基于數(shù)學實驗下的課例設計初探

吳方淼

摘 要： 數(shù)學實驗教學可以向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法.本文以“拋物線及其標準方程”設計為例，談談從數(shù)學實驗的角度出發(fā)進行數(shù)學課堂教學的設計及思考.

關鍵詞： 課例設計 數(shù)學實驗 拋物線及其標準方程

高中數(shù)學課程設立“數(shù)學探究”、“數(shù)學建模”等學習專題，旨在通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.現(xiàn)代信息技術的廣泛應用對數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學教學、數(shù)學學習等方面產(chǎn)生了深刻的影響.在這種課程改革背景下，高中數(shù)學應提倡信息技術與課程內(nèi)容的有機整合，適時有效地使用計算機、TI圖形計算器、各種數(shù)學軟件平臺等探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學，實現(xiàn)這一理念的有效方式是開展數(shù)學實驗教學.

1.實驗一（操作實驗）：探尋軌跡1

數(shù)學操作實驗是指通過對一些工具、模型的動手操作，創(chuàng)設問題情境，學生自主探索數(shù)學知識，檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

1.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，圓規(guī)，鉛筆，8K白紙.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人，采用合作學習方式.

1.2問題：給定一定點F和一條定直線l，如果動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離相等，那么動點M的軌跡是什么呢？請思考.

1.3實驗設計：（1）請找出一個到定點M與定直線l距離相等的點M .學生作圖：過F作直線l的垂線，垂足為H ，取FH 的中點即得M （圖1略）.（2）請再作一個滿足條件的點M .（同學們合作討論，教師巡查并和學生交流.）學生作圖：在l上取不同于H 的點H ，連接FH ，作FH 的中垂線，再過H 作l的垂線交FH 的中垂線于點M ，點M 即為所求作的點（圖2略）.（3）請同學們根據(jù)點M 的作法，再作出幾個不同的點M ，M ，M ，…，M …，用描點法畫出這些點的軌跡，并觀察軌跡是什么圖形？學生作圖：學生作出圖像（圖3略）.（4）師生交流.（5）給出拋物線的定義.

1.4設計意圖：設計該實驗的主要目的是讓學生在自主探索、動手實踐、合作交流中形成數(shù)學概念，體驗習得知識的樂趣和獲得成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)科學探索精神.

2.實驗二（計算機實驗）：探尋軌跡2

數(shù)學計算機實驗是指借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和強大的圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，是引導學生自主探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

2.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

2.2實驗設計：（1）各小組通過實驗一作點的方法，用幾何畫板作出動點（圖4略）.（2）移動點H，觀察點M形成的軌跡（圖5略）.（3）學生交流想法.

2.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為實驗一中學生徒手畫的軌跡圖像不夠精確，讓學生運用幾何畫板作圖再次驗證動點M的軌跡，呈現(xiàn)完美的圖像.從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時使學生體驗到現(xiàn)代信息技術給我們的學習和生活所帶來的深刻變化.

3.實驗三（思維實驗）：探求軌跡的標準方程

數(shù)學思維實驗是指通過產(chǎn)生靈感、邏輯推理、數(shù)學演算等發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律或結(jié)論的過程，是引導學生自主探究數(shù)學知識、探求數(shù)學結(jié)論的學習活動.

3.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，鉛筆，8K白紙.（2）全班分成3大組進行合作學習.

3.2實驗設計：（1）請同學們思考，如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼登蠼鈷佄锞€的標準方程.（學生思考，總結(jié)或引導出三種典型的建系方法，第一種是以過點F作l的垂線為x軸，l為y軸（圖6略），第二種是以過點F作l的垂線為x軸，過點作x軸的垂線為y軸（圖7略），第三種是以過F作l的垂線為x軸，過F到l的垂線段的中點作x軸的垂線為y軸（圖8略）.）（2）分3組分別推導上圖3種情況下的軌跡方程（每組派一位同學板演）.（3）展示3種情況得到的軌跡方程分別是：①y =2px-p ；②y =2px+p ；③y =2px.（4）讓學生選出最簡潔的式子③作為拋物線的標準方程，并歸納標準方程的含義.（5）請學生推導其余3種標準方程.（6）學生交流想法.

3.3設計意圖：此實驗的重點放在建系和推導方程上，設計的目的是讓學生動手實踐去推導各種坐標系下動點M的軌跡方程，親身體驗因建系的不同而導致方程的差異，體會最優(yōu)化的數(shù)學思想和數(shù)學建模的思想方法.通過實驗引導學生自主探究數(shù)學知識和探求數(shù)學結(jié)論.

4.實驗四（計算機實驗）：驗證二次函數(shù)圖像滿足拋物線定義

4.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

4.2實驗設計：（1）運用幾何畫板作出二次函數(shù)y=x +2x-1（任意選取）的圖像.（2）在（1）中畫面作點F（-1，- ）和直線y=- .（3）在函數(shù)y=x +2x-1的圖像上任取一點M，過M作直線y=- 的垂線，垂足為H，再作線段MF和MH.（4）度量線段MF和MH，拖動點M，觀察線段MF和MH的度量變化值（圖9略）.（5）引導學生分析總結(jié)出點F（-1，- ）和直線y=- 即為該拋物線的焦點和準線.（6）師生一起交流和分享學習體會.

4.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為學生初中就知道二次函數(shù)圖像是拋物線，但對圖像的軌跡理解僅停留在是物體拋出去的軌跡這一層面上.學習了拋物線之后，讓學生親自驗證二次函數(shù)圖像確實是滿足拋物線定義的.通過這個實驗，學生體驗到現(xiàn)代信息技術在給我們學習和生活帶來便利的同時，更重要的是培養(yǎng)學生敢于提出猜想、驗證猜想的科學精神.

參考文獻：

[1]邵光華，卞忠運.數(shù)學實驗的理論研究與實踐[J].課程·教材·教法，2007（3）.

[2]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）.endprint

摘 要： 數(shù)學實驗教學可以向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法.本文以“拋物線及其標準方程”設計為例，談談從數(shù)學實驗的角度出發(fā)進行數(shù)學課堂教學的設計及思考.

關鍵詞： 課例設計 數(shù)學實驗 拋物線及其標準方程

高中數(shù)學課程設立“數(shù)學探究”、“數(shù)學建模”等學習專題，旨在通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.現(xiàn)代信息技術的廣泛應用對數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學教學、數(shù)學學習等方面產(chǎn)生了深刻的影響.在這種課程改革背景下，高中數(shù)學應提倡信息技術與課程內(nèi)容的有機整合，適時有效地使用計算機、TI圖形計算器、各種數(shù)學軟件平臺等探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學，實現(xiàn)這一理念的有效方式是開展數(shù)學實驗教學.

1.實驗一（操作實驗）：探尋軌跡1

數(shù)學操作實驗是指通過對一些工具、模型的動手操作，創(chuàng)設問題情境，學生自主探索數(shù)學知識，檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

1.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，圓規(guī)，鉛筆，8K白紙.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人，采用合作學習方式.

1.2問題：給定一定點F和一條定直線l，如果動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離相等，那么動點M的軌跡是什么呢？請思考.

1.3實驗設計：（1）請找出一個到定點M與定直線l距離相等的點M .學生作圖：過F作直線l的垂線，垂足為H ，取FH 的中點即得M （圖1略）.（2）請再作一個滿足條件的點M .（同學們合作討論，教師巡查并和學生交流.）學生作圖：在l上取不同于H 的點H ，連接FH ，作FH 的中垂線，再過H 作l的垂線交FH 的中垂線于點M ，點M 即為所求作的點（圖2略）.（3）請同學們根據(jù)點M 的作法，再作出幾個不同的點M ，M ，M ，…，M …，用描點法畫出這些點的軌跡，并觀察軌跡是什么圖形？學生作圖：學生作出圖像（圖3略）.（4）師生交流.（5）給出拋物線的定義.

1.4設計意圖：設計該實驗的主要目的是讓學生在自主探索、動手實踐、合作交流中形成數(shù)學概念，體驗習得知識的樂趣和獲得成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)科學探索精神.

2.實驗二（計算機實驗）：探尋軌跡2

數(shù)學計算機實驗是指借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和強大的圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，是引導學生自主探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

2.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

2.2實驗設計：（1）各小組通過實驗一作點的方法，用幾何畫板作出動點（圖4略）.（2）移動點H，觀察點M形成的軌跡（圖5略）.（3）學生交流想法.

2.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為實驗一中學生徒手畫的軌跡圖像不夠精確，讓學生運用幾何畫板作圖再次驗證動點M的軌跡，呈現(xiàn)完美的圖像.從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時使學生體驗到現(xiàn)代信息技術給我們的學習和生活所帶來的深刻變化.

3.實驗三（思維實驗）：探求軌跡的標準方程

數(shù)學思維實驗是指通過產(chǎn)生靈感、邏輯推理、數(shù)學演算等發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律或結(jié)論的過程，是引導學生自主探究數(shù)學知識、探求數(shù)學結(jié)論的學習活動.

3.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，鉛筆，8K白紙.（2）全班分成3大組進行合作學習.

3.2實驗設計：（1）請同學們思考，如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼登蠼鈷佄锞€的標準方程.（學生思考，總結(jié)或引導出三種典型的建系方法，第一種是以過點F作l的垂線為x軸，l為y軸（圖6略），第二種是以過點F作l的垂線為x軸，過點作x軸的垂線為y軸（圖7略），第三種是以過F作l的垂線為x軸，過F到l的垂線段的中點作x軸的垂線為y軸（圖8略）.）（2）分3組分別推導上圖3種情況下的軌跡方程（每組派一位同學板演）.（3）展示3種情況得到的軌跡方程分別是：①y =2px-p ；②y =2px+p ；③y =2px.（4）讓學生選出最簡潔的式子③作為拋物線的標準方程，并歸納標準方程的含義.（5）請學生推導其余3種標準方程.（6）學生交流想法.

3.3設計意圖：此實驗的重點放在建系和推導方程上，設計的目的是讓學生動手實踐去推導各種坐標系下動點M的軌跡方程，親身體驗因建系的不同而導致方程的差異，體會最優(yōu)化的數(shù)學思想和數(shù)學建模的思想方法.通過實驗引導學生自主探究數(shù)學知識和探求數(shù)學結(jié)論.

4.實驗四（計算機實驗）：驗證二次函數(shù)圖像滿足拋物線定義

4.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

4.2實驗設計：（1）運用幾何畫板作出二次函數(shù)y=x +2x-1（任意選取）的圖像.（2）在（1）中畫面作點F（-1，- ）和直線y=- .（3）在函數(shù)y=x +2x-1的圖像上任取一點M，過M作直線y=- 的垂線，垂足為H，再作線段MF和MH.（4）度量線段MF和MH，拖動點M，觀察線段MF和MH的度量變化值（圖9略）.（5）引導學生分析總結(jié)出點F（-1，- ）和直線y=- 即為該拋物線的焦點和準線.（6）師生一起交流和分享學習體會.

4.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為學生初中就知道二次函數(shù)圖像是拋物線，但對圖像的軌跡理解僅停留在是物體拋出去的軌跡這一層面上.學習了拋物線之后，讓學生親自驗證二次函數(shù)圖像確實是滿足拋物線定義的.通過這個實驗，學生體驗到現(xiàn)代信息技術在給我們學習和生活帶來便利的同時，更重要的是培養(yǎng)學生敢于提出猜想、驗證猜想的科學精神.

參考文獻：

[1]邵光華，卞忠運.數(shù)學實驗的理論研究與實踐[J].課程·教材·教法，2007（3）.

[2]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）.endprint

摘 要： 數(shù)學實驗教學可以向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法.本文以“拋物線及其標準方程”設計為例，談談從數(shù)學實驗的角度出發(fā)進行數(shù)學課堂教學的設計及思考.

關鍵詞： 課例設計 數(shù)學實驗 拋物線及其標準方程

高中數(shù)學課程設立“數(shù)學探究”、“數(shù)學建模”等學習專題，旨在通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.現(xiàn)代信息技術的廣泛應用對數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學教學、數(shù)學學習等方面產(chǎn)生了深刻的影響.在這種課程改革背景下，高中數(shù)學應提倡信息技術與課程內(nèi)容的有機整合，適時有效地使用計算機、TI圖形計算器、各種數(shù)學軟件平臺等探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學，實現(xiàn)這一理念的有效方式是開展數(shù)學實驗教學.

1.實驗一（操作實驗）：探尋軌跡1

數(shù)學操作實驗是指通過對一些工具、模型的動手操作，創(chuàng)設問題情境，學生自主探索數(shù)學知識，檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

1.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，圓規(guī)，鉛筆，8K白紙.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人，采用合作學習方式.

1.2問題：給定一定點F和一條定直線l，如果動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離相等，那么動點M的軌跡是什么呢？請思考.

1.3實驗設計：（1）請找出一個到定點M與定直線l距離相等的點M .學生作圖：過F作直線l的垂線，垂足為H ，取FH 的中點即得M （圖1略）.（2）請再作一個滿足條件的點M .（同學們合作討論，教師巡查并和學生交流.）學生作圖：在l上取不同于H 的點H ，連接FH ，作FH 的中垂線，再過H 作l的垂線交FH 的中垂線于點M ，點M 即為所求作的點（圖2略）.（3）請同學們根據(jù)點M 的作法，再作出幾個不同的點M ，M ，M ，…，M …，用描點法畫出這些點的軌跡，并觀察軌跡是什么圖形？學生作圖：學生作出圖像（圖3略）.（4）師生交流.（5）給出拋物線的定義.

1.4設計意圖：設計該實驗的主要目的是讓學生在自主探索、動手實踐、合作交流中形成數(shù)學概念，體驗習得知識的樂趣和獲得成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)科學探索精神.

2.實驗二（計算機實驗）：探尋軌跡2

數(shù)學計算機實驗是指借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和強大的圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，是引導學生自主探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設）的學習活動.

2.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

2.2實驗設計：（1）各小組通過實驗一作點的方法，用幾何畫板作出動點（圖4略）.（2）移動點H，觀察點M形成的軌跡（圖5略）.（3）學生交流想法.

2.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為實驗一中學生徒手畫的軌跡圖像不夠精確，讓學生運用幾何畫板作圖再次驗證動點M的軌跡，呈現(xiàn)完美的圖像.從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時使學生體驗到現(xiàn)代信息技術給我們的學習和生活所帶來的深刻變化.

3.實驗三（思維實驗）：探求軌跡的標準方程

數(shù)學思維實驗是指通過產(chǎn)生靈感、邏輯推理、數(shù)學演算等發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律或結(jié)論的過程，是引導學生自主探究數(shù)學知識、探求數(shù)學結(jié)論的學習活動.

3.1活動準備：（1）準備工具：三角板，直尺，鉛筆，8K白紙.（2）全班分成3大組進行合作學習.

3.2實驗設計：（1）請同學們思考，如何建立適當?shù)闹苯亲鴺讼登蠼鈷佄锞€的標準方程.（學生思考，總結(jié)或引導出三種典型的建系方法，第一種是以過點F作l的垂線為x軸，l為y軸（圖6略），第二種是以過點F作l的垂線為x軸，過點作x軸的垂線為y軸（圖7略），第三種是以過F作l的垂線為x軸，過F到l的垂線段的中點作x軸的垂線為y軸（圖8略）.）（2）分3組分別推導上圖3種情況下的軌跡方程（每組派一位同學板演）.（3）展示3種情況得到的軌跡方程分別是：①y =2px-p ；②y =2px+p ；③y =2px.（4）讓學生選出最簡潔的式子③作為拋物線的標準方程，并歸納標準方程的含義.（5）請學生推導其余3種標準方程.（6）學生交流想法.

3.3設計意圖：此實驗的重點放在建系和推導方程上，設計的目的是讓學生動手實踐去推導各種坐標系下動點M的軌跡方程，親身體驗因建系的不同而導致方程的差異，體會最優(yōu)化的數(shù)學思想和數(shù)學建模的思想方法.通過實驗引導學生自主探究數(shù)學知識和探求數(shù)學結(jié)論.

4.實驗四（計算機實驗）：驗證二次函數(shù)圖像滿足拋物線定義

4.1活動準備：（1）準備工具：筆記本電腦12臺，要求安裝幾何畫板.（2）把全班48人平均分成12個小組，每組4人進行合作學習.

4.2實驗設計：（1）運用幾何畫板作出二次函數(shù)y=x +2x-1（任意選取）的圖像.（2）在（1）中畫面作點F（-1，- ）和直線y=- .（3）在函數(shù)y=x +2x-1的圖像上任取一點M，過M作直線y=- 的垂線，垂足為H，再作線段MF和MH.（4）度量線段MF和MH，拖動點M，觀察線段MF和MH的度量變化值（圖9略）.（5）引導學生分析總結(jié)出點F（-1，- ）和直線y=- 即為該拋物線的焦點和準線.（6）師生一起交流和分享學習體會.

4.3設計意圖：設計該實驗的主要目的是因為學生初中就知道二次函數(shù)圖像是拋物線，但對圖像的軌跡理解僅停留在是物體拋出去的軌跡這一層面上.學習了拋物線之后，讓學生親自驗證二次函數(shù)圖像確實是滿足拋物線定義的.通過這個實驗，學生體驗到現(xiàn)代信息技術在給我們學習和生活帶來便利的同時，更重要的是培養(yǎng)學生敢于提出猜想、驗證猜想的科學精神.

參考文獻：

[1]邵光華，卞忠運.數(shù)學實驗的理論研究與實踐[J].課程·教材·教法，2007（3）.

[2]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）.endprint