Logistic映射產生的混沌序列

劉臣等

摘 要：混沌理論是一門專門研究奇異函數、奇異圖形的數學理論，是一門研究自然界有序、無序規律的學科。混沌學被很多學者認為是二十世紀繼相對論、量子力學之后，物理學發生的第三次大革命。混沌學中的混沌是貌似無序的有序，紊亂中的規律。混沌學的面世，標志著人類歷史上又一次重大科學的進步，因為人們可以從更接近實際的角度去認識這個既無序又有序的世界。混沌序列的產生有多種方法，常用的是Logistic映射和Chebyshev映射，本文采用的是Logistic映射的滿映射。

關鍵字：混沌；logistic映射；序列

1963年美國氣象學家E.N.Lorenz提出了著名的“蝴蝶效應”，“蝴蝶效應”大意為：一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，不經意間扇動幾下翅膀，兩周后可能就會在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。其原因在于：蝴蝶翅膀的運動，會導致其身邊的空氣系統發生變化，并會產生微弱的氣流，而微弱氣流的產生又會引起四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起一系列的連鎖反映，最終可能會導致其他系統的極大變化。

這是他在研究大氣時發現，當選取一定量的參數時，一個由確定三階常微分方程組描述的大氣對流模型變得不可預測。經過長期反復的數值實驗和理論思考， Lorenz從同一系統出現的一系列非周期無規則行為中發現了混沌運動，這為后來的混沌研究奠定了基礎。

一般地，當一個接近實際而沒有內在隨機性的模型，仍然具有貌似隨機的行為，我們就可以說這個真實物理系統是混沌的。混沌系統具有三個關鍵要素：一是對初始條件的敏感依賴性，即蝴蝶效應；二是奇異吸引子，這里是非線性事件的發生點，它通過誘發系統的活力，使其變為非預設模式，從而產生了不可預測性；三是分形，它具有二個普通特征：自始至終都是不規則的以及在不同的尺度上，不規則程度卻是一個常量，這同時也表明了有序和無序的統一。混沌系統經常是自反饋系統，出來的東西回去之后，經過變換再出來，循環往復，任何初始值的微小變動都會按指數放大，因此會導致系統內在長期的不可預測性。

混沌來自于非線性動力系統，而動力系統描述的是隨時間發展變化的任意過程，并且這樣的系統產生于生活的各個方面。即使是一個理想化的、僅有一個變量的最簡單的動力系統，也會具有難以預測的、基本上是隨機的特性。動力系統中的一點或者是一個數的連續迭代產生的序列稱為軌道。如果初始條件的微小改變使其相應的軌道在一定的迭代次數之內也只有微小改變，則動力系統是穩定的，此時，任意接近于給定初值的另一個初值的軌道可能與原軌道相差甚遠，是不可預測的。因此，弄清給定動力系統中軌道不穩定的點的集合是極其重要的。所有其軌道不穩定的點構成的集合是這個動力系統的混沌集合，并且動力系統中參數的微小改變可以引起混沌集合結構的急劇變化。這種研究是及其復雜的，但是引入了計算機就可以形象地看到這種混沌集合的結構，看清它是一個簡單的集合還是一個復雜的集合，以及隨著動力系統本身的變化它是如何變化的。這也是混沌學在計算機技術的幫助下不斷前進的原因所在。

混沌序列的產生有多種方法，本文采用的是Logistic映射的滿映射：

進行0，1判決，最后得到，既為我們所需要的比特混沌序列。

實數混沌序列：實數混沌序列是在比特混沌序列的基礎上轉換得來的。由于我們在對圖像進行加密的時候是對圖像的每個像素值的灰度值做運算，而每個像素的灰度值范圍是0～255，即：，所以在轉換的時候采取每八位進行轉換，把0，1序列變成0～255的實數序列，長度變為比特序列的1/8。

性能分析：

自相關性：設置一計數變量數組，。讓自身向右循環移位一次，然后將移位后的序列與原序列進行按位比較，每有一位相同則此時的自動加1，然后依次再向右循環移位，再次比較，并記錄下每次值，這樣從向右循環移位499次，我們就得到了500個值，由于向右循環移位一次與向左循環移位499次是相同的結果，同時為了在畫出圖后，以移位0次作為對稱軸，我們將后250個值移到前面，然后將它畫圖，橫坐標為-250～250，表示循環移動的位數，負表示向左移動，正表示向右移動，縱坐標表示對應每次移位后500個值當中相同值的個數。

互相關性：與自相關性相同的是我們同樣設置一個計數變量數組。不同的是這次我們用兩個初值不同的序列進行比較，循環右移其中一個序列，然后分別與另一個序列按位進行比較，最后同樣得到500個值。通過matlab仿真其特性曲線，我們發現，只要當混沌序列不是與自己本身進行比較，其相同的元素所占比例都是很小的。將混沌序列與移位后的序列相比較，不論是與移了多少位的序列比較，相關性都很差，我們可以得出，混沌序列沒有周期性。圖中，即使和初值只相差的混沌序列進行移位比較，相關性也很差。

由上面的分析可以得出混沌序列具有較好的隨機性，很強的自相關性，互相關性很弱，這些都完全符合加密的要求。

本文對混沌學、混沌系統做了簡要的介紹。著重介紹了利用Logistic映射產生比特混沌序列和實數混沌序列的方法。并對兩種混沌序列的性能做了分析，得出了混沌序列具有很強的隨機性、自相關性以及很弱的互相關性的重要特性。混沌在現代通信中的應用一度成為研究的熱點。同時，隨著數字技術及Internet技術的飛速發展，多媒體通信越來越成為現代通信技術中研究的重點，通信領域也在逐漸與信號處理、密碼學等學科交融。相信在未來社會中，混沌理論必將為通信行業再添光彩。

參考文獻

[1]劉軍，侯祥林，王丹民，王鐵光，Logistic映射分支值的最優化算法，東北大學學報（自然科學版），2000，10，21（5）。

[2]靳毅，初識混沌現象，開封教育學院學報，1998（2）。

[3]鄧宗琦，混沌學的歷史和現狀，華中師范大學學報（自然科學版），1997，12。

[4]譚云亮，“混沌”及“混沌”理論發展，科技視野，1997年1月.