淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

楊瑞晉

數(shù)學(xué)是集科學(xué)性、思想性、方法性和知識(shí)性于一體的一門基礎(chǔ)性學(xué)科，其思想方法蘊(yùn)藏著深刻的哲理內(nèi)涵，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是分析和解決問(wèn)題的理論基礎(chǔ)，也是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。下面就諸多數(shù)學(xué)思想方法中的幾種典型方法談?wù)勂湓诮忸}中的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體。通過(guò)“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問(wèn)題。關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：（1）要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；（2）恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；（3）正確確定參數(shù)的取值范圍。我們以函數(shù)與圖象解題為例：

注：利用函數(shù)圖象不僅可以直觀地討論函數(shù)的性質(zhì)，而且可以解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如，它在解不等式、方程中的應(yīng)用顯然體現(xiàn)的是一種創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)也體會(huì)到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)明性，這正如龐加萊所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過(guò)是問(wèn)題的解答適合我們的心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足感”。

例2.解不等式x2-x-6>0。

分析：求一元二次不等式的解集，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，確定拋物線的開(kāi)口方向和與x軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式的解集。我們可先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象（如右圖），從x2-x-6=0解得：x1=-2，x2=3，知該拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），當(dāng)x取交點(diǎn)兩側(cè)的值時(shí)，即x<-2或x>3時(shí)，y>0，即x2-x-6>0，故可得原不等式的解集為{x|x<-2或x>3} 。

注：以“形”代算，技巧性很強(qiáng)，通過(guò)圖形的直觀顯現(xiàn)，答案直接躍然紙上。

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種基本思維方法，要養(yǎng)成從數(shù)、形兩個(gè)方面去思考問(wèn)題的習(xí)慣，這對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為有益的。

二、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想就是利用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)，分析研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。若把表示函數(shù)關(guān)系的解析式看作方程，通過(guò)解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯浚箚?wèn)題得以解決，這便是方程思想。

在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。

三、分類討論思想

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的思想方法，同時(shí)也是一種重要的解題策略，就是當(dāng)問(wèn)題不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每種分類研究得出每一類的結(jié)論，進(jìn)而綜合各種結(jié)論得到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”，下面我們以解不等式為例：

例4.解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0。

分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a≠0；（2）a=0，對(duì)于（2）的不等式易解；對(duì)于（1）又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇到1與■誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因而又需作一次分類討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類。

有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在數(shù)學(xué)中占有重要的位置。

四、換元思想

換元法又稱變量替換法，即根據(jù)所要求解的式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來(lái)替代原來(lái)表達(dá)式中的某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知，使目標(biāo)更加具體明確，繼而解決問(wèn)題。

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將那些待解決或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸納為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終求得原問(wèn)題的解決。

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。數(shù)學(xué)中一切問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)，各種變換法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段，所以說(shuō)轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。

數(shù)學(xué)思想方法還有種種，但數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必由之路。然而，“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握、思想的形成才會(huì)使學(xué)生受益終身。

（作者單位 山西省孝義市職業(yè)教育中心）

編輯 韓 曉