二級倒立擺的參數自校正模糊PI控制

李 露，李 峰，鄧雄峰

（1.陜西科技大學 電氣與信息工程學院，陜西 西安710021；2.聚泰實業香港有限公司，廣東 深圳518000）

倒立擺系統廣泛地應用在非線性控制理論和研究方面。對于不同的倒立擺類型，控制方法比較多，主要有：雙 PID及自適應 PID控制[1]、LQR及自適應 LQR[2]、LQG控制[3]、模糊邏輯控制[5-6]、自適應滑模模糊控制[7]、模糊聚類[8]、神經控制[9]、遺傳算法[10]等，這些方法均能有效地控制倒立擺系統。但這些控制算法有其優缺點，同樣復雜的控制算法，實時控制效果不是很好，增加了實現的難度。PID控制器能夠有效地處理穩定狀態響應，但是，要想精確地調整PID控制器的增益是相當困難的；LQR算法在線性系統中能夠較好運用，而在非線性較強的系統中也存在一些不足之處；參考文獻[5-8]在模糊邏輯控制的基礎上采用不同的算法，能夠有效地控制非線性系統。模型建立好之后，非線性系統總是線性化在平衡點附近。忽略其他次要部分，這也會導致大的誤差；遺傳算法控制能夠在全局范圍內進行優化，具有更高的效率，但是也存在不足之處。其交叉和突變作用，不能夠確保個體具有較好的適應度，給目標函數的選取增加了困難。

本文在總結模糊控制和LQR算法基礎上，設計了一種參數自校正模糊PI控制器。運用LQR方法，設計了融合函數，對模糊控制器進行降階處理，實現參數在線自校正。通過仿真實驗結果顯示，這種模糊控制方法能有效控制二級倒立擺系統。

1 二級倒立擺物理模型

在忽略空氣阻力、各種接觸摩擦之后，將二級倒立擺系統等效為小車，勻質桿和質量塊組成的剛性系統如圖1所示，物理參數如表1所示。

圖1 二級倒立擺系統模型圖

表1 物理參數

其中，U為系統輸入，Y為系統輸出。A、B、C、D為矩陣，分別為：

通過調用MATLAB函數可以判斷，二級倒立擺系統是能控能觀的。 由于開環極點為 p1，2，3，4=0、p5，6=±6.2074j，可知系統是不穩定的。要使系統穩定，就需要外加控制器。

2 參數自校正模糊PI控制器的設計

2.1 融合函數的設計

二級倒立擺系統有小車位移和速度、下擺角度和角速度、上擺角度和角速度6個變量，如果將這6個變量作為模糊控制器的輸入，每個輸入變量在論域范圍內取7個模糊子集，則會出現76=117 649條推理規則，這會大大影響模糊控制器的性能。由于線性系統具有可融合的特點，在此將二級倒立擺系統6個變量融合成為綜合誤差E和綜合誤差變化量EC，作為模糊控制器的輸入，則融合函數設計如下[12]。

(2)根據反饋矩陣K，融合函數可設計為：

(3)融合函數的輸出，即模糊控制器的輸入為：

2.2 參數自校正模糊PI控制器的設計

在基本模糊控制器基礎上，設計了參數自校正模糊PI控制器[5-8]。經上述融合函數降維后，根據圖2所示的模糊控制二級倒立擺結構圖，選擇合適的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku。E、EC作為模糊控制器1的輸入量，U作為輸出控制量。輸入量和輸出量均采用三角型隸屬度函數進行模糊化，每個語言變量的論域為{-6，6}，語言 值 設 為 {PB，PM，PS，ZE，NS，NM，NB}， 分 別 表 示{正大，正中，正小，零，負小，負中，負大}，以重心法解模糊化[13]。模糊控制器1控制規則表如表2所示。

圖2 模糊控制二級倒立擺結構圖

為了對模糊控制器 1的參數 Ke、Kec、Ku進行自校正，引入模糊控制器2，其調整方法為：當系統的誤差E和誤差的變化EC較大時，應加快系統響應速度，此時需要降低量化因子Ke和Kec來降低E和EC輸入量的分辨率，同時加大比例因子 Ku，使響應加快；當E和EC較小時，說明系統已經趨于穩定，此時要求提高系統精度，要增大量化因子Ke和Kec來提高對輸入變化的分辨率，同時減小比例因子，以減小超調量。此處 Ke、Kec增加的倍數與比例因子Ku的減小倍數相同。

表2 模糊控制器1控制規則表

選擇輸入量和輸出量均為三角型隸屬度函數進行模糊化，取 Ke、Kec的論域為{-6，6}，在論域范圍內把 E、EC 劃分為 {NB，NS，NM，ZE，PS，PM，PB}7個模糊子集，取定義 Ku的論域為{0.125，0.25，0.5，1，2，4，8}，模糊子集定義為{AH，AM，AL，KO，CL，CM，CH}，分別表示{高放，中放，低放，不變，低縮，中縮，高縮}，以重心法解模糊化。模糊控制器2控制規則表如表3所示。

表3 模糊控制器2控制規則表

其中，參數調整方法為：(1)以原始的 Ke、Kec對 E、EC進行量化得到 E′、EC′；(2)將 E′、EC′作為模糊控制器 2 的輸入量，輸出控制量為調整倍數M；(3)令=KeM，=KecM，=Ku/M；(4)用調整后的參數、對 E、EC 重新量化；(5)用重新量化得到的 E′、EC′作為模糊控制器 1的輸入，得到控制量U；(6)用比例因子乘以U獲得控制量 u。

對整定得出的控制量u與系統輸入量作差，作為PI控制器的輸入，再將PI控制器的輸出作為二級倒立擺狀態模型的輸入，即可以對二級倒立擺系統進行仿真研究。

3 仿真結果分析

在Simulink環境中建立的二級倒立擺的參數自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結構圖如圖3所示。

根據式(1)，取 Q=diag(1000，500，500，0，0，0)，R=1，采用LQR方法得到狀態反饋矩陣K為：

取系統的初始值為零，設置仿真時間為5 s，仿真步長為5 ms，通過多次調整參數，得到兩種控制器仿真曲線圖如圖4所示。由圖4可知，小車最終距離初始位置10 cm左右處保持平衡，下擺擺角偏離平衡位置最大值為0.05 rad，上擺擺角偏離平衡位置最大值為0.003 rad，系統能在2.5 s左右時間內達到并維持平衡，由此可見控制效果比較理想。比較兩者的仿真結果可知，基于融合函數的參數自校正模糊PI控制器不僅能使小車維持平衡，而且系統的響應速度也較快，可以用來對二級倒立擺實物系統實時控制。

圖3 參數自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結構圖

圖4 參數自校正模糊PI和模糊控制器的仿真曲線

在基本模糊控制器結構上，設計了一種參數自校正模糊PI控制器，通過融合函數對模糊控制器的輸入進行降維，避免了控制規則過多而影響控制性能的缺點，同時又對模糊控制器的量化因子和比例因子進行在線校正調整，達到了自校正目的。為了測試倒立擺系統魯棒性，選用了外部測試方法(即施加外力與系統)，系統能夠很快校正偏差，回到平衡位置。仿真結果和圖5實時控制曲線表明，這種控制器能有效地控制二級倒立擺系統，具有良好的穩態性能，響應速度較快，魯棒性較好。

圖5 二級倒立擺實時控制曲線

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