這樣探究行嗎？

董文學

今年3月25日晚上，在武漢小學筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實踐學與教的研究”課題組研討活動。活動中，黃石市市府路小學的一位教師介紹了他們學校設計的一節“綜合與實踐”活動課，名為“小紙片，大玄機”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學教師設計的“小紙片，大玄機”這節課屬于“小課題”形式的數學活動課。教學對象是六年級學生。這節課引導學生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個角上各剪下一個相同的小正方形，然后將這張紙折成一個無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。

教師首先引導全班學生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規律。然后將學生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學生在教師的引導下進行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導學生觀察表格，得出結論：當剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時教師指出：這個規律是否真的存在，我們進一步用數據來驗證。于是教師要求學生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進行驗證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設計者可謂是頗有智慧、獨具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復雜的生活問題中找到了適合學生探究、學生感興趣的問題，并讓學生在活動中經歷探究的過程、交流各自的發現，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認真學習的。但是，筆者個人認為這節課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”合理嗎？

學生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。很顯然，取整數厘米，學生的探究次數是有限的，計算也較容易，但卻存在著一個問題。試想，如果學生用長、寬、高取整數厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結論不符。

的錯，限于小學生的認知水平，不完全歸納法仍是一個探尋規律、發現規律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學生就要探究無數次，因為折成長方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設計中，教師為了讓學生順利得出結論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進行研究，以利于學生通過不完全歸納法得出正確結論。可是，指定若干個數據進行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理。“不完全歸納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質，推出這類對象全體都具有這種性質的歸納推理方法。這里的“部分對象”應是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學生應有在一定范圍內選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權利，也只有這樣得出的結論才具有說服力。

總之，在此活動設計中，探究過程存在一定漏洞，得出的結論還不足以讓人信服。

三、改進的建議

為解決以上兩個問題，筆者個人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結論。引導學生探究“邊長為6厘米倍數的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時，學生可自由選取邊長為6厘米倍數的任何一個正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學生經過自主探究，合作交流，可以得出結論：對于邊長為6厘米倍數的正方形，當剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數，是不是也存在同樣的規律呢？轉而進入第二大步驟。

第二大步驟：結論推廣。讓學生猜想是否有同樣的規律，再想辦法進行驗證。這時就不再限定“長、寬、高取整數厘米”。在驗證前可以引導學生觀察第一個步驟中的記錄表，讓學生發現折成的容器的高由小到大逐漸增加時，容器的容積變化特點是先變大，到達最大值后，又逐漸變小。再讓學生討論可以如何驗證。實際上，驗證時，學生可以先找出待驗證的“最大容積”及這時容器的高，然后只需驗證比這個“高”多一點和少一點時，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學生猜想的結論是：當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時，折成的容器容積最大，這時最大容積是250立方厘米。學生只需驗證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗證時應允許學生用計算器或Excel等工具，當然教師也可以利用幾何畫板，讓學生操作、觀察進行驗證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學生可以得出令他們信服的結論，同時也經歷了科學探究的一般過程，探究過程較為嚴謹。

四、補充的說明

從數學的角度出發，從“不完全歸納法”推理得出的結論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進行數學證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結論對小學生來說是正確的，小學生沒有足夠的知識去質疑它。但作為教師，可以用求函數極值的方法來得到這個結論。設原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數的一階導數為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點x=。

當x=時，函數的二階導數

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當x=時原函數有極大值。由于在定義域內只有一個極值點，且是極大值點，因此也就是取得最大值的點。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區前川鎮第五小學 430300）

今年3月25日晚上，在武漢小學筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實踐學與教的研究”課題組研討活動。活動中，黃石市市府路小學的一位教師介紹了他們學校設計的一節“綜合與實踐”活動課，名為“小紙片，大玄機”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學教師設計的“小紙片，大玄機”這節課屬于“小課題”形式的數學活動課。教學對象是六年級學生。這節課引導學生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個角上各剪下一個相同的小正方形，然后將這張紙折成一個無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。

教師首先引導全班學生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規律。然后將學生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學生在教師的引導下進行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導學生觀察表格，得出結論：當剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時教師指出：這個規律是否真的存在，我們進一步用數據來驗證。于是教師要求學生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進行驗證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設計者可謂是頗有智慧、獨具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復雜的生活問題中找到了適合學生探究、學生感興趣的問題，并讓學生在活動中經歷探究的過程、交流各自的發現，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認真學習的。但是，筆者個人認為這節課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”合理嗎？

學生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。很顯然，取整數厘米，學生的探究次數是有限的，計算也較容易，但卻存在著一個問題。試想，如果學生用長、寬、高取整數厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結論不符。

的錯，限于小學生的認知水平，不完全歸納法仍是一個探尋規律、發現規律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學生就要探究無數次，因為折成長方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設計中，教師為了讓學生順利得出結論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進行研究，以利于學生通過不完全歸納法得出正確結論。可是，指定若干個數據進行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理。“不完全歸納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質，推出這類對象全體都具有這種性質的歸納推理方法。這里的“部分對象”應是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學生應有在一定范圍內選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權利，也只有這樣得出的結論才具有說服力。

總之，在此活動設計中，探究過程存在一定漏洞，得出的結論還不足以讓人信服。

三、改進的建議

為解決以上兩個問題，筆者個人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結論。引導學生探究“邊長為6厘米倍數的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時，學生可自由選取邊長為6厘米倍數的任何一個正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學生經過自主探究，合作交流，可以得出結論：對于邊長為6厘米倍數的正方形，當剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數，是不是也存在同樣的規律呢？轉而進入第二大步驟。

第二大步驟：結論推廣。讓學生猜想是否有同樣的規律，再想辦法進行驗證。這時就不再限定“長、寬、高取整數厘米”。在驗證前可以引導學生觀察第一個步驟中的記錄表，讓學生發現折成的容器的高由小到大逐漸增加時，容器的容積變化特點是先變大，到達最大值后，又逐漸變小。再讓學生討論可以如何驗證。實際上，驗證時，學生可以先找出待驗證的“最大容積”及這時容器的高，然后只需驗證比這個“高”多一點和少一點時，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學生猜想的結論是：當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時，折成的容器容積最大，這時最大容積是250立方厘米。學生只需驗證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗證時應允許學生用計算器或Excel等工具，當然教師也可以利用幾何畫板，讓學生操作、觀察進行驗證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學生可以得出令他們信服的結論，同時也經歷了科學探究的一般過程，探究過程較為嚴謹。

四、補充的說明

從數學的角度出發，從“不完全歸納法”推理得出的結論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進行數學證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結論對小學生來說是正確的，小學生沒有足夠的知識去質疑它。但作為教師，可以用求函數極值的方法來得到這個結論。設原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數的一階導數為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點x=。

當x=時，函數的二階導數

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當x=時原函數有極大值。由于在定義域內只有一個極值點，且是極大值點，因此也就是取得最大值的點。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區前川鎮第五小學 430300）

今年3月25日晚上，在武漢小學筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實踐學與教的研究”課題組研討活動。活動中，黃石市市府路小學的一位教師介紹了他們學校設計的一節“綜合與實踐”活動課，名為“小紙片，大玄機”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學教師設計的“小紙片，大玄機”這節課屬于“小課題”形式的數學活動課。教學對象是六年級學生。這節課引導學生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個角上各剪下一個相同的小正方形，然后將這張紙折成一個無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。

教師首先引導全班學生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規律。然后將學生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學生在教師的引導下進行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導學生觀察表格，得出結論：當剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時教師指出：這個規律是否真的存在，我們進一步用數據來驗證。于是教師要求學生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進行驗證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設計者可謂是頗有智慧、獨具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復雜的生活問題中找到了適合學生探究、學生感興趣的問題，并讓學生在活動中經歷探究的過程、交流各自的發現，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認真學習的。但是，筆者個人認為這節課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”合理嗎？

學生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米。很顯然，取整數厘米，學生的探究次數是有限的，計算也較容易，但卻存在著一個問題。試想，如果學生用長、寬、高取整數厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結論不符。

的錯，限于小學生的認知水平，不完全歸納法仍是一個探尋規律、發現規律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學生就要探究無數次，因為折成長方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設計中，教師為了讓學生順利得出結論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進行研究，以利于學生通過不完全歸納法得出正確結論。可是，指定若干個數據進行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理。“不完全歸納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質，推出這類對象全體都具有這種性質的歸納推理方法。這里的“部分對象”應是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學生應有在一定范圍內選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權利，也只有這樣得出的結論才具有說服力。

總之，在此活動設計中，探究過程存在一定漏洞，得出的結論還不足以讓人信服。

三、改進的建議

為解決以上兩個問題，筆者個人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結論。引導學生探究“邊長為6厘米倍數的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時，學生可自由選取邊長為6厘米倍數的任何一個正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學生經過自主探究，合作交流，可以得出結論：對于邊長為6厘米倍數的正方形，當剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數，是不是也存在同樣的規律呢？轉而進入第二大步驟。

第二大步驟：結論推廣。讓學生猜想是否有同樣的規律，再想辦法進行驗證。這時就不再限定“長、寬、高取整數厘米”。在驗證前可以引導學生觀察第一個步驟中的記錄表，讓學生發現折成的容器的高由小到大逐漸增加時，容器的容積變化特點是先變大，到達最大值后，又逐漸變小。再讓學生討論可以如何驗證。實際上，驗證時，學生可以先找出待驗證的“最大容積”及這時容器的高，然后只需驗證比這個“高”多一點和少一點時，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學生猜想的結論是：當剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時，折成的容器容積最大，這時最大容積是250立方厘米。學生只需驗證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗證時應允許學生用計算器或Excel等工具，當然教師也可以利用幾何畫板，讓學生操作、觀察進行驗證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學生可以得出令他們信服的結論，同時也經歷了科學探究的一般過程，探究過程較為嚴謹。

四、補充的說明

從數學的角度出發，從“不完全歸納法”推理得出的結論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進行數學證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結論對小學生來說是正確的，小學生沒有足夠的知識去質疑它。但作為教師，可以用求函數極值的方法來得到這個結論。設原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數的一階導數為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點x=。

當x=時，函數的二階導數

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當x=時原函數有極大值。由于在定義域內只有一個極值點，且是極大值點，因此也就是取得最大值的點。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區前川鎮第五小學 430300）