乘法分配律教學難點的突破策略

宣光峰

乘法分配律體現了整數運算之間的重要關系，學生學習乘法分配律既是簡便運算的需要，也是獲得數量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長期的教學實踐中發現，乘法分配律的教學是運算定律和簡便計算相關內容教學中的一大難點。

在學習乘法分配律之前，學生已經學習了加法交換律、加法結合律和乘法結合律，并能應用這些定律進行簡便計算。按理說，同為數量的恒等變換關系，有了先前學習的經驗，乘法分配律應該是一個比較容易學習的內容。然而，現實情況卻恰恰相反。在實際教學中，前面的幾種運算定律學生一般都很容易掌握，教學效果也比較好，但學習乘法分配律后，簡便運算的錯誤明顯增加，甚至之前已經掌握的其他運算定律在簡便計算時也經常出錯了。

對此，筆者仔細分析了以往的教學設計，收集了學生出現錯誤的各種類型并逐一分析原因，對教材的知識結構和教材編排特點作了深入的研究，發現學生應用乘法分配律進行簡便計算錯誤較多的原因有多個方面：首先，乘法分配律的結構特征與其他定律相比更復雜，從一種運算發展為兩種運算，學生的記憶、理解和應用更麻煩；其次，乘法分配律的語言表述更抽象，一些學生的死記硬背不僅不能增加對這一定律的理解，還會造成更大的記憶負擔；第三，由于涉及了兩種運用（進而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進行簡便計算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運用；既要關注數據特征，又要考慮運算變換；既可以直接應用，還可以數據拆分后靈活使用，學生掌握起來難度更大；第四，先前其他定律的學習對乘法分配律的教學不僅沒有產生正遷移，甚至還有負遷移的嫌疑。如與乘法結合律易產生混淆，更容易產生亂套公式現象等。

以上問題只是學生在學習過程中出現的表象，許多教師在教學中即使看到了這些現象，大多都是采用加大練習量的方法來糾正，卻不知反復的演練、講解、訂正，只會讓學生心存壓力與畏懼。其實，究其根本原因，大量錯誤的產生是因為學生對乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對數量運算關系的深刻理解。

那么如何讓學生更好地掌握和運用乘法分配律，為以后的數學學習打下扎實的基礎呢？筆者對此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深奧為形象，更易理解

如何讓學生清晰地建構起乘法分配律的數學模型，這是教學的基礎，也是理解的前提。要讓學生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個非常有效的策略。如人教版課本中對乘法分配律是這樣表述的：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘再相加，這叫作乘法分配律。”這一條由大量的數學術語堆積而成的抽象定義讓學生感到“深奧”難懂，對于小學生來說理解記憶有一定困難。對此，筆者采用了以下教學方法：

步驟1：讓學生獨立使用不同的方法列式，多數學生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學生互相說說每個算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導學生用乘法的意義進行比較，25×4+25×2表示4個25加上2個25，25×（4+2）表示4加2個25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個25加上2個25等于4加2個25”，或者“4加2個25等于4個25加上2個25”。這樣換了一種讀法，看似簡單，實質是讓學生真正理解了算式的內涵，加深了對乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對于用字母來表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學生用上述方法讀：“a個c加上b個c等于a+b個c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數學術語的直讀。實踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對于小學生來說，對分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個比方，化抽象為具體，更易區別

筆者仔細分析學生作業中的錯誤，發現其中最常見的錯誤是與乘法結合律等以前學的運算定律產生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學生在簡便計算中不會混淆用乘法分配律還是用乘法結合律，筆者首先讓學生進行對比練習：25×（40+4）和25×（4×40），引導學生說說題目的異同、進行簡便計算的不同以及兩題各自分別用什么作計算依據。

在小結時通過打比方提醒學生注意：“乘法分配律與乘法結合律如同一對雙胞胎，像我們班級里的王林旭和王林威，平時他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會弄錯誰是誰嗎？”學生都說不會。教師又問：“他們長得這么像，你們為什么不會認錯？”幾乎每個學生都能說出他們一些細小的區別。教師相機提出：“現在乘法分配律與乘法結合律這對雙胞胎也需要你們認真觀察，仔細辨認，你們會區分嗎？”大家大聲喊道“會”。一個小小的比方，因為是學生熟悉的人物，因此更能激發學生的學習情緒，也在無形中加深了學生的印象。

教師隨機進行鞏固練習：“我們來試一試125×88，可以怎樣簡便計算？”學生都很有興趣、非常仔細地做了起來，匯報時都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號，用乘法分配律，分成80個125和8個125”。“88拆成8×11，是乘號，用乘法結合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習中，學生自覺地以辨認“雙胞胎”為鑒，計算錯誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級的授課中，筆者則用學生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導學生自主產生仔細觀察、辨認特征的意識，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運算定律進行簡便計算，題目形式多樣，對小學生來說出現計算錯誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學之后，如何靈活使用運算律，常常讓許多學生束手無策。為此，筆者通過設計變式題和對比題，來對學生進行強化訓練，將學生原先刻板地套用公式轉化為能靈活地運用定律，從而提高計算能力。考慮到練習題的設計要少而精，要富有思維含量，從而點燃學生思維的火花，達到知識鞏固的目的，筆者對題目的設計作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業紙有部分看不清了——簡便計算：25× 。“你能幫小明將題目補一補嗎？補充后的題目希望能用運算定律簡便計算，看誰補得多，同類的一種就可以了。”學生出現了各種不同的補法：補12——25×12=25×4×3；補42——25×42=25×（40+2）；補99——25×99=25×（100-1）；補401——25×401=25×（400+1）；補13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學生給這些題分一分類，并說一說你是根據什么分類的？這一環節的設計，教師沒有對分類的數量等作出具體的要求，不同層次的學生可以量力而為，學困生也能寫出一兩題。由于題目是由學生自己設計的，這使得他們在計算時更加投入，運算定律的應用也更加仔細，效果明顯；而“分一分類”是對簡便計算結構模型的一次自主整理，學生的認知結構得到完善，思維得以拓寬，簡便計算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學難點的突破關鍵在于教師適當的引導與點撥，從而充分地調動起學生自主學習的積極性。同時，抽象的內容越是形象化、學習內容與學生的生活越是貼近，越能促進學生牢固地掌握知識。

（浙江省紹興市上虞區梁湖鎮中心小學 312300）endprint

乘法分配律體現了整數運算之間的重要關系，學生學習乘法分配律既是簡便運算的需要，也是獲得數量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長期的教學實踐中發現，乘法分配律的教學是運算定律和簡便計算相關內容教學中的一大難點。

在學習乘法分配律之前，學生已經學習了加法交換律、加法結合律和乘法結合律，并能應用這些定律進行簡便計算。按理說，同為數量的恒等變換關系，有了先前學習的經驗，乘法分配律應該是一個比較容易學習的內容。然而，現實情況卻恰恰相反。在實際教學中，前面的幾種運算定律學生一般都很容易掌握，教學效果也比較好，但學習乘法分配律后，簡便運算的錯誤明顯增加，甚至之前已經掌握的其他運算定律在簡便計算時也經常出錯了。

對此，筆者仔細分析了以往的教學設計，收集了學生出現錯誤的各種類型并逐一分析原因，對教材的知識結構和教材編排特點作了深入的研究，發現學生應用乘法分配律進行簡便計算錯誤較多的原因有多個方面：首先，乘法分配律的結構特征與其他定律相比更復雜，從一種運算發展為兩種運算，學生的記憶、理解和應用更麻煩；其次，乘法分配律的語言表述更抽象，一些學生的死記硬背不僅不能增加對這一定律的理解，還會造成更大的記憶負擔；第三，由于涉及了兩種運用（進而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進行簡便計算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運用；既要關注數據特征，又要考慮運算變換；既可以直接應用，還可以數據拆分后靈活使用，學生掌握起來難度更大；第四，先前其他定律的學習對乘法分配律的教學不僅沒有產生正遷移，甚至還有負遷移的嫌疑。如與乘法結合律易產生混淆，更容易產生亂套公式現象等。

以上問題只是學生在學習過程中出現的表象，許多教師在教學中即使看到了這些現象，大多都是采用加大練習量的方法來糾正，卻不知反復的演練、講解、訂正，只會讓學生心存壓力與畏懼。其實，究其根本原因，大量錯誤的產生是因為學生對乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對數量運算關系的深刻理解。

那么如何讓學生更好地掌握和運用乘法分配律，為以后的數學學習打下扎實的基礎呢？筆者對此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深奧為形象，更易理解

如何讓學生清晰地建構起乘法分配律的數學模型，這是教學的基礎，也是理解的前提。要讓學生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個非常有效的策略。如人教版課本中對乘法分配律是這樣表述的：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘再相加，這叫作乘法分配律。”這一條由大量的數學術語堆積而成的抽象定義讓學生感到“深奧”難懂，對于小學生來說理解記憶有一定困難。對此，筆者采用了以下教學方法：

步驟1：讓學生獨立使用不同的方法列式，多數學生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學生互相說說每個算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導學生用乘法的意義進行比較，25×4+25×2表示4個25加上2個25，25×（4+2）表示4加2個25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個25加上2個25等于4加2個25”，或者“4加2個25等于4個25加上2個25”。這樣換了一種讀法，看似簡單，實質是讓學生真正理解了算式的內涵，加深了對乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對于用字母來表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學生用上述方法讀：“a個c加上b個c等于a+b個c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數學術語的直讀。實踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對于小學生來說，對分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個比方，化抽象為具體，更易區別

筆者仔細分析學生作業中的錯誤，發現其中最常見的錯誤是與乘法結合律等以前學的運算定律產生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學生在簡便計算中不會混淆用乘法分配律還是用乘法結合律，筆者首先讓學生進行對比練習：25×（40+4）和25×（4×40），引導學生說說題目的異同、進行簡便計算的不同以及兩題各自分別用什么作計算依據。

在小結時通過打比方提醒學生注意：“乘法分配律與乘法結合律如同一對雙胞胎，像我們班級里的王林旭和王林威，平時他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會弄錯誰是誰嗎？”學生都說不會。教師又問：“他們長得這么像，你們為什么不會認錯？”幾乎每個學生都能說出他們一些細小的區別。教師相機提出：“現在乘法分配律與乘法結合律這對雙胞胎也需要你們認真觀察，仔細辨認，你們會區分嗎？”大家大聲喊道“會”。一個小小的比方，因為是學生熟悉的人物，因此更能激發學生的學習情緒，也在無形中加深了學生的印象。

教師隨機進行鞏固練習：“我們來試一試125×88，可以怎樣簡便計算？”學生都很有興趣、非常仔細地做了起來，匯報時都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號，用乘法分配律，分成80個125和8個125”。“88拆成8×11，是乘號，用乘法結合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習中，學生自覺地以辨認“雙胞胎”為鑒，計算錯誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級的授課中，筆者則用學生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導學生自主產生仔細觀察、辨認特征的意識，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運算定律進行簡便計算，題目形式多樣，對小學生來說出現計算錯誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學之后，如何靈活使用運算律，常常讓許多學生束手無策。為此，筆者通過設計變式題和對比題，來對學生進行強化訓練，將學生原先刻板地套用公式轉化為能靈活地運用定律，從而提高計算能力。考慮到練習題的設計要少而精，要富有思維含量，從而點燃學生思維的火花，達到知識鞏固的目的，筆者對題目的設計作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業紙有部分看不清了——簡便計算：25× 。“你能幫小明將題目補一補嗎？補充后的題目希望能用運算定律簡便計算，看誰補得多，同類的一種就可以了。”學生出現了各種不同的補法：補12——25×12=25×4×3；補42——25×42=25×（40+2）；補99——25×99=25×（100-1）；補401——25×401=25×（400+1）；補13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學生給這些題分一分類，并說一說你是根據什么分類的？這一環節的設計，教師沒有對分類的數量等作出具體的要求，不同層次的學生可以量力而為，學困生也能寫出一兩題。由于題目是由學生自己設計的，這使得他們在計算時更加投入，運算定律的應用也更加仔細，效果明顯；而“分一分類”是對簡便計算結構模型的一次自主整理，學生的認知結構得到完善，思維得以拓寬，簡便計算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學難點的突破關鍵在于教師適當的引導與點撥，從而充分地調動起學生自主學習的積極性。同時，抽象的內容越是形象化、學習內容與學生的生活越是貼近，越能促進學生牢固地掌握知識。

（浙江省紹興市上虞區梁湖鎮中心小學 312300）endprint

乘法分配律體現了整數運算之間的重要關系，學生學習乘法分配律既是簡便運算的需要，也是獲得數量的變換思想、變換方式的重要渠道。然而，筆者在長期的教學實踐中發現，乘法分配律的教學是運算定律和簡便計算相關內容教學中的一大難點。

在學習乘法分配律之前，學生已經學習了加法交換律、加法結合律和乘法結合律，并能應用這些定律進行簡便計算。按理說，同為數量的恒等變換關系，有了先前學習的經驗，乘法分配律應該是一個比較容易學習的內容。然而，現實情況卻恰恰相反。在實際教學中，前面的幾種運算定律學生一般都很容易掌握，教學效果也比較好，但學習乘法分配律后，簡便運算的錯誤明顯增加，甚至之前已經掌握的其他運算定律在簡便計算時也經常出錯了。

對此，筆者仔細分析了以往的教學設計，收集了學生出現錯誤的各種類型并逐一分析原因，對教材的知識結構和教材編排特點作了深入的研究，發現學生應用乘法分配律進行簡便計算錯誤較多的原因有多個方面：首先，乘法分配律的結構特征與其他定律相比更復雜，從一種運算發展為兩種運算，學生的記憶、理解和應用更麻煩；其次，乘法分配律的語言表述更抽象，一些學生的死記硬背不僅不能增加對這一定律的理解，還會造成更大的記憶負擔；第三，由于涉及了兩種運用（進而還可能考慮減法與除法的形式類比），用乘法分配律進行簡便計算的變式題形式多樣：有正向思考、也有逆向運用；既要關注數據特征，又要考慮運算變換；既可以直接應用，還可以數據拆分后靈活使用，學生掌握起來難度更大；第四，先前其他定律的學習對乘法分配律的教學不僅沒有產生正遷移，甚至還有負遷移的嫌疑。如與乘法結合律易產生混淆，更容易產生亂套公式現象等。

以上問題只是學生在學習過程中出現的表象，許多教師在教學中即使看到了這些現象，大多都是采用加大練習量的方法來糾正，卻不知反復的演練、講解、訂正，只會讓學生心存壓力與畏懼。其實，究其根本原因，大量錯誤的產生是因為學生對乘法分配律只是一種形式上的記憶，缺乏對數量運算關系的深刻理解。

那么如何讓學生更好地掌握和運用乘法分配律，為以后的數學學習打下扎實的基礎呢？筆者對此作了一些嘗試，并取得了一定的效果。

一、換種讀法，化深奧為形象，更易理解

如何讓學生清晰地建構起乘法分配律的數學模型，這是教學的基礎，也是理解的前提。要讓學生將乘法分配律有效地印在腦海中，用自己最能理解的方式描述是一個非常有效的策略。如人教版課本中對乘法分配律是這樣表述的：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘再相加，這叫作乘法分配律。”這一條由大量的數學術語堆積而成的抽象定義讓學生感到“深奧”難懂，對于小學生來說理解記憶有一定困難。對此，筆者采用了以下教學方法：

步驟1：讓學生獨立使用不同的方法列式，多數學生能列出25×4+25×2和25×（4+2）兩種不同的算式。

步驟2：要求學生互相說說每個算式的意義：25×4+25×2表示先求上午和下午各種多少棵，再求一天共種多少棵；25×（4+2）表示先求一天種了多少小時，再求一天共種了多少棵。

步驟3：引導學生用乘法的意義進行比較，25×4+25×2表示4個25加上2個25，25×（4+2）表示4加2個25。接著要求用這樣的方法描述成等式：“4個25加上2個25等于4加2個25”，或者“4加2個25等于4個25加上2個25”。這樣換了一種讀法，看似簡單，實質是讓學生真正理解了算式的內涵，加深了對乘法分配律具體算式的理解。

步驟4：對于用字母來表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，試著讓學生用上述方法讀：“a個c加上b個c等于a+b個c”。比較我們通常的讀法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意義的意讀，而后者是利用數學術語的直讀。實踐證明，僅僅由于兩種讀法的不同，對于小學生來說，對分配律的理解與記憶效果是大相徑庭。

二、 打個比方，化抽象為具體，更易區別

筆者仔細分析學生作業中的錯誤，發現其中最常見的錯誤是與乘法結合律等以前學的運算定律產生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

為了讓學生在簡便計算中不會混淆用乘法分配律還是用乘法結合律，筆者首先讓學生進行對比練習：25×（40+4）和25×（4×40），引導學生說說題目的異同、進行簡便計算的不同以及兩題各自分別用什么作計算依據。

在小結時通過打比方提醒學生注意：“乘法分配律與乘法結合律如同一對雙胞胎，像我們班級里的王林旭和王林威，平時他們穿著一樣，教室外老師常常分辨不清，你們會弄錯誰是誰嗎？”學生都說不會。教師又問：“他們長得這么像，你們為什么不會認錯？”幾乎每個學生都能說出他們一些細小的區別。教師相機提出：“現在乘法分配律與乘法結合律這對雙胞胎也需要你們認真觀察，仔細辨認，你們會區分嗎？”大家大聲喊道“會”。一個小小的比方，因為是學生熟悉的人物，因此更能激發學生的學習情緒，也在無形中加深了學生的印象。

教師隨機進行鞏固練習：“我們來試一試125×88，可以怎樣簡便計算？”學生都很有興趣、非常仔細地做了起來，匯報時都信心滿滿：“88拆成80+8，是加號，用乘法分配律，分成80個125和8個125”。“88拆成8×11，是乘號，用乘法結合律，8與125先乘，再乘11”。在之后的練習中，學生自覺地以辨認“雙胞胎”為鑒，計算錯誤明顯減少。

這一次的“雙胞胎”比方雖然筆者是借用了該班中獨有的雙胞胎資源，這在其他班中很少見，但是化抽象為具體的方法卻是值得借鑒的。比如在其他班級的授課中，筆者則用學生比較熟悉的卡通人物、明星等作為舉例，引導學生自主產生仔細觀察、辨認特征的意識，同樣十分有效。

三、一題多變，化刻板為靈活，更易鞏固

利用運算定律進行簡便計算，題目形式多樣，對小學生來說出現計算錯誤也是在所難免的，尤其是在乘法分配律教學之后，如何靈活使用運算律，常常讓許多學生束手無策。為此，筆者通過設計變式題和對比題，來對學生進行強化訓練，將學生原先刻板地套用公式轉化為能靈活地運用定律，從而提高計算能力。考慮到練習題的設計要少而精，要富有思維含量，從而點燃學生思維的火花，達到知識鞏固的目的，筆者對題目的設計作了精心考慮。

例如：小明不小心打翻了墨水，作業紙有部分看不清了——簡便計算：25× 。“你能幫小明將題目補一補嗎？補充后的題目希望能用運算定律簡便計算，看誰補得多，同類的一種就可以了。”學生出現了各種不同的補法：補12——25×12=25×4×3；補42——25×42=25×（40+2）；補99——25×99=25×（100-1）；補401——25×401=25×（400+1）；補13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接著，要求學生給這些題分一分類，并說一說你是根據什么分類的？這一環節的設計，教師沒有對分類的數量等作出具體的要求，不同層次的學生可以量力而為，學困生也能寫出一兩題。由于題目是由學生自己設計的，這使得他們在計算時更加投入，運算定律的應用也更加仔細，效果明顯；而“分一分類”是對簡便計算結構模型的一次自主整理，學生的認知結構得到完善，思維得以拓寬，簡便計算也得到了鞏固。

乘法分配律一課的研究留給筆者最大的啟示在于，教學難點的突破關鍵在于教師適當的引導與點撥，從而充分地調動起學生自主學習的積極性。同時，抽象的內容越是形象化、學習內容與學生的生活越是貼近，越能促進學生牢固地掌握知識。

（浙江省紹興市上虞區梁湖鎮中心小學 312300）endprint