基于貝葉斯分析框架下的VAR和DSGE模型①

陽曉明

(湘潭大學商學院，湖南湘潭411105)

1 引言

宏觀經濟學在20世紀30年代“凱恩斯革命”中成為獨立的研究領域。應用宏觀經濟學一直是宏觀經濟學中最為活躍的研究領域之一，各種新思路、新方法層出不窮。“凱恩斯革命”之后的幾十年中，由凱恩斯理論導出的結構方程方法成為宏觀經濟學實證研究的主要方向。但是20世紀70年代由于受到盧卡斯批判(Lucas critique)和宏觀經濟模型商業應用的沖擊，考爾斯委員會(Cowles commission)結構性聯立方程組模型逐漸失去其在應用宏觀經濟學中的統治地位。20世紀80年代以后，由于Kydland and Prescott(1982)和Long and Plosser(1983)的開創性工作，第一代動態隨機一般均衡(DSGE)模型以(Kydland and Prescott為代表的RBC模型)成為宏觀經濟學的主流理論方法，許多實證宏觀計量方法也圍繞如何估計和評價DSGE模型展開［1］。

在實證宏觀計量方法方面，經濟學家提出了許多正式和非正式的數量方法，如向量自回歸(VAR)方法、校準(calibration)方法、一般矩估計方法(GMM)及完全信息極大似然估計(MLE)方法等等。為了減輕“經濟理論施加的難以置信的限制”，Sims(1980)提出較少運用經濟理論而以數據為中心的VAR方法，該方法自提出以來得到了廣泛的運用，并成為宏觀經濟建模的基本分析工具。DSGE模型是一個數據生成過程的多元隨機表示系統，這使我們很容易將其近似表示為VAR模型［2］。但是，簡單的DSGE模型對數據施加了很強的限制和約束條件，因而存在嚴重的模型誤設定(mis－specificaiton)問題，這使得由DSGE模型所導出的VAR模型常常被實際數據所拒絕(An and Schorfheide，2007)。正是由于模型誤設定和識別等問題，經濟學家們在80年代對DSGE模型的評價一直沒有有效的正式統計學方法，這也是Kydland and Prescott(1982，1996)放棄正式的(概率)計量方法，轉而使用非正式的計量方法－校準方法的原因。與概率方法對計量經濟模型的估計、檢驗和統計推斷不同，校準方法通過選擇宏觀經濟數據(如國內生產總值、通貨膨脹等)的一些特征化事實(如一階矩、二階矩等)，設定DSGE模型的參數使模型理論矩與觀測到數據的相應矩(特征化事實)相一致，并驗證模型能否解釋剩下的特征化事實(如各種高階矩)。但是在校準方法中，參數值和特征化事實的選取往往是任意的，沒有固定的選擇程序;而且該方法沒有參數估計結果的概率度量和統計檢驗。上述問題都使得校準方法缺乏穩健性和統計推斷能力，而對于引入大量剛性和沖擊的大規模新凱恩斯主義DSGE模型來講，校準方法就變得更加難以執行，而且上述缺點將變得更為嚴重。

Hansen(1982)提出的GMM方法則從一定程度上緩解了校準方法缺乏概率描述的缺點。GMM方法從某些總體距條件(正交條件)出發，使樣本距與總體距盡量相一致或靠近，以此估計模型參數。但是由于工具變量的可獲得性、小樣本偏差和最優權重矩陣的估計等問題使得GMM方法缺乏可行性和穩健性。而且在宏觀經濟運用中，由于該方法使用DSGE模型的歐拉方程矩條件而無需解出模型，這就使模型的識別問題顯得更為突出(Canova，2007)。Linde(2005)使用模擬數據發現即使沒有測量誤差，新凱恩斯主義菲利普斯曲線模型的GMM估計量在小樣本時也有嚴重的偏差，而且偏差程度隨貨幣政策行為的變化而變化，而此時完全信息極大似然估計則更具有吸引力。傳統的完全信息極大似然估計方法首先需要對DSGE模型的外生沖擊設定一個概率分布，然后根據模型的結構方程推導出似然函數，并在一定的參數空間內極大化該似然函數。Linde(2005)發現無論在模型誤設定還是非正態測量誤差條件下，完全信息極大似然估計都比有限信息方法(如GMM)表現更好。但是由于DSGE模型非線性解的計算負擔，使得大多數經驗文獻僅僅能估計線性化的DSGE模型。而且非高斯擾動的DSGE模型、似然函數的扁平性(flatness)和多重局部極大值問題等也常常使得極大似然估計難以進行。另外極大似然估計方法對模型誤設定非常敏感，只有在模型有很好的線性近似，且模型誤設定很小時才能運行良好［3］。

同時宏觀經濟學家們通過不斷引入一些更為實際的假定條件，使得模型的設定能進一步逼近現實經濟運行，這大大改善了第一代DSGE模型的誤設定問題，也使得一些傳統的計量經濟技術能用來估計、評價和預測DSGE模型。如貝葉斯VAR方法、貝葉斯DSGE方法、基于DSGE和VAR沖擊響應函數差距的最小距離估計方法等等，其中貝葉斯VAR和貝葉斯DSGE方法得到了學術領域和中央銀行實際工作者的廣泛認可。

2 貝葉斯分析方法

貝葉斯分析方法是指在進行參數估計時，將參數的某些先驗信息考慮進來，將這些先驗信息與樣本信息相結合，運用貝葉斯定理得出(或更新)參數估計的統計學方法。假定我們要估計的參數為θ，貝葉斯估計方法將其看作隨機變量，并假定其概率密度為p(θ)。假定YT表示T個隨機樣本觀測值，則p(YT|θ)為樣本的條件概率密度，也是樣本觀測值的似然函數。p(YT，θ)為樣本觀測值和待估參數的聯合概率密度函數，p(θ|YT)為給定樣本信息后參數θ的后驗概率密度，由貝葉斯定理有:

其中P(YT)≠0。由于P(YT)與θ無關，可視為常數，將上面表達式寫為:

其中∝表示“成比例”，即在給定樣本信息后，待估參數的后驗概率密度與參數先驗概率密度和樣本似然函數的乘積成比例。該公式表明先驗信息通過先驗密度進入后驗密度，樣本信息通過似然函數進入后驗密度，聯合后驗密度則將所有先驗和樣本信息歸納融合其中(Zellner，1971)。在貝葉斯觀點下，待估計參數被看作隨機變量，關于參數的推斷都是以概率形式出現的，這使我們可以考慮盡可能大的參數空間，使模型的估計更為穩健。許多數值模擬方法如馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Carlo)都能被用來從參數后驗分布中進行抽樣，基于這些抽樣我們可以通過數值方法來估計后驗分布的各種矩，并對參數進行統計推斷［4］。

經濟學家將貝葉斯觀點運用到了許多宏觀經濟學模型中，近年最主要的進展是貝葉斯向量自回歸(貝葉斯VAR)模型和貝葉斯動態隨機一般均衡(貝葉斯DSGE)模型。貝葉斯DSGE和貝葉斯VAR方法就是將先驗信息引入DSGE和VAR模型，運用貝葉斯觀點，使先驗信息與數據信息相結合，進而對模型的參數進行后驗推斷和預測的一種統計推斷方法。貝葉斯DSGE和貝葉斯VAR方法不僅有貝葉斯估計方法的一般優點，相對于一般的DSGE和VAR模型，貝葉斯估計方法在模型的估計、評價和計算上也有較多優勢。而且貝葉斯估計方法將經濟理論、數據和政策分析非常好地融為一體，已成為宏觀經濟建模和預測，歐、美國家中央銀行制定和執行貨幣政策的基本分析框架。下面以貝葉斯VAR模型和貝葉斯DSGE模型為例，說明其基本原理和運用。

3 貝葉斯VAR和貝葉斯DSGE模型方法

3.1 貝葉斯VAR模型方法

20世紀80年代以后，經濟學家廣泛運用VAR方法對時間序列進行分析、預測和政策分析。但是，對于由標準DSGE模型得出的限制性簡約VAR或擁有較小自由度的VAR來講，運用非限制性VAR方法進行的實證估計往往不太準確，或預測時有很大的標準差，而且難以形成良好的經濟學理論解釋。而當數據較少，或樣本信息較弱，或待估計參數數量較多時，非限制性VAR估計將帶來過度擬和(overfitting)問題及因此導致的較差的預測效果(Canova，2007)。貝葉斯VAR模型則可以很好地解決非限制性VAR模型的樣本外預測表現、模型誤設定及數據和經濟理論一致性等問題。

3.1.1 Minnesota先驗分布貝葉斯VAR模型

假定有T個樣本觀測值的n×1向量yt有以下p階簡約VAR模型表示:

其中Φ0，Φ1，...，Φp為VAR系數參數，ut為向前一步預測誤差，ut－N(0，Σu)為了改善VAR模型的樣本外預測表現和識別問題，Doan，Litterman and Sims(1984)和Litterman(1986)針對非限制性VAR模型的系數參數提出了Minnesota(或 Litterman)先驗分布。定義Φ =［Φ0，Φ1，…，Φ］＇、α =vec(Φ)和 YT= ［y1，…，yT］＇，Minnesota先驗分布假定α－N(0，Σα)，其中α是n2(p+1)×1向量，對角陣Σα是先驗方差協方差矩陣，且是少數幾個超參數(hyperparameter)的函數。實際上Minnesota先驗分布是按逐條方程對簡約VAR模型系數參數設定先驗信息，因而在多方程結構VAR模型占主要比重的宏觀經濟研究中有一定局限性。針對多方程結構 VAR模型，Sims and Zha(1998)進一步發展了Litterman的思想，使用“正態 －逆Wishart”先驗分布作為結構參數的先驗信息，該先驗分布也適用于過度識別的結構VAR模型。在實證研究方面，Robertson and Tallman(1999)根據美國主要宏觀經濟數據，使用 Minnesota、擴展的 Minnesota和 Sims and Zha(1998)等多種先驗分布，證實帶有先驗分布的貝葉斯VAR模型可以很好地提高非限制性VAR模型的預測表現。Cogley and Sargent(2001，2005)和 Canova et al.(2008)等則進一步放松了VAR模型的系數限制。他們允許VAR模型的系數隨時間而變化，即時間可變系數貝葉斯VAR模型(TVC－BVAR)，以解釋觀察到的宏觀經濟時間序列中結構變化和區制轉換現象。Minnesota先驗BVAR模型可以在一定程度上回避VAR模型中的“維度詛咒”問題，能很好地平衡VAR模型估計中的可靠性和計算負擔問題，而且可以提供較好的短期時間序列預測［4］。當然Minnesota先驗分布的設定較多地依賴經驗方法，缺少經濟學解釋和理論支撐。先驗分布如太松則易造成過度擬合問題，如太緊則易造成數據信息缺失問題，而且忽視了內生變量的聯動效應(co－movements)信息［5］。

3.1.2 DSGE －VAR 分析方法

DSGE模型對其移動平均表示參數施加了很強的約束，盡管DSGE模型沒有有限階的VAR表示，我們仍然可以使用p階VAR模型作為DSGE模型移動平均表示的近似。DSGE模型p階VAR近似表示的滯后階數越長，則該近似表示與DSGE模型的誤差越小。非限制性VAR模型參數向量比DSGE模型參數向量的緯度大得多，因此DSGE模型對其近似VAR表示施加了很強的結構約束。近年來，越來越多的實證研究表明DSGE模型中潛在的模型誤設定問題是不容忽視的Del Negro et al.(2007)，因而由非限制性VAR模型推出的沖擊響應函數往往與誤設定的DSGE模型推出的沖擊響應函數有相當大的差距。為了解決DSGE模型的誤設定及數據和經濟理論的一致性問題，Del Negro and Schorfheide(2004)提出了DSGEVAR分析方法。假定DSGE模型n×1內生可觀測向量yt有如(4)式定義的p階簡約VAR近似表示形式，向量θ表示DSGE模型的待估計深層參數，用基于參數θ的DSGE模型產生的T*個模擬樣本增廣實際樣本數據，引入超參數λ=T*/T作為模型誤設定的度量指標。假定以參數θ為條件，VAR模型參數的先驗分布服從“正態 －逆Wishart”分布形式，則運用貝葉斯定理可以得出VAR模型參 數 Φ 和 Σu的 后 驗 估 計 量。DelNegroand Schorfheide(2004)認為可以使用數據驅動的方法確定超參數λ的取值，即最大化超參數λ的邊際似然函數

其中pλ(Y|θ)= ∫p(Y|Φ，Σu)p(Φ，Σu|θ)d(Φ，Σu)。

且是超參數λ的函數。函數pλ(Y)衡量了可以在多大程度上放松DSGE模型的限制，以平衡樣本內擬合和DSGE模型的復雜性，也可以看作DSGE模型誤設定程度的時間序列證據(Del Negro et al.2007)。為了求得最優的由超參數λ表示的模型設定形式，設定超參數λ的格點區間為∧ =(l1，l2，……，lq)，l1=n(p+2)/T，lq= ∞。

對該格點區間極大化λ的邊際似然函數，則λ的最優估計量^λ由下式定義:

DSGE－VAR方法實際上是將DSGE模型作為VAR模型的先驗信息，一方面放松DSGE模型的參數限制，以提高DSGE模型的擬合程度，并修正DSGE模型的誤設定;另一方面限制VAR模型的參數自由度，以提高VAR模型的預測表現，并提高VAR模型識別和擬合的精確度，取得理論和數據的一致性和平衡。DSGE－VAR估計方法使我們能夠考慮介于DSGE模型和非限制VAR模型之間的模型設定形式，可以在由超參數λ代表的一個連續統的中間模型空間中選擇最好的模型設定形式［6］。通過極大化λ的邊際似然函數選擇超參數λ，此時深層參數θ的后驗分布可以被解釋為用作相應VAR先驗分布的最好DSGE模型設定形式的后驗估計，而超參數λ的后驗分布則給出了DSGE模型可靠性及所代表的經濟約束經驗相關性的度量指標。Adjemian and Paries(2008)改進了DSGE－VAR分析，他們認為 Del Negro and Schorfheide(2004)和Del Negro et al.(2007)使用少數幾個值以格點化超參數λ，在此基礎上通過極大化邊際似然函數以求得最優超參數值的方法至少在計算上是無效率的，而且是非貝葉斯觀點的。與Del Negro and Schorfheide(2004)依照超參數λ的格點取值作循環估計不同，他們將超參數λ看作另一個深層參數，并對其賦予一定的先驗分布信息p(Y)，再與其他參數的先驗分布信息相結合對模型進行估計和推斷。

3.2 貝葉斯DSGE模型方法

在DSGE－VAR方法中，參數由最小化非限制性VAR系數和由DSGE模型導出的近似VAR系數(帶有跨方程約束)的差距所決定。與DSGE－VAR方法相比，貝葉斯DSGE估計方法則要求直接擬合所有觀測到的時間序列數據，在一定程度上是校準方法和極大似然估計方法的折衷，是動態經濟理論、計量經濟方法和計算機技術的有機融合。Geweke(1999)認為DSGE模型有兩種不同的計量經濟解釋:弱計量解釋和強計量解釋。弱計量經濟解釋主要是指Kydland and Prescott(1982，1996)的校準方法，該方法僅僅提供了數據生成過程的部分描述。而強計量經濟解釋則提供了數據生成過程的整體描述，因而也更為可信和穩健，主要指的是傳統極大似然估計方法和貝葉斯估計方法。

假定用 YT=［y1，...，yT］＇表示DSGE模型中n ×1階可觀測向量yt的T個觀測值，其聯合條件概率密度函數(模型的后驗核)為

我們可以由DSGE模型的線性狀態空間表示形式，使用卡爾曼濾波(Kalman filter)算法推導聯合概率密度函數、卡爾曼濾波更新公式和預測公式。假定DSGE模型深層參數向量θ的先驗概率密度為p(θ)，由貝葉斯定理及L(θ|YT)=p(YT|θ)

可得參數θ的后驗密度函數為

其中L(θ|YT)是基于觀測數據的似然函數。首先運用數值方法最大化對數似然函數及對數參數先驗密度的和(邊際數據密度函數是常數)，以獲得參數的后驗眾數θmode:

相對傳統極大似然估計方法，㏑p(θ)可以被看作對似然函數的懲罰函數(penalty function)。再將后驗眾數θmode作為初始值(或其他給定初始值)，由MCMC抽樣方法(如隨機游走Metropolis－Hastings算法)，從后驗分布中獲取抽樣，由數值積分方法計算所需參數的各階后驗距和置信區間，并檢驗其收斂性［7］。最后根據計算的各階距、置信區間和沖擊響應函數，由設定的損失函數(loss function)對模型進行推斷和評價。以貝葉斯VAR模型類似，貝葉斯DSGE模型使用參數的一個先驗分布作為似然函數的懲罰函數，將數據信息和先驗信息相結合，對模型作出估計和推斷。與DSGE模型的傳統極大似然估計相比，貝葉斯DSGE模型對參數賦予了更為合理的空間，有效地避免了傳統極大似然估計中似然函數在某些參數空間的扁平性問題和多重局部極大值問題。而且當模型的誤設定程度很高時，極大似然估計方法常常得出荒謬的估計結果，而貝葉斯DSGE估計方法可以有效地應對這類“錯誤的”模型，它可以運用信息性先驗(informative prior)分布，充分考慮到模型的不確定性和模型誤設定問題，得出相對合理的估計結果。Smets and Wouters(2003，2007)發展了一個粘性價格和工資的新凱恩斯主義DSGE模型，他們用貝葉斯估計方法分別估計了歐元區和美國的主要宏觀經濟數據，他們發現新凱恩斯主義DSGE模型能很好地擬合歐元區和美國的時間序列數據。在樣本外預測方面，貝葉斯DSGE模型比VAR模型或貝葉斯VAR模型表現更好(有更大的似然函數值)。值得注意的是貝葉斯實證文獻中的很多作者都來自美國和歐元區的中央銀行，他們估計的貝葉斯DSGE模型正在成為中央銀行進行宏觀經濟分析和預測，并依此制定和執行貨幣政策的基本分析框架。如Smets and Wouters(2003，2007)估計的新凱恩斯主義DSGE模型，該框架已成為歐州中央銀行分析宏觀經濟波動和經濟周期，制定、執行和評價貨幣政策的重要分析工具［8］。

由此看來，當代應用宏觀經濟方法經歷了一個由比較強調經濟理論和政策分析，如RBC模型的校準方法;到比較強調樣本數據生成機制和模型擬合程度，如VAR模型;進一步到比較強調預測表現、模型比較和政策分析，如貝葉斯VAR模型和DSGE－VAR方法;再到經濟理論和數據相結合，模型擬合、預測與政策分析并重(如貝葉斯DSGE模型和DSGE－VAR方法)的發展道路。所使用的宏觀經濟模型也由確定性模型轉變為充分體現經濟中不確定性的隨機模型，由假定模型就是正確的數據生成過程到充分考慮到模型誤設定和靈活性等問題的更為貼近現實的經濟模型。在這個過程中，各種理論和方法相互借鑒，也體現了應用宏觀經濟方法進一步“融合”的趨勢。正如Blanchard(2008)指出的，在過去的20年中宏觀經濟學無論在圖景和方法論上都有廣泛的“收斂”跡象［9］。

4 貝葉斯估計方法在我國宏觀經濟建模中的適用性

4.1 宏觀經濟運行機制和模型設定

我國經濟運行正處于由計劃經濟向市場經濟的轉軌時期，社會經濟結構和國家宏觀經濟政策的制定和執行也處于不斷演化過程中。這種經濟的“過渡性”導致了利益分配機制及資源約束條件等的不斷變化，也因此導致經濟主體的行為很不穩定，宏觀經濟運行常常大起大落并處于不同的體制區(regime)中。經濟主體行為的不穩定使得宏觀經濟運行的結構參數也很不穩定，常常出現跳躍，并處于不斷變化過程中。因此我國宏觀經濟運行中常常會出現結構斷點，宏觀經濟的數據生成過程和參數出現結構變化。一般經典計量方法都假定經濟運行服從一個數據生成過程，結構參數被假定為固定不變的常數，從而使用普通最小二乘(OLS)或傳統極大似然方法(MLE)對參數進行估計和統計推斷。而我國的宏觀經濟數據可能不同時期服從不同的數據生成過程和參數結構，因此使用經典計量方法(一般僅假定一個數據生成過程)對我國的宏觀經濟數據進行的計量分析和統計推斷往往是不妥當的，由此得出的宏觀經濟政策建議往往也是不正確的。而貝葉斯估計方法將模型參數看作是隨機變量，并對待估計的模型參數賦予一個先驗概率分布，根據貝葉斯定理得出(更新)對模型參數的概率推斷。可以看出，貝葉斯估計方法特別適用于像我國這樣的轉軌經濟國家的經濟數據建模和政策分析，該方法可以充分考慮經濟處于不同體制區的“過渡性”，并能允許經濟參數的結構變化。

4.2 宏觀經濟數據的可獲得性和質量

相對于經典估計方法，貝葉斯估計方法對于小樣本的估計是更為穩健的(Zeller，1971)。在大樣本下貝葉斯估計方法等價于經典估計方法，使用不同先驗信息的貝葉斯估計結果的差別在大樣本下也將消失。在實證研究中，宏觀經濟時間序列的數據一般較短(小樣本)，即使在美國這樣宏觀經濟數據較為豐富的國家也是如此，我國的宏觀經濟時間序列數據在這方面的矛盾就更為突出(如我國1992年以后才有較完整的主要宏觀經濟變量的季度數據)。較短的宏觀經濟數據使得以往運用經典計量方法(如OLS或MLE)估計的中國宏觀經濟模型往往是不穩健的，而貝葉斯方法能很好地解決我國宏觀經濟時間序列較短的問題。另外，貝葉斯估計方法使我們可以結合許多國內微觀計量研究的成果及其他宏觀研究文獻(可作為先驗信息)，對模型進行估計、推斷和評價，并獲得更為穩健的計量估計結果。而且，我國的宏觀經濟數據存在統計口徑不一致和相當程度的測量誤差，貝葉斯估計方法則可將這些誤差看作隨機擾動，并賦予一定的先驗信息結構，從而在一定程度上克服我國宏觀經濟數據的口徑不一致和測量誤差問題。綜上所述，貝葉斯估計方法非常適合我國轉軌經濟的特征，可以很好地解決我國宏觀經濟數據的可獲得性和質量等問題。該方法將成為我國宏觀經濟建模和估計，中央銀行制定和執行貨幣政策的有力工具。

5 結論

本文回顧了應用宏觀經濟學的主要方法和新進展后認為:現有校準、向量自回歸、一般矩方法和極大似然估計等方法都存在諸多缺點，而貝葉斯分析框架的引入能有效地應對這些問題。貝葉斯分析框架是宏觀經濟學從更為現實的微觀基礎出發，充分考慮到模型不確定性和結構變化，以更為切實可行的政策分析為目標取得的重大方法論進展。該方法能很好地將理論與數據、微觀文獻和宏觀研究相結合，能很好地解決DSGE模型估計中的識別和誤設定問題，而且很適合進行模型的比較和宏觀經濟政策分析。由于我國宏觀經濟體制和結構的特殊性及宏觀經濟數據的特點，貝葉斯方法將在我國宏觀經濟建模和預測，中央銀行制定和執行貨幣政策過程中發揮重要作用。

［1］Adjemian S.，M.Darracq Paries.Assessing the international spillovers between the US and the euro area:evidence from a two－country DSGE－VAR［Z］.Working Paper，European Central Bank，January 2008.

［2］An，Sungbae，and Frank Schorfheide.Bayesian Analysis of DSGE Models［J］.Econometric Reviews，2007，26(24):113–72.

［3］Blanchard Olivier J.The State of Macro［Z］.NBER Working Paper，14259，2008.

［4］Canova，Fabio.Methods for Applied Macroeconomic Research［M］.NJ:Princeton University Press，2007.

［5］Canova，Fabio，Luca Gambetti，and Evi Pappa.The Structural Dynamics of US Output and Inflation:What Explains the Changes［J］.Journal of Money，Credit，and Banking，2008.

［6］Cogley，Timothy，and Thomas J.Sargent.Evolving Post－ World War II U.S.Inflation Dynamics［C］//NBER Macroeconomic Annual，2001.

［7］Cogley，Timothy，and Thomas J.Sargent.Drifts and Volatilities:Monetary Policy and Outcomes in the Post WWII U.S.［J］.Review of Economic Dynamics，2005(8):262－302.

［8］DeJong，David N.，Beth F.Ingram，and Charles H.Whiteman.A Bayesian Approach to Dynamic Macroeconomics［J］.Journal of Econometrics，2000(98):203－223.

［9］Del Negro，Marco and Frank Schorfheide.Priors From General Equilibrium Models for VARs［J］.International Economic Review，2004(45):643－673.