初中建模教學(xué)初探

徐忠

【內(nèi)容摘要】在教學(xué)《銳角三角函數(shù)》的習(xí)題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數(shù)學(xué)模型，并和學(xué)生一起分析模型，應(yīng)用模型，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學(xué)蘇教版九年級下冊《銳角三角函數(shù)》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題。而在練習(xí)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就題論題，題目稍加變化，很多學(xué)生就束手無策。于是在這一章的復(fù)習(xí)課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進(jìn)行改編，然后與學(xué)生一起建立模型、分析模型、對模型進(jìn)行變式找出規(guī)律，再通過教材找出對應(yīng)的實際問題，最后讓學(xué)生根據(jù)這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學(xué)生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學(xué)片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側(cè)的點(diǎn)A、B處，測得塔頂?shù)难鼋欠謩e是30°、60°，求A、B兩點(diǎn)到塔底C的距離。

學(xué)生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關(guān)于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關(guān)于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發(fā)現(xiàn)只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發(fā)現(xiàn)一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發(fā)現(xiàn)了一個重要規(guī)律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結(jié)論嗎？（出示圖例2）

學(xué)生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發(fā)現(xiàn)必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關(guān)鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側(cè)，如果在同側(cè)會不會有這個規(guī)律呢？（出示圖例3）

生討論后，發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律仍成立。

學(xué)生們?yōu)樽约喊l(fā)現(xiàn)的結(jié)論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學(xué)生的探究熱情高漲，于是因勢利導(dǎo)，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發(fā)現(xiàn)除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關(guān)，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發(fā)現(xiàn)除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學(xué)生找到這些實際問題以后，教師和學(xué)生一起分析、解題并對新找到的模型進(jìn)行分析。

課后作業(yè)要求學(xué)生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學(xué)反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學(xué)生一起分析模型找出解題的關(guān)鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進(jìn)行分析，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而這些模型分散在教材與學(xué)生平時練習(xí)中，教師將其集中在一起形成序列進(jìn)行教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生能夠運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生不僅知道題目的解法，還能領(lǐng)悟和運(yùn)用解題時所反映和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習(xí)題基本上是圍繞著這幾種模型而設(shè)計展開的。

一、教學(xué)中為什么要數(shù)學(xué)建模

目前的數(shù)學(xué)教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應(yīng)用的問題，教師經(jīng)常對學(xué)生進(jìn)行大量機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，以期望達(dá)到“熟能生巧”的目的，而事實上學(xué)生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓(xùn)練中缺乏建模數(shù)學(xué)思想方法的滲透。研究表明，數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術(shù)”式的。它易操作、易復(fù)制，但功能性弱，應(yīng)用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復(fù)制，但功能性更強(qiáng)，應(yīng)用面寬。第三層是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強(qiáng)，它是對前面兩個層次的指導(dǎo)和引領(lǐng)。所以，在數(shù)學(xué)課中應(yīng)該科學(xué)地、有層次地設(shè)計練習(xí)，讓提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為課堂的常態(tài)。

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)

用數(shù)學(xué)模型解決問題，最關(guān)鍵的一步是找到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學(xué)生建立了雙垂直三角形，學(xué)生求解發(fā)現(xiàn)十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎(chǔ)；第二步，通過變式建立模型：在和學(xué)生發(fā)現(xiàn)了雙垂直三角形的解題特點(diǎn)后，通過變式讓學(xué)生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點(diǎn)，建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；第三步，在所建模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗證：教學(xué)中讓學(xué)生在書上找出這些模型的對應(yīng)習(xí)題，和學(xué)生們一起分析、解答，通過練習(xí)驗證了模型；第四步，應(yīng)用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學(xué)生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學(xué)知識。縱觀整個教學(xué)設(shè)計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學(xué)生經(jīng)歷了對問題進(jìn)行抽象-建立模型-驗證模型-應(yīng)用模型的全過程。

三、建模教學(xué)中的一些主要途徑

數(shù)學(xué)建模是一個長期的、不斷積累經(jīng)驗、不斷深化的過程，因此在教學(xué)中筆者總結(jié)了幾個行之有效的途徑。

1.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2.實施有效的問題解決策略，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路進(jìn)行探索、解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，滲透數(shù)學(xué)建模思想；

3.注重應(yīng)用題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行建模活動；

5.注重實驗教學(xué)，讓學(xué)生在動手操作的過程中建立數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)然，要使學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決問題，不可能通過一節(jié)課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達(dá)到我們預(yù)期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】在教學(xué)《銳角三角函數(shù)》的習(xí)題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數(shù)學(xué)模型，并和學(xué)生一起分析模型，應(yīng)用模型，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學(xué)蘇教版九年級下冊《銳角三角函數(shù)》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題。而在練習(xí)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就題論題，題目稍加變化，很多學(xué)生就束手無策。于是在這一章的復(fù)習(xí)課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進(jìn)行改編，然后與學(xué)生一起建立模型、分析模型、對模型進(jìn)行變式找出規(guī)律，再通過教材找出對應(yīng)的實際問題，最后讓學(xué)生根據(jù)這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學(xué)生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學(xué)片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側(cè)的點(diǎn)A、B處，測得塔頂?shù)难鼋欠謩e是30°、60°，求A、B兩點(diǎn)到塔底C的距離。

學(xué)生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關(guān)于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關(guān)于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發(fā)現(xiàn)只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發(fā)現(xiàn)一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發(fā)現(xiàn)了一個重要規(guī)律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結(jié)論嗎？（出示圖例2）

學(xué)生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發(fā)現(xiàn)必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關(guān)鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側(cè)，如果在同側(cè)會不會有這個規(guī)律呢？（出示圖例3）

生討論后，發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律仍成立。

學(xué)生們?yōu)樽约喊l(fā)現(xiàn)的結(jié)論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學(xué)生的探究熱情高漲，于是因勢利導(dǎo)，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發(fā)現(xiàn)除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關(guān)，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發(fā)現(xiàn)除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學(xué)生找到這些實際問題以后，教師和學(xué)生一起分析、解題并對新找到的模型進(jìn)行分析。

課后作業(yè)要求學(xué)生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學(xué)反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學(xué)生一起分析模型找出解題的關(guān)鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進(jìn)行分析，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而這些模型分散在教材與學(xué)生平時練習(xí)中，教師將其集中在一起形成序列進(jìn)行教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生能夠運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生不僅知道題目的解法，還能領(lǐng)悟和運(yùn)用解題時所反映和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習(xí)題基本上是圍繞著這幾種模型而設(shè)計展開的。

一、教學(xué)中為什么要數(shù)學(xué)建模

目前的數(shù)學(xué)教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應(yīng)用的問題，教師經(jīng)常對學(xué)生進(jìn)行大量機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，以期望達(dá)到“熟能生巧”的目的，而事實上學(xué)生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓(xùn)練中缺乏建模數(shù)學(xué)思想方法的滲透。研究表明，數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術(shù)”式的。它易操作、易復(fù)制，但功能性弱，應(yīng)用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復(fù)制，但功能性更強(qiáng)，應(yīng)用面寬。第三層是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強(qiáng)，它是對前面兩個層次的指導(dǎo)和引領(lǐng)。所以，在數(shù)學(xué)課中應(yīng)該科學(xué)地、有層次地設(shè)計練習(xí)，讓提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為課堂的常態(tài)。

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)

用數(shù)學(xué)模型解決問題，最關(guān)鍵的一步是找到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學(xué)生建立了雙垂直三角形，學(xué)生求解發(fā)現(xiàn)十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎(chǔ)；第二步，通過變式建立模型：在和學(xué)生發(fā)現(xiàn)了雙垂直三角形的解題特點(diǎn)后，通過變式讓學(xué)生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點(diǎn)，建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；第三步，在所建模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗證：教學(xué)中讓學(xué)生在書上找出這些模型的對應(yīng)習(xí)題，和學(xué)生們一起分析、解答，通過練習(xí)驗證了模型；第四步，應(yīng)用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學(xué)生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學(xué)知識。縱觀整個教學(xué)設(shè)計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學(xué)生經(jīng)歷了對問題進(jìn)行抽象-建立模型-驗證模型-應(yīng)用模型的全過程。

三、建模教學(xué)中的一些主要途徑

數(shù)學(xué)建模是一個長期的、不斷積累經(jīng)驗、不斷深化的過程，因此在教學(xué)中筆者總結(jié)了幾個行之有效的途徑。

1.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2.實施有效的問題解決策略，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路進(jìn)行探索、解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，滲透數(shù)學(xué)建模思想；

3.注重應(yīng)用題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行建模活動；

5.注重實驗教學(xué)，讓學(xué)生在動手操作的過程中建立數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)然，要使學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決問題，不可能通過一節(jié)課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達(dá)到我們預(yù)期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】在教學(xué)《銳角三角函數(shù)》的習(xí)題課時，教師通過對書本上一道實際問題的探究，抽象出數(shù)學(xué)模型，并和學(xué)生一起分析模型，應(yīng)用模型，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】探究 建模步驟 建模途徑

在教學(xué)蘇教版九年級下冊《銳角三角函數(shù)》這一單元時，教材中有很多測高、測距、航海、燕尾槽、攔水壩、人子架等生活中的實際問題，這些實際問題都可以抽象出三角模型，轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題。而在練習(xí)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就題論題，題目稍加變化，很多學(xué)生就束手無策。于是在這一章的復(fù)習(xí)課上，我嘗試著通過書上的一道實際問題進(jìn)行改編，然后與學(xué)生一起建立模型、分析模型、對模型進(jìn)行變式找出規(guī)律，再通過教材找出對應(yīng)的實際問題，最后讓學(xué)生根據(jù)這些模型自己編寫三道實際問題，通過這一系列的操作，幫助學(xué)生打開了思路，取得了不錯的效果。

【教學(xué)片斷】

例1：如圖，一座塔的高度DC=120m，甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側(cè)的點(diǎn)A、B處，測得塔頂?shù)难鼋欠謩e是30°、60°，求A、B兩點(diǎn)到塔底C的距離。

學(xué)生畫圖解答。

師：這道實際問題的模型是一個雙垂直三角形，你除了會求出AC和BC外，還會求那些邊和角？

生1：我還會求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

師：想一想！在雙垂直三角形中關(guān)于邊有AD、AC、AB、BC、BD、DC六個元素，關(guān)于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四個元素中，要知道幾個元素才能求出其它元素？

生2：我發(fā)現(xiàn)只要知道兩個就行了。

生3：不對，比如兩個角就不可以。

生4：我發(fā)現(xiàn)一邊一角，和兩邊才可以。

師：生4發(fā)現(xiàn)了一個重要規(guī)律，就是在雙垂直三角形中，已知兩個元素（至少一條邊）就可以求出其它八個元素。如果△ADB是普通三角形還會有這樣的結(jié)論嗎？（出示圖例2）

學(xué)生小組討論，教師參與到小組討論中。

生5：我覺得已知兩個元素不能求出其它條件，我們小組研究發(fā)現(xiàn)必須三個元素才行。

生6：我們小組覺得三個元素也不一定行，比如知道三個角就不行。

生7：三個條件中必須至少知道一條邊才行。

生8：不一定，我覺得兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素其中必須有一條邊才行。

師：生8回答的非常好，找到了解這個模型的關(guān)鍵所在。例2的兩個直角三角形在DC的異側(cè)，如果在同側(cè)會不會有這個規(guī)律呢？（出示圖例3）

生討論后，發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律仍成立。

學(xué)生們?yōu)樽约喊l(fā)現(xiàn)的結(jié)論興奮不已，大家沉浸在成功的喜悅之中，此時我感覺學(xué)生的探究熱情高漲，于是因勢利導(dǎo)，給出了下列兩個變式。

師：如果在直角梯形里又會怎么樣呢？（出示圖例4）

生9：我發(fā)現(xiàn)除DE、BC外，其它元素都和△ABD有關(guān)，因此只要知道三角形中的兩個元素（至少一條邊）其它元素都可以求了。

師；那么如果是一般梯形呢？（出示圖例5）

生10：我發(fā)現(xiàn)除了DC、EF外其它的跟例（2）是一樣的，兩個直角三角形中，一個三角形知道一個元素，另一個三角形知道兩個元素，其中必須有一條邊就行了。

師：生10說的非常好，其實這些模型的實際問題我們書上都有，你能不能從書P54～P63頁找出這些模型的實際問題，最好再找出我們沒有分析到的模型。

學(xué)生找到這些實際問題以后，教師和學(xué)生一起分析、解題并對新找到的模型進(jìn)行分析。

課后作業(yè)要求學(xué)生任選三個模型自己編寫三道實際問題并提供答案，然后讓同桌解答。

【教學(xué)反思】

這個探究過程是通過實際問題建立一個雙垂直三角形的模型，然后和學(xué)生一起分析模型找出解題的關(guān)鍵，再把雙垂直三角形變成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型進(jìn)行分析，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而這些模型分散在教材與學(xué)生平時練習(xí)中，教師將其集中在一起形成序列進(jìn)行教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生能夠運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想來解題，而不是盲目的就題論題，從而提高學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生不僅知道題目的解法，還能領(lǐng)悟和運(yùn)用解題時所反映和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的目的，而這整章的習(xí)題基本上是圍繞著這幾種模型而設(shè)計展開的。

一、教學(xué)中為什么要數(shù)學(xué)建模

目前的數(shù)學(xué)教育存在著重知識灌輸輕理解方法、重理論記憶輕實際應(yīng)用的問題，教師經(jīng)常對學(xué)生進(jìn)行大量機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，以期望達(dá)到“熟能生巧”的目的，而事實上學(xué)生的思維能力并沒有提高，其主要原因是訓(xùn)練中缺乏建模數(shù)學(xué)思想方法的滲透。研究表明，數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術(shù)”式的。它易操作、易復(fù)制，但功能性弱，應(yīng)用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層次比，程序性弱，不易復(fù)制，但功能性更強(qiáng)，應(yīng)用面寬。第三層是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”式的，它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強(qiáng)，它是對前面兩個層次的指導(dǎo)和引領(lǐng)。所以，在數(shù)學(xué)課中應(yīng)該科學(xué)地、有層次地設(shè)計練習(xí)，讓提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為課堂的常態(tài)。

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)

用數(shù)學(xué)模型解決問題，最關(guān)鍵的一步是找到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，分析模型。第一步，弄清實際問題：通過例1和學(xué)生建立了雙垂直三角形，學(xué)生求解發(fā)現(xiàn)十個元素中知道兩個元素（至少一邊）就能求出其它元素的方法模型，具有了知識遷移的基礎(chǔ)；第二步，通過變式建立模型：在和學(xué)生發(fā)現(xiàn)了雙垂直三角形的解題特點(diǎn)后，通過變式讓學(xué)生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特點(diǎn)，建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；第三步，在所建模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗證：教學(xué)中讓學(xué)生在書上找出這些模型的對應(yīng)習(xí)題，和學(xué)生們一起分析、解答，通過練習(xí)驗證了模型；第四步，應(yīng)用模型：通過解答書上的例題驗證了探索出的模型，課后讓學(xué)生自己編三道題目加深了對模型的理解，鞏固了所學(xué)知識。縱觀整個教學(xué)設(shè)計，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊，使學(xué)生經(jīng)歷了對問題進(jìn)行抽象-建立模型-驗證模型-應(yīng)用模型的全過程。

三、建模教學(xué)中的一些主要途徑

數(shù)學(xué)建模是一個長期的、不斷積累經(jīng)驗、不斷深化的過程，因此在教學(xué)中筆者總結(jié)了幾個行之有效的途徑。

1.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2.實施有效的問題解決策略，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路進(jìn)行探索、解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，滲透數(shù)學(xué)建模思想；

3.注重應(yīng)用題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生通過建立模型解決實際問題的能力；

4.課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行建模活動；

5.注重實驗教學(xué)，讓學(xué)生在動手操作的過程中建立數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)然，要使學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決問題，不可能通過一節(jié)課、一兩個例題就能完成的，需要我們有計劃有步驟的分步實施，這樣才能達(dá)到我們預(yù)期的效果。

（作者單位：江蘇省張家港市南豐中學(xué)）