有限群的極小子群數(shù)與素因子數(shù)

黃彥華， 王磊

(四川理工學(xué)院a.理學(xué)院；b.建筑工程學(xué)院， 四川自貢643000)

有限群的極小子群數(shù)與素因子數(shù)

黃彥華a， 王磊b

(四川理工學(xué)院a.理學(xué)院；b.建筑工程學(xué)院， 四川自貢643000)

極小子群是一類特殊的子群，在有限群結(jié)構(gòu)的研究中起重要作用。有限群的極小子群的數(shù)量性質(zhì)能夠反映該群的許多性質(zhì)。文章從極小子群的角度討論群，并通過對不同性質(zhì)的有限群進(jìn)行討論，給出了其極小子群數(shù)與素因子數(shù)的關(guān)系。

極小子群；冪零；循環(huán)子群；素因子

引言

群論是抽象代數(shù)中研究最早且最為成熟的基本代數(shù)系，不僅在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理、化學(xué)和信息等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。而作為群論的基礎(chǔ)部分，有限群也是群論中應(yīng)用最為廣泛的一支。有限群的子群與原群之間有著緊密的聯(lián)系，子群的數(shù)量性質(zhì)能夠反映該原群的許多性質(zhì)。通過子群的研究可以更好地將群論應(yīng)用于各個(gè)相關(guān)的領(lǐng)域。

文獻(xiàn)[1]對特定的極小子群數(shù)給出了原群的結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[2]給出了有限群的極大子群的下界，并通過該下界得出具有特定結(jié)構(gòu)的有限群；文獻(xiàn)[3]利用極小子群的中心化子和正規(guī)化子對若干有限群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫；文獻(xiàn)[4]研究了極大子群同階類類數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響，極大子群個(gè)數(shù)<5以及極大子群數(shù)為6和7的有限群已分別在文獻(xiàn)[5-7]里得到刻畫。而極小子群作為極大子群的對偶，在有限群中扮演了一個(gè)重要角色，同時(shí)文獻(xiàn)[8]給出了具有弱H-特征極小子群的有限群。

本文主要通過研究極小子群，討論子群的個(gè)數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響。本文討論的群均為有限群，文中用π(G)表示群G的相異素因子之集，n(G)表示G的極小子群數(shù)，m(G)表示群G的所有極大子群的集合。

1 預(yù)備知識

引理2[2]若G為有限非循環(huán)群，則|m(G)|≥|π(G)|+p，其中p為群G的最小素因子。

引理3[10-11]設(shè)G為有限群，則n(G)=1的充分必要條件為：G為循環(huán)p-群或廣義四元數(shù)群。

引理5[13-14]設(shè)p為素?cái)?shù)，則G中p階極小子群的個(gè)數(shù)np≡1(modp)。

2 主要結(jié)果及其證明

定理1若G為循環(huán)群，則n(G)=|π(G)|。

證明若G為循環(huán)群，則G?Zp1 r1×Zp2 r2×…×Zpn rn。由引理3知，循環(huán)p-群的極小子群數(shù)為1，則n(Zpi ri)=1(i=1,2,…,n)，從而有n(G)=n(Zp1 r1)+n(Zp2 r2)+ …+n(Zpn rn)=n=|π(G)|。

定理2若G為冪零群，則n(G)≥|π(G)|。

定理3若非循環(huán)群G的極小子群同時(shí)也是極大子群，則n(G)≥|π(G)|+p，p為群G的最小素因子。

證明此時(shí)有n(G)=|m(G)|，由引理4即得證。

推論1存在著有限群G，使得該群的極小子群數(shù)n(G)=|π(G)|+pi，其中pi為群G的素因子，π(G)={p1,p2,…,pn}，1≤i≤n。

證明考慮

G=Zp1×Zp2×…×Zpi-1×Zpi×Zpi×Zpi+1×…×Zpn

定理4初等交換p-群的極小子群數(shù)與極大子群數(shù)相等。

n(G)=|m(G)|證畢。

3 結(jié)束語

對于特定的有限群，本文對其極小子群數(shù)與素因子數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了探討，得到了相關(guān)的結(jié)論，為其在量子物理、信息等方面的應(yīng)用發(fā)展奠定了較好的理論基礎(chǔ)，但是對于一般的有限群，其極小子群數(shù)與素因子數(shù)的關(guān)系還有待進(jìn)一步研究。

[1] 黃彥華.極小子群個(gè)數(shù)為3,4的有限群[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(4):12-13.

[2] Lauderdale L K.Lower bounds on the number of maximal subgroups in a finite group[J].Arch.Math,2013(101):9-15.

[3] 沈如林,史江濤,施武杰.極小子群與有限群的結(jié)構(gòu)研究[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,25(1):1-3.

[4] 黎先華.極大子群同階類類數(shù)=3的有限群[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994(1):108-115.

[5] 王立中.極大子群個(gè)數(shù)<5的有限群[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào),2000,21(3):10-13.

[6] 游興中,朱偉華,劉 崢.恰有6個(gè)極大子群的有限群[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(3):1-3.

[7] 游興中,朱偉華,劉 崢.恰有7個(gè)極大子群的有限群[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(5):1-3.

[8] Al-Mosa M M,Heliel A.Finite groups Whose Minimal Subgroups are WeaklyH-Subgroups[J].Acta Mathematica Scientia,2012(32):2295-2301.

[9] Gabriel N,Pham H T.Abelian Sylow Subgroups in a finite group[J].Journal of Algebra,2014(398):519-526.

[10] 丁士鋒.有限群在某個(gè)極小子群共軛類上的傳遞性[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2004,31(1):7-10.

[11] Zvonimir J.Finite p-groups with many minimal nonabelian subgroups[J].Journal of Algebra,2012(357):263-270.

[12] 徐明曜.有限群導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[13] 張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[14] Sophie F,Daniel K.Sylow p-groups of polynomial permutations on the inters modpn[J].Journal of Number Theory,2013(133):4188-4199.

The Numbers of Minimum Subgroups and Prime Factors of Finite Group

HUANGYanhuaa,WANGLeib

(a.School of Science b.School of Architecture and Engineering, Sichuan University of Science & Engineering,
Zigong 643000, China)

Minimum subgroup is a kind of special subgroup and plays a important role in the study of finite group structure. The number and properties of minimum subgroup of finite group can reflect many properties of this group. From the perspective of minimum subgroup, the finite groups with different properties are discussed, and then the relation of minimum subgroups number and prime factors number is obtained.

minimum subgroup; nilpotent; cyclic subgroup; prime factor

2014-09-01

橋梁無損檢測與工程計(jì)算四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科研項(xiàng)目(2013QYJ02)；四川理工學(xué)院校級項(xiàng)目(2013RC07)

黃彥華(1982-)，女，湖北荊州人，講師，碩士，主要從事有限群論方面的研究，(E-mail)43156246@qq.com

1673-1549(2014)06-0084-02

10.11863/j.suse.2014.06.21

O152

A