗共享，為下一次的活動積累經驗，最終建立起找次品的數學模型。如第一次“從3個零件中找出1個較輕的次品”活動后的反思交流，可以幫助學生弄清題目的確切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，學會運用數學符號來表示稱法。在此經驗基礎之上，進行第二次“從5個或7個零件中找到較輕的次品”的活動，活動的有效性明顯提高。第二次活動后的反思，可以讓學生感受到有時零件多一些或少一些不會影響稱的次數。第三次解決“9個或者11個零件中找出較輕的次品”，在多種稱法反饋之后引導學生反思，從而發現相對優化的稱法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件盡量分成相等的3份，所用的次數最少。第四次解決“243個零件中找出較輕的次品”，活動后反思，旨在讓學生體驗層層化歸解決問題的過程，并找到數學模型。

教師在活動中注重搭建“反思交流”的平臺，在前一個活動后引導反思，集體交流，使學生達成共識，提煉出策略性的經驗，在下一個活動開展時，再加以充分利用，這是積累策略型數學經驗的有效方法。

四、體驗想象后的反思，促進情感型經驗的形成

眾所周知，世界上很多東西只能靠親身經歷來獲得，比如數學學習中的情感體驗。教師常常會引導學生借助想象、比喻、聯想、猜測等方法，來尋求具體的、形象化的支撐，獲得具體的意象固著點，從而體驗數學概念和數學思想的本質，在此類體驗學習后，學生的適時反思，即可獲得某種相對抽象的情感性數學經驗。

在四年級上冊“射線、直線和角”一課的教學中，因為射線和直線的無限性，在真實生活中的實例基本不存在，學生無法具體感知，對于這兩個抽象的數學概念往往難以理解，所以教師設計了讓學生想象體驗的活動。首先用“點動成線”的思想來體驗射線和直線的特征：屏幕中出現一個點，讓點移動并留下軌跡，分別形成線段、折線和曲線。再演示點直直地移動一直到屏幕的邊緣，請學生說一說，點這樣移動形成的是一條怎樣的線？引導學生想象：如果這個點繼續直直地不停移動，那么這條線會怎樣？學生通過想象后描述：從一個點出發，直直地延伸到無限遠處，形成一條線。教師請學生閉上眼睛在腦中想象出這條線，并告訴他們，這就是射線。初步感知了射線的特征后，結合發光棒讓學生再次想象：這束光可以看成我們數學中的射線嗎？學生展開想象的翅膀，在討論交流后，辯證地得出結論：如果光束發出后遇到了墻壁或樹，哪怕是在很遠的天空中遇到了云朵，那么這光束是線段；如果發出后沒有遇到任何阻攔，并且可以一直發光，那么可以看成射線。學習射線之后，引導學生反思：“我們是如何學習射線的？”此后在學習直線時，學生能自主地用“點動成線”的方法描述直線：一個點直直地向一個方向和其相反方向移動，形成的軌跡，是一條直線。像孫悟空的金箍棒，如果能不停地向兩端延伸，就可以看成數學中的直線。在這個過程中，學生的思維一直借助想象的力量來理解射線概念，在腦中建立了清晰的射線模型，還迸發出思維的火花。

想象體驗活動借助想象，使抽象的數學內容聯系生動的具體意境，找到可以形象理解的、相對現實的立足點，幫助學生感悟數學概念或數學思想，從而獲得數學經驗。

再如在“圓的周長”課堂小結中，教師引導學生在回顧了課堂上對圓周率的研究歷程后，談談自己的感悟。有的學生說：我們的滾動法和繞繩法與祖沖之的割圓術相比，真是小巫見大巫啊，在那個沒有任何精密計算工具的年代能計算出小數點后7位，我被深深震撼了。有的學生說：數學家們精益求精，現在已經有人把π值推算到小數點后10萬億位，實在太了不起了。有的學生說：計算機是如何演算π值的呢？這真是一個謎，我希望長大后能解答這個疑問。這種情感體驗的經驗在數學學習中有著非常積極的作用。

弗賴登塔爾認為：“反思是數學思維活動的核心和動力。”教師引導學生在活動后的有效反思，可以將“經歷”中散亂的感性認識提升為整合的理想思考，也就是“數學活動經驗”。構架好反思這座聯結“經歷”和“經驗”的橋梁，是落實“四基”教學目標的重中之重。

（浙江省寧波市海曙中心小學 315000）endprint

在五年級下冊“找次品”一課的教學中，需要通過多次找次品的嘗試活動，并在每次活動后開展經驗共享，為下一次的活動積累經驗，最終建立起找次品的數學模型。如第一次“從3個零件中找出1個較輕的次品”活動后的反思交流，可以幫助學生弄清題目的確切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，學會運用數學符號來表示稱法。在此經驗基礎之上，進行第二次“從5個或7個零件中找到較輕的次品”的活動，活動的有效性明顯提高。第二次活動后的反思，可以讓學生感受到有時零件多一些或少一些不會影響稱的次數。第三次解決“9個或者11個零件中找出較輕的次品”，在多種稱法反饋之后引導學生反思，從而發現相對優化的稱法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件盡量分成相等的3份，所用的次數最少。第四次解決“243個零件中找出較輕的次品”，活動后反思，旨在讓學生體驗層層化歸解決問題的過程，并找到數學模型。

教師在活動中注重搭建“反思交流”的平臺，在前一個活動后引導反思，集體交流，使學生達成共識，提煉出策略性的經驗，在下一個活動開展時，再加以充分利用，這是積累策略型數學經驗的有效方法。

四、體驗想象后的反思，促進情感型經驗的形成

眾所周知，世界上很多東西只能靠親身經歷來獲得，比如數學學習中的情感體驗。教師常常會引導學生借助想象、比喻、聯想、猜測等方法，來尋求具體的、形象化的支撐，獲得具體的意象固著點，從而體驗數學概念和數學思想的本質，在此類體驗學習后，學生的適時反思，即可獲得某種相對抽象的情感性數學經驗。

在四年級上冊“射線、直線和角”一課的教學中，因為射線和直線的無限性，在真實生活中的實例基本不存在，學生無法具體感知，對于這兩個抽象的數學概念往往難以理解，所以教師設計了讓學生想象體驗的活動。首先用“點動成線”的思想來體驗射線和直線的特征：屏幕中出現一個點，讓點移動并留下軌跡，分別形成線段、折線和曲線。再演示點直直地移動一直到屏幕的邊緣，請學生說一說，點這樣移動形成的是一條怎樣的線？引導學生想象：如果這個點繼續直直地不停移動，那么這條線會怎樣？學生通過想象后描述：從一個點出發，直直地延伸到無限遠處，形成一條線。教師請學生閉上眼睛在腦中想象出這條線，并告訴他們，這就是射線。初步感知了射線的特征后，結合發光棒讓學生再次想象：這束光可以看成我們數學中的射線嗎？學生展開想象的翅膀，在討論交流后，辯證地得出結論：如果光束發出后遇到了墻壁或樹，哪怕是在很遠的天空中遇到了云朵，那么這光束是線段；如果發出后沒有遇到任何阻攔，并且可以一直發光，那么可以看成射線。學習射線之后，引導學生反思：“我們是如何學習射線的？”此后在學習直線時，學生能自主地用“點動成線”的方法描述直線：一個點直直地向一個方向和其相反方向移動，形成的軌跡，是一條直線。像孫悟空的金箍棒，如果能不停地向兩端延伸，就可以看成數學中的直線。在這個過程中，學生的思維一直借助想象的力量來理解射線概念，在腦中建立了清晰的射線模型，還迸發出思維的火花。

想象體驗活動借助想象，使抽象的數學內容聯系生動的具體意境，找到可以形象理解的、相對現實的立足點，幫助學生感悟數學概念或數學思想，從而獲得數學經驗。

再如在“圓的周長”課堂小結中，教師引導學生在回顧了課堂上對圓周率的研究歷程后，談談自己的感悟。有的學生說：我們的滾動法和繞繩法與祖沖之的割圓術相比，真是小巫見大巫啊，在那個沒有任何精密計算工具的年代能計算出小數點后7位，我被深深震撼了。有的學生說：數學家們精益求精，現在已經有人把π值推算到小數點后10萬億位，實在太了不起了。有的學生說：計算機是如何演算π值的呢？這真是一個謎，我希望長大后能解答這個疑問。這種情感體驗的經驗在數學學習中有著非常積極的作用。

弗賴登塔爾認為：“反思是數學思維活動的核心和動力。”教師引導學生在活動后的有效反思，可以將“經歷”中散亂的感性認識提升為整合的理想思考，也就是“數學活動經驗”。構架好反思這座聯結“經歷”和“經驗”的橋梁，是落實“四基”教學目標的重中之重。

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在五年級下冊“找次品”一課的教學中，需要通過多次找次品的嘗試活動，并在每次活動后開展經驗共享，為下一次的活動積累經驗，最終建立起找次品的數學模型。如第一次“從3個零件中找出1個較輕的次品”活動后的反思交流，可以幫助學生弄清題目的確切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，學會運用數學符號來表示稱法。在此經驗基礎之上，進行第二次“從5個或7個零件中找到較輕的次品”的活動，活動的有效性明顯提高。第二次活動后的反思，可以讓學生感受到有時零件多一些或少一些不會影響稱的次數。第三次解決“9個或者11個零件中找出較輕的次品”，在多種稱法反饋之后引導學生反思，從而發現相對優化的稱法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件盡量分成相等的3份，所用的次數最少。第四次解決“243個零件中找出較輕的次品”，活動后反思，旨在讓學生體驗層層化歸解決問題的過程，并找到數學模型。

教師在活動中注重搭建“反思交流”的平臺，在前一個活動后引導反思，集體交流，使學生達成共識，提煉出策略性的經驗，在下一個活動開展時，再加以充分利用，這是積累策略型數學經驗的有效方法。

四、體驗想象后的反思，促進情感型經驗的形成

眾所周知，世界上很多東西只能靠親身經歷來獲得，比如數學學習中的情感體驗。教師常常會引導學生借助想象、比喻、聯想、猜測等方法，來尋求具體的、形象化的支撐，獲得具體的意象固著點，從而體驗數學概念和數學思想的本質，在此類體驗學習后，學生的適時反思，即可獲得某種相對抽象的情感性數學經驗。

在四年級上冊“射線、直線和角”一課的教學中，因為射線和直線的無限性，在真實生活中的實例基本不存在，學生無法具體感知，對于這兩個抽象的數學概念往往難以理解，所以教師設計了讓學生想象體驗的活動。首先用“點動成線”的思想來體驗射線和直線的特征：屏幕中出現一個點，讓點移動并留下軌跡，分別形成線段、折線和曲線。再演示點直直地移動一直到屏幕的邊緣，請學生說一說，點這樣移動形成的是一條怎樣的線？引導學生想象：如果這個點繼續直直地不停移動，那么這條線會怎樣？學生通過想象后描述：從一個點出發，直直地延伸到無限遠處，形成一條線。教師請學生閉上眼睛在腦中想象出這條線，并告訴他們，這就是射線。初步感知了射線的特征后，結合發光棒讓學生再次想象：這束光可以看成我們數學中的射線嗎？學生展開想象的翅膀，在討論交流后，辯證地得出結論：如果光束發出后遇到了墻壁或樹，哪怕是在很遠的天空中遇到了云朵，那么這光束是線段；如果發出后沒有遇到任何阻攔，并且可以一直發光，那么可以看成射線。學習射線之后，引導學生反思：“我們是如何學習射線的？”此后在學習直線時，學生能自主地用“點動成線”的方法描述直線：一個點直直地向一個方向和其相反方向移動，形成的軌跡，是一條直線。像孫悟空的金箍棒，如果能不停地向兩端延伸，就可以看成數學中的直線。在這個過程中，學生的思維一直借助想象的力量來理解射線概念，在腦中建立了清晰的射線模型，還迸發出思維的火花。

想象體驗活動借助想象，使抽象的數學內容聯系生動的具體意境，找到可以形象理解的、相對現實的立足點，幫助學生感悟數學概念或數學思想，從而獲得數學經驗。

再如在“圓的周長”課堂小結中，教師引導學生在回顧了課堂上對圓周率的研究歷程后，談談自己的感悟。有的學生說：我們的滾動法和繞繩法與祖沖之的割圓術相比，真是小巫見大巫啊，在那個沒有任何精密計算工具的年代能計算出小數點后7位，我被深深震撼了。有的學生說：數學家們精益求精，現在已經有人把π值推算到小數點后10萬億位，實在太了不起了。有的學生說：計算機是如何演算π值的呢？這真是一個謎，我希望長大后能解答這個疑問。這種情感體驗的經驗在數學學習中有著非常積極的作用。

弗賴登塔爾認為：“反思是數學思維活動的核心和動力。”教師引導學生在活動后的有效反思，可以將“經歷”中散亂的感性認識提升為整合的理想思考，也就是“數學活動經驗”。構架好反思這座聯結“經歷”和“經驗”的橋梁，是落實“四基”教學目標的重中之重。

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