隨機(jī)函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理

鄒廣玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院， 長(zhǎng)春130012)

隨機(jī)函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理

鄒廣玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院， 長(zhǎng)春130012)

利用ρ-混合序列部分和乘積的幾乎處處中心極限定理，給出了一類隨機(jī)函數(shù)(統(tǒng)計(jì)量)乘積的幾乎處處中心極限定理，推廣了獨(dú)立情形的結(jié)論。

隨機(jī)函數(shù)；ρ-混合序列；幾乎處處中心極限定理

引言

針對(duì)此類隨機(jī)函數(shù)，眾多學(xué)者對(duì)其極限性質(zhì)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]得到了隨機(jī)函數(shù)的幾乎處處中心極限定理，文獻(xiàn)[2]得到了隨機(jī)函數(shù)大數(shù)定律和重對(duì)數(shù)律的精確漸近性質(zhì)，文獻(xiàn)[3-4]分別討論了{(lán)Xn,n≥1}為獨(dú)立同分布和NA序列時(shí)隨機(jī)函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理，本文討論{Xn,n≥1}為ρ-混合序列時(shí)隨機(jī)函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理。

則稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是ρ-混合的。

ρ-混合序列的概念由Kolmogrov和Rozanov在文獻(xiàn)[5]中引入。本文的主要結(jié)論如下：

(H1)對(duì)某個(gè)ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么對(duì)任意的x，有

F(x),a.s.

(1)

1 主要引理

引理1設(shè){Xn,n≥1}是正的嚴(yán)平穩(wěn)的ρ-混合隨機(jī)變量列，滿足EX1=μ>0和VarX1=σ2<∞，假設(shè)

(H1)對(duì)某個(gè)ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么對(duì)任意的x，有

(2)

其中，Φ(x)表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)。下同。

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[6]引理2.5。

引理2在定理1的條件下，對(duì)任意的x，有

Φ(x)，a.s.

(3)

證明

注意到

由(2)式，有

(4)

故

于是，對(duì)任意小的ε>0和幾乎所有的樣本點(diǎn)ω，存在正整數(shù)N1=N1(ω，ε，x)，使得當(dāng)k>N1時(shí)有

I(A1≤x+ε)

由(4)式可知(3)式成立，于是證明了引理2。

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[6]引理2.2。

2 定理1的證明

易知(1)式等價(jià)于

Φ(x),a.s.

(5)

又由定理1條件(H3)知，

于是，對(duì)于充分大的i，有

注意到當(dāng)|x|<1時(shí)，log(1+x)=x-Q(x)，且

于是，對(duì)任意小的ε>0和幾乎所有的樣本點(diǎn)ω，存在正整數(shù)N2=N2(ω，ε，x)，使得當(dāng)k>N2時(shí)有

由(3)式即知(5)式成立，即證明了定理1。

[1] 陸傳榮,邱 瑾,徐建軍.隨機(jī)函數(shù)的幾乎處處中心極限定理[J].中國(guó)科學(xué):A輯,2006,36(9):1045-1056.

[2] 周君興,楊輝煌,陸傳榮.一類統(tǒng)計(jì)量的強(qiáng)大數(shù)定律和重對(duì)數(shù)律的精確漸近性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)年刊,2006,27A(6):807-814.

[3] 邱 瑾,陸傳榮.一類統(tǒng)計(jì)量的乘積的漸近性質(zhì)和幾乎處處中心極限定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013,33(3):475-482.

[4] 鄒廣玉.一類統(tǒng)計(jì)量乘積的幾乎處處中心極限定理[J].長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,15(1):126-128.

[5] Kolmogrov A N,Rozanov U A.On the strong mixing conditions of a stationary Gaussian process[J].Probab.Theory Appl.,1960(2):222-227.

[6] 金敬森,王建峰,張立新.ρ-混合序列部分和乘積的幾乎處處中心極限定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(4):729-736.

An Almost Sure Central Limit Theorem for the Product of Random Functions

ZOUGuangyu

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun 130012, China)

Applying the almost sure central limit theorem for the product of partial sums ofρ-mixing sequences, an almost sure central limit theorem for the product of a class of random functions(or statistics) was obtained, which extended the result of the i.i.d case.

random functions;ρ-mixing sequences; almost sure central limit theorem

2014-08-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401090)；吉林省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(120120113);長(zhǎng)春工程學(xué)院青年基金項(xiàng)目(320130019)

鄒廣玉(1982-)，男，吉林通化人，講師，博士，主要從事概率極限理論方面的研究，(E-mail)jingyang999@126.com

1673-1549(2014)06-0072-03

10.11863/j.suse.2014.06.18

O211.4

A