高等數學創新型教學模式研究

任葉慶　張鴻雁

【摘 要】為適應新時期對創新型人才的需求，高等院校要積極構建創新型人才培養體系。結合大學公共基礎課高等數學的學科特點，從基于創新型人才培養的教學模式改革入手，進行理論探索；從培養學生創新學習能力、創新實踐能力兩個方面，進行教學模式改革的探索實踐，以確保創新型人才培養目標的實現。

【關鍵詞】高等數學；教學模式；創新能力

【Abstract】In order to meet the demand for innovative talents in the new period， university should actively construct the cultivation system of the innovative talents. Combined with the characteristics of advaced mathematics， we explore the theorem of the reform of the teaching mode based on cultivation of innovative talents. And practically explore from two aspects ，i.e.， cultivate creative learning， creative and practical ability ， that ensure the realization of the cultivation of innovative talents.

【Key words】Advaced mathematics； Teaching mode； Innovative ability

新時期下，我國提出“堅持自主創新，建設創新型國家”的決策，對高等教育人才培養提出了更高、更新的要求。高等教育要全面提高學生的素質，為我國培養出更多的具有創新精神、創新能力的高層次人才。在這一時代背景下，國內許多高校紛紛展開并實施以創新型人才培養為目標的教學改革，在教育理論研究、教學模式改革，產學研相結合研究等方面進行了大量有益的嘗試與探索。劉智運[1]對高校創新型人才培養體系、培養模式、師資隊伍建設、創新教育管理制度、產研結合之路等從理論上進行了較系統的分析和探討；韓建華[2]提出創新型人才培養在我國仍處于起步階段，提出我國普通高校創新型人才培養的對策思路，特別提到高校要注重第二課堂，構建多樣化的學生課外活動體系；馬知恩[3]提出創新型人才培養與師資隊伍的建設密切相關；方曉峰等[4]提出了培養學生數學思維和提高學生數學應用能力的高等數學課程研究式教學模式；宋桂榮[5]段丹青[6]等提出因材施教、分層次教學的普通高等院校高等數學教學模式。

大學生創新能力的培養涉及到高等教育的方方面面，絕不是僅僅只靠幾門課程就能完成的。對高校的教學改革而言，可以從教學模式改革、教學內容改革、教學方法改革等方面入手。并將創新精神與創新能力的培養滲透到每門課程，根據每門課程的特點認真研究該課程應從哪些方面培養學生的創新精神和創新能力。

大學階段是創新能力培養的重要時期，高等數學作為大學本科階段重要的基礎課程，學生對該課程學得好不好，應用能力強不強，直接影響到后面專業課的學習以及未來的發展。根據高等數學學科的特點，高等數學課程改革應著力于培養學生的抽象思維、邏輯思維和求異思維等思維能力以及應用數學理論和方法分析解決實際問題的能力。

本文從高等教育課程教學模式的基本理論出發，研究如何在教學過程中滲透創新能力培養，探討著重培養學生創新學習能力、創新實踐能力的高等數學創新型人才培養教學模式。并結合中南大學公共基礎課程——高等數學為適應創新人才培養展開的教學改革的實際，談談我校所進行的一系列探索和嘗試。

1 基于思維訓練的研究式教學模式

“數學是一門由特定思想方法組成的學問，數學不等于邏輯，數學要遠遠多于邏輯。形式化不是數學的起源，也不是最終目標。掌握數學思想方法，認識客觀世界的數學變化規律，并用于認識世界和改造世界，這才是數學科學的真諦”[1]。目前，國內各高校針對傳統的“三個中心”式的教學模式進行了一系列的改革，即對傳統的“以教師為中心”的注入式，“以教材為中心”的結構式，“以課堂為中心”的封閉式的教學模式進行改革。人們越來越深刻地認識到在課堂教學中發現數學原理以及創造數學方法比空洞地解題、論證等訓練要重要。美國教育心理學家布魯納極力倡導探究知識的發現過程，他指出：“發現不限于尋求人類尚未知曉的事物，明確地說，包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式”[4]。學生在學習中并不一定真正發現人類未知的東西，而是要去模仿發現者的思維路線，即發現路線，是一種有趣的、“發現式”的學習，這樣學生在學習中學到了構建知識的方法。

學生要有創新學習能力，首先要善于創新思維。數學的思維方法， 不僅涉及抽象思維、邏輯思維和形象思維這些體現數學的特征的方面，還涉及在創新思維方面有重要作用的思維方法：類比思維、歸納思維、發散思維、逆向思維、猜測思維等。中南大學在高等數學的教材內容、課件形式、及課堂授課上進行了一系列的改革。例如教材方面，在介紹數學基本內容的同時，力求揭示重要數學概念的實際背景和思想內涵，突出方法的本質；同時通過生產、生活上的一些實例，如求曲線形平面區域面積、山體坡度、已知位移求速度或已知速度求位移等幾個典型事例，通俗地介紹微積分的基本思想方法，消除對微積分的神秘感，并在后續內容中逐步加深，貫穿于整個課程教學中。又如，在微分中，強調突出局部線性化的思想；在泰勒公式、無窮級數中注重揭示逼近的思想；在積分應用中強調微元分析法，同時將變換的思想和方法在教學中加以體現。這些思想和方法，不僅在研究數學中、而且在工程人員應用數學時都顯得尤為重要。在傳授知識的同時，應該突出這些思想和方法以培養學生科學的思維，為他們的創新學習能力的培養打下堅實的基礎。

創新思維的培養還需要有好的教學模式、實施手段來配合，美國芝加哥大學教授施瓦布[5]以“科學的本質是不斷變化”為前提，在“作為探究的科學”和“通過探究教學”兩個理論基礎上，構建了研究性學習理論。研究式教學模式是在“研究性學習”理論和“發現學習”理論的基礎上發展起來的，其根本的特征是在“教”和“學”的全過程都貫穿著研究性。它包括兩個方面：一方面是要研究式地“教”，也就是要在課堂講授過程中加強研究性，課堂講授要帶有科研含量，對學生提出的問題能進行深入淺出地分析和研究，力求從理論上作出回答；另一方面是要研究式地“學”，就是引導學生在學習過程中要聯系思想和工作實際，邊讀書、邊思考、邊研究，從而達到培養創新思維能力的目的。探究是一種學習潛能的培養，在教學過程中，為學生創設一種類似于科學研究的情景和途徑，讓學生以類似于科學研究的方式去主動體驗、獨立地感知、學習、理解、提高。這種方法要求學生不只是記住書本上的現成結論，而是要通過自己的研究思考，知道結論是怎樣來的，知道每個概念、條件、性質是什么、為什么，怎么樣。這個過程體現了學生學習的自主性，可以充分發揮學生學習的主觀能動性。從2005年至今，中南大學高等數學教研中心通過研究式教學模式構建，努力營造出培養學生創新思維能力的學習氛圍，教師精心設計每次的教學的環節，在課堂上引導學生主動探索、積極思考，綜合應用所學知識解決實際問題。

例如，在講授微分中值定理時，從日常現象出發，借助計算機動畫演示引導學生觀察出羅爾定理的條件和結論，并進一步引導學生改變條件去研究探索和發現拉格朗日中值定理、柯西中值的結論及證明。這種由特殊到一般的探索、發現、提高的過程使學生能自己改變條件和發現定理，激發出較高的學習興趣和主動性，這就是數學創新。這一研究式教學模式強調了“以學生為中心”，教師起著引導和指導作用，而不是定論地灌輸給學生。

2 基于數學應用的實踐式教學模式

學生創新實踐能力的培養主要是通過應用數學解決問題來體現。在傳統的教學中，數學教學往往都是從公理體系出發，沿著定義假設、定理、證明、推論這么一條演繹的方式進行教學，而對數學發現過程、數學的直觀性背景較少關注。這種將數學知識重新整理、系統化，有利于課堂講授，但是它掩蓋了數學知識的背景和實際來源，將活生生的數學知識變成了一堆用邏輯組織起來的符號，仿佛空降而來的東西，也看不到它的應用，人們形象地稱之為“去兩頭，燒中段”的教學模式，學生感到既枯燥又困難，學習的積極性得不到提高，甚至讓他們逐漸喪失了對數學學習的信心與興趣。著名數學教育家波利亞曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學” 。學生學習數學不是為了研究數學本身，主要是應用數學，運用數學從事各種各樣的研究和創新。大數學家歐拉說：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗”。數學實驗與數學建模為數學理論聯系實際開創了道路，是培養學生應用數學的意識、提高學生應用數學的興趣和能力、培養學生的創新精神和創新能力的一個非常有效的重要途徑。高等數學教學改革就是要改變這種給學生“燒（魚的）中段”為給學生“燒全魚”，即在給學生傳授數學理論知識的同時，還要培養學生進行科學地“學數學”、科學地“應用數學”解決實際問題。

2.1 數學實驗促進科學地學數學

數學實驗是指為研究和獲得某些數學理論、驗證某種數學猜想、解決某種數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在典型的實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學探索活動。數學實驗教學是指恰當運用數學實驗，引導學生參與實踐，自主探索，合作交流，從而發現問題，提出猜想，驗證猜想的數學活動。開設數學實驗，作為教學內容的一部分，其目的是使學生掌握數學實驗的基本思想和方法，即不把數學看成先驗的邏輯體系，而是把它視為一門“實驗科學”。從問題出發，借助計算機，通過學生親自動手和參與設計，在解決問題的過程中體驗，在實驗過程中不斷地學習、探索、發現數學規律。這種數學實驗與物理、化學、生物等學科的實驗不完全相同，它是介于古典演繹法和古典實驗法之間的一種科學研究方法，它既不是數學在通常實驗中的應用，也不是數學在數學研究中的簡單移植；數學實驗與物理、化學實驗相比不僅需要動手，更需要動腦，思維量大是數學實驗的基本特征。數學實驗是隨著人類思維、當代數學理論、計算機及計算技術、數值計算方法等現代科學技術的不斷發展、進步而形成的一種獨特的研究方法。

數學發現的過程，通常在很多情況下是人們在一開始可能連要研究什么問題都沒有弄清楚，更不要說提出什么定義和定理了，通過一定的探索工作，大量的觀察、分析，才能進一步歸納出其中的規律，猜想出命題應具有的形式，最后才是證明。數學實驗可以較好地解決這一問題。我們可以在講授抽象概念之前，向學生提供一定的例子，運用計算機和數學軟件的計算、演示、模擬功能，讓他們自己分析，去發現其中的規律，在真正講授抽象概念時，學生就不會感到太突然了。這種做法對培養學生的觀察、歸納能力、類比分析能力有很大的幫助，還能消除學生對數學知識的神秘感。這是一種“問題解答式與親自動手式”教學模式，極大地了激發學生“學數學、研究數學、用數學”的興趣。

此外，通過數學實驗，還可以訓練學生使用數學軟件進行諸如系統識別、數字信號處理、時序分析與建模、優化設計、神經網絡控制、動態仿真系統、自動控制、震動理論等方面的建模、仿真、計算及結果分析，這些方面的訓練是與學生專業結合較緊密的數學知識的實踐及應用。

2.2 數學建模促進科學地用數學

數學建模是通過調查、收集數據、資料，觀察和研究其固有的特征和內在的規律，抓住問題的主要矛盾，運用數學的思想、方法和手段對實際問題進行抽象和合理假設、創造性地建立起反映實際問題的數量關系，即數學模型，然后運用數學方法輔以計算機等設備對模型加以求解，再返回到實際中去解釋、分析實際問題，并根據實際問題的反饋結果對數學模型進行驗證、修改、并逐步完善，為人們解決實際問題提供科學依據和手段。因此數學模型是數學與客觀實際問題聯系起來的紐帶，是溝通現實世界與數學世界的橋梁，是解決實際問題的強力工具。然而在實踐中能夠直接運用數學知識去解決實際問題的情況還是很少的，而且對于如何使用數學語言來描述所面臨的實際問題也往往不是輕而易舉的，而使用數學知識解決實際問題的第一步就是要從實際問題的看起來雜亂無章的現象中抽象出恰當的數學關系，即數學模型，數學模型的組建過程不僅要進行演繹推理而且還要對復雜的現實情況進行歸納、總結和提煉，這是一個歸納、總結和演繹推理相結合的過程。這就要求我們必須改變傳統數學教學只重視推理的教學模式，突出對數學結論的理解與應用，精簡一些深奧的數學理論，簡化復雜的抽象推理，強調對數學結果的說明、直觀解釋和應用舉例等。逐步訓練學生不僅掌握了數學知識而且學會“用數學”，學會用數學的知識與方法解決實際問題，因此，在高等數學教學中滲透建模思想的訓練是十分必要的。

學生在掌握一些理論知識（如微積分初步、線性代數、概率初步等），并具備一定的運用所掌握的知識解決實際問題的能力，可將數學建模引入高等數學教學。結合學生理論知識水平、知識結構，適合給出與現實生活密切相關的實際問題進行建模，將實際問題數學化、模型化，就能極大地提高學生學習數學的興趣。如在函數部分引入“復利、助學貸款、住房貸款”等生活中的實例構建模型；微積分部分引入“商品存儲費用優化、批量進貨的周轉周期、磁盤最大存儲量、Logistic人口模型”……這些實際問題學生都能使用相應的數學知識求解。同時，在學生掌握了一定計算基礎、會借助計算機搜尋大量的相關資料，還能使用計算機運算、驗證所建立的模型。通過數學建模教學的訓練，可以使學生樹立明確的數量觀念，提高邏輯思維能力，有助于培養認真細致、一絲不茍的作風，形成精益求精的風格，提高運用數學知識處理現實世界中各種復雜問題的意識，激發學生學習數學的積極性、主動性。在高等數學教學中滲透數學建模的思想，我們要注意高等數學從數學知識上是由淺入深、循序漸進的特點，在教學過程中要因材施教，合理安排，以教學為主，建模過程為輔，以確保完成教學任務；教學過程以介紹建模思想、方法為主，提高建模能力為輔，循序漸進、由淺入深、由易到難的引入數學模型，所選的建模實例不宜過于復雜。這就易于在潛移默化之中提高學生的數學實踐能力，這在學生的能力培養方面又達到了事半功倍的效果。檢驗模型結果是否合理。如果不合理，就需要對模型的假設進行修正。另一方面，還需要學生對模型的建立和求解過程進行回顧，設法對求解方案進行改進，尋找更優化的解法。顯然這對于培養和訓練學生思維的批判性具有十分重要的作用。

還要指出，數學建模和數學實驗的區別與聯系。兩者都要借助計算機，但數學實驗側重于在計算機的幫助下學習數學知識，而數學建模是引導學生會利用數學知識和計算機手段來解決實際問題。一個是引導怎樣學，一個是引導怎樣用，兩者的目的不同。在內容及選材上，兩者都是以問題為驅動而不是以概念、定理、公式為驅動。數學實驗不僅可以從理論問題出發，還可以由實際問題出發，探討的理論問題或實際問題一般是比較經典的，有普遍意義的，使學生能以解決問題為線索總結規律，學到知識；而數學建模側重于問題的實用性而不是普遍性，解決問題本身就是目的。數學實驗可以作為數學建模的預備課，使學生可以更好、更快地掌握數學建模的基本方法和技能。

中南大學開展數學實驗與數學建模課程的教學，是以周末的文化素質課的形式及署假開設培訓班的形式進行的。面向全體學生，鼓勵學生積極選修，不占用正常的教學時間，但與高等數學課程同時開設，每學都開設兩次，選修靈活，彌補了第二課堂缺少數學實踐環節的不足，改變了以前高等數學教學長期以來課堂理論教學的單一局面，突破了傳統教學模式，得到了學生們的普遍歡迎，提高了他們的學習興趣，不僅推動了數學理論課教學質量的提高，而且在學生創造力的培養和素質教育方面起到了重要的作用。此外，數學實驗與數學建模課程的開設，還為選拔部分優秀學生參加數學建模競賽進行了人才儲備，確保我校在湖南省、全國、國際各類數學建模比賽取得佳績。

3 基于現代教育技術的信息化教學模式

現代教育技術是以計算機為核心的信息技術在教育、教學領域中的應用，是教育技術在信息社會發展的新特征，其主要特征是多媒體技術和網絡技術在教育、教學中的廣泛應用。現代教育技術的應用是要為學習者提供一個有利于觀察、思考、比較的信息化教學環境，開發有助于創新性、創造性教學的軟件資源，培養具有創新意識的新型教師隊伍，廣泛開展教學試驗，探索并構建創新性、創造性教育的新模式，把學生培養成“大膽的質疑、積極的求異、敏銳的觀察、豐富的想象、個性化的知識結構、創新的品質”的人。勿庸置疑，現代教育技術是教育改革和發展的制高點和突破口，是教育創新的必經之途。

現代教育技術在教學中的應用，優化了教學模式。我校通過近十幾年的開發建設，所實現的現代化教學模式體現在以下幾個方面：（1）將多媒體技術有機的滲透到數學課堂教學中，完善了教師的教學方式、節省了教學時間、提高教學效率，將教師從繁重的教學活動中解放出來，利用更多的時間去進行學生的創新能力培養，這是教學模式的技術層次的改革。（2）計算機及多媒體技術在教學中運用的價值不僅在于技能的層面，其更重要的、更深層的價值在于促進人的精神意識層面發展。在學生的學習過程中，培養學生的學習目的意識、提高學生學習動機的興趣熱情，激活并訓練學生的探索能力。其主要表現為：有效地實現數形結合、形象地描述抽象的概念；具象地表達、演示不易表述清楚的數學定理；對于稍縱即逝的數學演示現象進行慢鏡頭回放處理；對于大量的、看似雜亂的數學知識進行梳理、串連，圍繞同一知識點將問題展開，避免學生頭腦雜亂無章；組織一定的教育模式，培養學生的創造性、引發學生的興趣等。（3）在課外，通過多媒體的教育網絡環境的構建，最大限度地發揮第二課堂的作用，調動學生的主動性、積極性。在這種教學模式下，為學生提供圖文音像并茂的、豐富多彩的交互式人機界面，為學生提供符合人類聯想思維與聯想記憶特點的、按超文本結構組織的大規模知識庫與信息庫，因而激發了學生的學習興趣，并為學生實現探索式、發現式學習創造有利條件。在這種教學模式下，真正實現讓學生主動建構知識、自己獲取知識、自我更新、甚至創造新知識的理想目標。此外，通過多媒體技術還可以加強數學實驗教學，為培養學生的創造能力提供技術支撐。

4 結束語

創新能力包括創新學習能力和創新實踐能力兩個方面。通過高等數學創新型教學模式改革與探索，改變了傳統的教學模式，圍繞“以學生為本”的教學理念，通過人性化、個性化的課程設計，以問題驅動，運用啟發式、研究式教學，將學生吸引進課堂，積極參與教與學，大膽探索實踐，創新思維，科學地運用數學知識解決實際問題。

【參考文獻】

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[責任編輯：湯靜]