基于貝葉斯面板平滑轉換模型的區域資本流動性研究＊

朱慧明，彭 成，游萬海，曾昭法，任英華

（1.湖南大學 工商管理學院，湖南 長沙 410082；2.湖南大學 金融與統計學院，湖南 長沙 410079）

面板數據模型是研究經濟變量相依關系、揭示 金融市場運行規律的重要工具，它能夠刻畫多個不同個體隨時間變化的行為特征，進而分析各個個體之間的共性與異質性.傳統的面板回歸模型利用個體效應或時間效應刻畫面板數據的異質性，無法準確描述現實經濟金融變量之間的非線性、非對稱關系.例如Hubbard[1]考慮不完備資本市場中，信息的非對稱和非線性特征.為了解決這個問題，面板門限模型利用轉移變量使得模型系數具有時變性，不僅可以刻畫個體之間的異質性，同時也描述個體的時序變化，體現面板數據的非線性性質.如Besse和Fouquau[2]研究歐盟國家用電需求與溫度之間的非線性關系；Camilla等[3]研究國家發展水平的門限效應.面板平滑轉換模型擴展了面板門限模型，通過構造轉移變量的連續函數，而具有連續變化系數，從而在經濟、金融、環境和能源等領域獲得廣泛的應用.Lee和Chiu[4]發現保險金對實際收入的彈性存在門限特征；Joets和 Mignon[5]研究石油期貨價格向均衡價格調整的非線性、非對稱過程.然而，在估計面板平滑轉換模型參數時，常見的非線性最小二乘估計法[6]可能遇到算法難以收斂問題；另一方面，Wang和 Nolan[7]、朱慧明等[8]用貝葉斯方法估計非線性模型，能夠有效解決面板數據模型復雜的數值計算問題.

針對面板平滑轉換模型常用參數估計方法非線性OLS存在難以收斂的問題，利用MCMC方法，構建基于MH－Gibbs混合抽樣算法的貝葉斯面板平滑轉換模型，解決模型參數不確定性問題，刻畫面板數據的非線性特征；利用投資與儲蓄面板數據進行了實證分析.

1 貝葉斯面板平滑轉換模型

1.1 面板平滑轉換模型結構分析

為揭示變量間可能存在的非線性關系，Gonzalez等人提出了面板平滑轉換模型.由于能夠較好地刻畫面板數據的截面異質性而受到研究者的青睞.兩機制面板平滑轉換模型如下：

式中：i＝1，2，…，N表示面板數據的個體維度；t＝1，2，…，T表示面板數據的時間維度；yit為被解釋變量；xit＝（xi1t，xi2t，…，xiKt）′為K維解釋變量；μi為個體效應；εit～N（0，σ2）；轉移函數g（sit；λ，θ）是關于轉移變量sit的連續有界函數，這里采用邏輯斯蒂函數，即

式中：θ＝ （θ1，θ2，…，θm）′表示m維的位置參數向量，滿足θ1≤θ2≤…≤θm，斜率參數λ＞0控制模型的轉換速度（設置約束條件是為了模型識別）.顯然，0＜g（sit；λ，θ）＜1，模型回歸系數在β1和β1＋β2之間變化.這里僅討論m＝1的情況，當λ→∞時，轉移函數g（sit；λ，θ）可視為示性函數I｛sit＞θ｝，也就是說，當sit＞θ時，g（sit；λ，θ）＝1，當sit＜θ時，g（sit；λ，θ）＝0，模型簡化為面板門限模型；當λ→0時，轉移函數g（sit；λ，θ）是固定的常數，模型退化為固定效應線性面板數據模型.

對于個體i，面板平滑轉換回歸模型具有如下矩陣形式：

式中：Yi＝ （yi1，yi2，…，yiT）′，e＝ （1，1，…，1）′為T×1維列向量，Xit＝ （x′i1，x′i2，…，x′iT），Gi＝diag（g（si1；λ，θ），g（si2；λ，θ），…，g（siT；λ，θ）），εi＝（εi1，εi2，…，εiT）′.令Y＝ （Y′1，Y′2，…，Y′N）′，X＝（X1t，X2t，…，XNt）′，Di＝（0，e，0）為第i列元素為1，其他元素為0的T×N矩陣，D＝ （D′1，D′2，…，D′N）′，G＝diag（G1，G2，…，GN），Φ＝ （μ1，μ2，…，μN，β′1，β′2）′，ε＝ （ε′1，ε′2，…，ε′N）′；Z＝（DXGX），那么，兩機制面板平滑轉換模型（1）可簡化為：

模型可視為變系數線性面板模型，因為轉移變量隨著個體和時間變化，導致模型系數時刻變化.

1.2 貝葉斯MH－Gibbs混合抽樣算法

給定 （λ，θ），Y服從均值為ZΦ和協方差矩陣為σ2I的多元正態分布，即Y～N（ZΦ，σ2I），因此，模型似然函數為：

為了進行貝葉斯分析，需要設置模型參數的先驗分布.根據Lopes和Salazar[9]的觀點，選擇如下先驗分布：

式中：IG表示逆伽瑪分布.

根據貝葉斯定理，參數 （Φ，λ，θ，σ2）的聯合后驗密度函數正比于模型似然函數和先驗信息之積，兩者僅差一個常數因子，即

注意，式（6）沒有考慮先驗的相依性.由于參數的聯合后驗分布比較復雜，為了能夠進行MCMC抽樣算法，下面研究它的完全條件后驗分布.

1）參數Φ的完全條件后驗分布密度函數為：

式中：

顯然，Φ的完全條件后驗分布是均值為μΦ，協方差為VΦ的多元正態分布，即

2）參數σ2完全條件后驗分布密度函數為：

其中：

顯然，σ2的完全條件后驗分布是形狀參數為α，尺度參數為β的逆伽瑪分布，即

3）參數λ和θ的后驗分布密度函數形式復雜，沒有已知的分布可以直接進行抽樣.因此，采用隨機游走Metropolis－Hasting（MH）抽樣算法對它們進行聯合抽樣.設 （λ，θ）的當前值為 （λ（m），θ（m）），候選點 （λ＊，θ＊）從建議分布θ＊～N（θ（m），Δθ），λ＊～G（（λ（m））2／Δλ，λ（m）／Δλ）中產生.那么，（λ＊，θ＊）的接受概率為

其中：

式中：Z＊＝Z（sit；λ＊，θ＊），dN和dg分別表示正態分布和伽瑪分布的密度函數.Δλ和Δθ是MH抽樣的調整值，使得接受概率為0.1～0.5.

根據模型參數Φ和σ2的完全條件后驗分布，利用Gibbs抽樣算法進行抽樣分析；然后利用MH抽樣方法對參數 （λ，θ）進行抽樣.貝葉斯面板平滑轉換回歸模型的MCMC抽樣步驟如下：

1） 給 定 初 始 值 （Φ（0），λ（0），θ（0），σ2（0）），假 設（Φ（m），λ（m），θ（m），σ2（m））是第m次迭代的抽樣結果，M為抽樣次數；

2）從 （Φ｜Y，X，λ（m），θ（m），σ2（m））～N（μΦ，VΦ）抽取Φ（m＋1）；

3）從 （σ2｜Y，X，Φ（m＋1），λ（m），θ（m））～IG（α，β）抽取σ2（m＋1）；

4）從λ＊～G（（λ（m））2／Δλ，λ（m）／Δλ），θ＊～N（θ（m），Δθ）抽?。é耍龋?，使得：

此處“w.p.”表示概率.

5）令m＝m＋1，重復2）～5）直至收斂.

抽樣的初始階段，參數初始值設定對隨機數的生成有較大影響，導致MC鏈條非平穩，所以檢驗MCMC算法的有效性、估計模型參數的時候，要去掉最初的W個隨機數，利用剩余的M－W個數據分析.更進一步，為了減少鏈條自相關性，在剩余的鏈條，每l個隨機數只保留一個，實際用于分析的數據為N＝（M－W）／l個（假設能整除），Markov鏈為：

式中：n＝0，1，…，N－1，1≤k＜l.那么，模型參數的MC估計為：

2 實證研究

FH系數是一種利用投資率與儲蓄率的關系，衡量國內各地區之間的資本流動能力和資本市場一體化的常用指標.若資本是完全流動的，則FH系數為0，意味著投資率與儲蓄率不相關；若FH系數接近1，則表明投資率依賴儲蓄率，儲蓄的增量保持在各省.數據主要來源于國泰安數據庫，其中2011年的數據來源《中國統計年鑒》，樣本區間為1998～2011年.模型中各變量的計算方法如下：各省市投資率Iit（各省資本形成總額與GDP之比），儲蓄率Sit（各省GDP減去最終消費，再除以該省GDP），經濟增長率Δgdpit（各省實際GDP增長率，每年度的地區生產總值指數計算）和經濟規模Sizeit（各省GDP與全國GDP總量之比）.

下面設定模型考察Δgdpit和Size對FH系數的影響.

模型1：

模型2：

模型3：

圖1和圖2分別給出了利用MCMC抽樣算法模擬各參數完全條件后驗分布的Geweke收斂診斷圖和后驗分布核密度曲線圖（模型2和模型3的接受概率ρ分別為0.43和0.42）.

由圖1可知，各參數Z統計量的絕對值小于1.96，在95%的置信水平下，可判斷迭代初的樣本均值與迭代末的樣本均值不存在顯著性的差異，抽樣獲得的Markov鏈是收斂的.

圖1 參數的Geweke收斂診斷圖Fig.1 Geweke convergence diagnostic for parameters

圖2 參數的后驗分布核密度曲線圖Fig.2 Posterior distribution of parameters

由圖2可知，模型1～3中各參數的邊緣后驗分布核密度估計的曲線平滑，有明顯的單峰對稱特征，說明參數貝葉斯估計值的誤差非常小.表1給出了參數的MCMC估計結果.

表1 貝葉斯PSTR模型的MCMC估計結果Tab.1 MCMC estimation for Bayesian PSTR models

由表1可知：

1）相比于固定效應面板數據模型1，模型2和3的AIC，BIC值更小，表明兩機制面板平滑轉移模型的擬合度更好，Iit和Sit具有非線性關系.

2）以實際GDP增長率為控制變量的模型2中，當實際GDP增長率超過10.16%時，FH系數為正值.表明經濟增長快的地區（如天津、上海、江蘇等）具有較大的FH系數，地區的資本流動性小.值得注意的是西藏、青海等經濟欠發達而經濟增長率高的地區，儲蓄率與本地投資率具有高相關性；地區發展歷程上，經濟發展速度越快的階段，FH系數就越大，地區的資本流動性越小，本地投資與儲蓄的相關性越強，收入的增加也促進本地投資.

4）λ（2）＞λ（3）表明相對于經濟規模，FH 系數對實際GDP增長率變化的敏感度更高.

3 結 論

針對非線性OLS法估計面板平滑轉換模型參數時算法難以收斂的問題，構造貝葉斯面板平滑轉換模型，設計了MH－Gibss混合抽樣算法估計模型參數.利用中國各地區投資與儲蓄面板數據進行實證研究，結果表明，面板平滑轉換模型各參數的迭代軌跡是收斂的，參數估計結果的MC誤差均比較小，且參數后驗密度曲線呈鐘形，說明 MH－Gibbs混合抽樣算法有效地模擬了參數的邊緣后驗分布.相比于非線性OLS法，貝葉斯面板平滑轉換模型利用MCMC算法估計模型參數，簡化了計算復雜度，是一種有效的研究工具.

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