巧用“數學思想方法”解決數學問題

陳深厚

“數學思想方法”是指從某些具體數學內容和對數學的認識過程中提煉、概括出來的對數學知識的本質認識，它提示了數學發展的普遍規律，對數學發展起著指引方向的重要作用。數學思想方法是數學的“靈魂”和“精髓”，在數學中居于核心地位，具有深遠的教育意義。因此，數學教學要深入到數學的“靈魂深處”，讓學生學好數學、用好數學，即學習數學不僅要學習數學知識內容，而且要學習數學的精神和思想方法。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》進一步要求，在小學數學教學中應結合教學相關內容，向學生滲透分類、轉化、數形結合、歸納、集合、方程等基本數學思想方法，促進學生對數學知識的理解和數學能力的發展，為今后進一步學習和工作打下良好的數學基礎。筆者結合自己在解決問題教學中的實踐與探索，對以下四種數學思想方法的運用進行簡要闡述。

一、巧用“反證法”，培養逆向思維

反證法是間接證明的一種基本方法。當需要證明一個判斷為假時，先假設這個判斷為真，經過正確的推理，最后得出矛盾，說明假設錯誤，從而證明原判斷應為假，這樣的證明方法叫做反證法。反證法是演繹推理的一種，依據的是排中律，是指兩個互相矛盾的判斷不可能同真，其中必有一假。

如，一個三位數減去一個兩位數，差一定是兩位數（見人教版小學數學三年級指導叢書上冊第63頁）。剛從二年級升入三年級的學生缺乏理性認識，邏輯思維與逆向思維存在一定的局限性，所以往往誤以為這一數學命題言之有理。學生對這一命題判斷得真與假，關鍵在于對“一定”含義的理解。一個三位數減去一個兩位數，差可以是兩位數，但“一定”就肯定了差是兩位數的結論是唯一的。課堂上可以巧用“反證法”來解決問題。

師：差可以是一位數或是三位數嗎？請同學們舉例驗證、交流。

生1：差可以是一位數，如：100-99=1。

生2：還可以是三位數，如：999-99=900。

眾所皆知，否定一個猜想往往比肯定一個猜想簡單。學生經歷逆向思辨，能舉出一個否定命題結論的例證就能判斷命題為假。不但理清了學生解決問題的邏輯，而且培養了學生的逆向思維能力。

二、巧用“變與不變思想方法”，發展多向思維

抓住“不變的量”，是解決問題的一種有效方法，也是一種數學思想。教師應以教材為本，認真研究，一邊抓“不變”現象中“變”的規律，另一邊抓“變”現象中“不變”的本質，讓學生更好地學習數學，掌握數學本領，提高解決數學問題的能力。

如，小馬虎在計算一道加法題時，把十位上的“5”看成“3”，把個位上的“6”看成“9”，結果是784。正確答案應該是多少。（見人教版小學數學三年級指導叢書上冊第66頁）。

小學生憑借已有的知識經驗形成直觀的解題思維是：已知一個加數和另一個加數，求和是多少用加法。題目中在沒有直接給出一個因數和另一個因數的情況下，為學生設置了“把十位上的5看成3，把個位上的6看成9，和是784”這樣一個思維的“攔路虎”。如何求出一個加數和另一個加數是解決問題的關鍵。巧用“變與不變”的思想方法，對發展學生多向思維，有效解決問題能起到意想不到的成效。

師：小馬虎把十位上的“5”看成“3”，把個位上的“6”看成“9”，他看成的這個數是多少？

生1：39。

師：39和另一個因數相加的結果是784，同學們能得出另一個 因數嗎？算一算。

生2：另一個因數是784-39=745。

師：根據題意可以得出一個加法算式：39+745=784。

請仔細思考：在這個算式中，一個因數、另一個因數、和，這三個數誰在變，誰不變。

生3：39在變，745不變。

生4：39在變，和也在變。

師：如果小馬虎不馬虎的話，一個因數39原來是多少？

生：56。

師：那么另一個因數745不變，可以得出和的正確結果嗎？請列式并計算出結果。

生5：56+745=801。

在解決問題中引導學生巧用“變與不變”的思想方法，訓練學生多向、多邊思維，甚至是全方位思維，使數學問題解決水到渠成。

三、巧用“數形結合思想方法”，促進形象思維

數形結合思想可以使抽象的數學問題直觀化，使繁難的數學問題簡捷化，使原本需要通過抽象思維解決的問題，借助形象思維就能夠解決，有利于促進學生抽象思維和形象思維的協調發展和優化解決問題方案。

如，教學分數乘以分數。以■×■為例，可以做如下教學設計。

師：■表示什么？請同學們到黑板上以長方形為實物標畫出■。

生1：（上臺板演圖示）■表示把長方形平均分成5份，其中的1等份表示■。

師：■的■在圖上怎么表示，在紙上畫一畫，說一說■×■的含義。

生2：把長方形的■平均分成2等份，其中1等份就是■的■，用乘法算式表示：■×■。

生3：把長方形看作單位“1”，■×■還可以表示把它平均分成10等份，其中的1份就是■。

師：■×■就等于■，是根據怎樣的算理來計算的呢？

生：■×■分母相乘作分母，分子相乘作分子，即■=■。

通過畫出長方形實物的■的■是怎么表示的，讓學生進一步深入感知■與■相乘是分母相乘作分母，分子相乘作分子的算

理。學生也就在數形結合中直觀、深刻地明白了■×■所表示的意義是自己身邊一種看得見、摸得著、感受得到的實物，既培養了學生的數感，又促進了學生形象化思維的發展。

四、巧用“分類思想方法”，提高分析思辨能力

人們面對比較復雜的問題，在無法通過統一研究或者整體研究解決時，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質是把問題“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。

小學四年級學生空間想象能力正處于發展階段，對“同一平面”空間觀念的理解還處于似懂非懂、模棱兩可的狀態。如，教學“在同一平面內兩條不相交的直線相互平行”（見人教版小學數學四年級教材《垂直與平行》），可以為學生創設情景，巧用分類思想方法進一步增強學生對“同一平面”這一空間觀念的理解。

師：一張桌子上方有兩根小棒同時落下，可能發生幾種情況（如下圖）。

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生1：兩根小棒都落在桌子上面。

生2：一根落在桌子上面，一根落在地上。

生3：兩根都掉在地上。

如下示意圖：

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師：請同學們對上述三種情況進行分類，說說分類的標準。

生4：可分兩類：把圖（1）、圖（3）兩種情況歸為第一類，因為兩根小棒都掉在桌面、地面上。圖（2）歸為第二類，因為小棒一根掉在桌面上，一根掉在地面上。

師：這兩類，小棒落下后在位置上有什么區別？

生5：圖（1）、圖（3）掉下的兩根小棒同在桌面或同在地面上，而第二類的兩根小棒一根在桌面上，另一根在地面上。

師，正確定義“同一平面”：像圖（1）、圖（3）掉下的兩根小棒同在桌面或地面上，就叫兩根小棒在落在同一平面內。像圖（2），小棒一根掉在桌面上，一根掉在地面上，叫做兩根小棒落在不同的平面內。

師拓展提升，舉一舉生活中“在同一平面內”和“不同平面內”的事物。

學生相互討論，師生交流。

通過創設情景，對在“同一平面”和“不在同一平面”的空間位置關系逐一分類討論，深入淺出地解決了學生對“在同一平面內”空間觀念的理解。掌握分類的思想方法，可以將復雜的問題簡單化、清晰化，培養學生有條理地思考，提高學生分析思辨的思維能力。

總之，在小學階段有意識地向學生滲透基本的數學思想方法可以加深學生對數學知識的理解，提升學生的數學素養，進一步提高數學解決問題的能力，為學生今后的數學學習積攢強大的后勁。然而，數學思想方法不同于一般知識技能，無法通過短期的訓練便能掌握，數學思想方法的教學是一個經過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。

（作者單位 福建省廈門市翔安區馬巷中心小學）