數(shù)學(xué)中的執(zhí)因索果與執(zhí)果索因

張興萍

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中，人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結(jié)論出發(fā)，逐步地追溯使結(jié)論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點(diǎn)是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點(diǎn)則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實(shí)際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達(dá)解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執(zhí)果索因思維方法）要證明 + >4，因?yàn)閍>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執(zhí)因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時(shí)等號(hào)成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 滿足|x -x |=3，求實(shí)數(shù)m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 到底是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運(yùn)用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列，則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如：{a }是非常數(shù)等差數(shù)列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數(shù)列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個(gè)常數(shù)）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當(dāng)n≥2時(shí)，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）= = =

（顯然上式對(duì)n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個(gè)等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對(duì)稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個(gè)比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對(duì)數(shù)，不妨設(shè)這個(gè)比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對(duì)數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個(gè)比值式，通常可以設(shè)這個(gè)比值式的比值為一個(gè)常數(shù)k或 ，由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中，人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結(jié)論出發(fā)，逐步地追溯使結(jié)論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點(diǎn)是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點(diǎn)則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實(shí)際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達(dá)解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執(zhí)果索因思維方法）要證明 + >4，因?yàn)閍>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執(zhí)因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時(shí)等號(hào)成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 滿足|x -x |=3，求實(shí)數(shù)m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 到底是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運(yùn)用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列，則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如：{a }是非常數(shù)等差數(shù)列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數(shù)列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個(gè)常數(shù)）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當(dāng)n≥2時(shí)，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）= = =

（顯然上式對(duì)n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個(gè)等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對(duì)稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個(gè)比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對(duì)數(shù)，不妨設(shè)這個(gè)比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對(duì)數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個(gè)比值式，通常可以設(shè)這個(gè)比值式的比值為一個(gè)常數(shù)k或 ，由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint

在數(shù)學(xué)問題的分析和解答中，人們往往愛用執(zhí)因索果或者執(zhí)果索因的思維方法.前者是從條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出所需的結(jié)論，反映在解法上往往為綜合法；后者則是從結(jié)論出發(fā)，逐步地追溯使結(jié)論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法.綜合法的特點(diǎn)是從已知看可知逐步推向未知；而分析法的特點(diǎn)則是從未知看需知逐步靠攏已知.在實(shí)際解決問題的過程中往往是用執(zhí)果索因的思維方法分析尋找解題思路，而用綜合法表達(dá)解證過程.

例1：已知a、b是互不相等的正數(shù)且a+b=1，試證 + >4.

證法一：（執(zhí)果索因思維方法）要證明 + >4，因?yàn)閍>0、b>0，所以只要證明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要證明1>4a（1-a），就是要證明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要證明a≠ .條件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

證法二：（執(zhí)因索果思維方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時(shí)等號(hào)成立.∵a≠b，∴ + >4.

證法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可設(shè)a=cos α則b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 滿足|x -x |=3，求實(shí)數(shù)m的值.

分析：本題中方程x +x+m=0的兩個(gè)根x 、x 到底是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)并沒有明確，但是x 、x ∈C則沒有任何疑問.為此，如何運(yùn)用條件|x -x |=3則是解本題的關(guān)鍵.x 、x ∈C且|x -x |=3，則9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：設(shè)s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本題的關(guān)鍵是必須把 逐步轉(zhuǎn)化為 的某種關(guān)系.若注意到{a }、{b }均為等差數(shù)列，則可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化.比如：{a }是非常數(shù)等差數(shù)列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均為等差數(shù)列（記φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即為所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分別是等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0為一個(gè)常數(shù)）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

當(dāng)n≥2時(shí)，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）= = =

（顯然上式對(duì)n=1得比值為f（1）= ），∴f（n）= 即為所求.

備注：若兩個(gè)等差數(shù)列{a }、{b }的前n項(xiàng)之和s 、t 的比值記為φ（n）= ，而記 =f（n），則f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，則x y =y z =z x .

分析：本題的條件式 = = ，和結(jié)論式x y =y z =z x 都是關(guān)于x、y、z的輪換對(duì)稱式子，因此要證x y =y z =z x 成立，只要證明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一則同理可證.由于條件式 = = ，是一個(gè)比值式（該比值非0，否則x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0與x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有對(duì)數(shù)，不妨設(shè)這個(gè)比值為 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我們能夠把結(jié)論式x y =y z 或y z =z x 都化為對(duì)數(shù)的形式問題就可能有解決的辦法.

證明：要證明x y =y z 成立，只要證明log x y =log y z 成立，只要證明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令條件比值式= 則log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以證明y z =z x 成立.

∴若 = = ，則x y =y z =z x .

備注：一般地，若條件式是一個(gè)比值式，通常可以設(shè)這個(gè)比值式的比值為一個(gè)常數(shù)k或 ，由此可以把條件簡化為關(guān)于常數(shù)k的代數(shù)式便于應(yīng)用條件.endprint