幾種常用似大地水準面插值方法精度分析

徐 平 ,杜向鋒

(1．廣東省核工業地質局測繪院，廣東 廣州 510800;2.廣東工貿職業技術學院,廣東 廣州 510510)

0 引 言

GPS定位具有：測量精度高，測站間無需通視，觀測時間短，儀器操作簡便，全天候作業等特點，它能夠提供從毫米級到幾十米量級的定位精度，能夠滿足不同用戶對定位精度的要求，GPS測量獲得的高精度的三維坐標(B大地維度、L大地精度和H大地高)屬于WGS84坐標系，其坐標可以通過坐標轉換或平差的方法得出其1980年西安坐標系或地方坐標系平面坐標，精度可達到10-6～10-9量級[1]，可直接應用于各類工程建設，高程方面我國采用的是正常高系統，故GPS測量獲得大地高需要轉換成正常高才能應用于生產實踐。一般說來GPS高程轉換的方法有以下四類：模型擬合法、坐標轉換法、神經網絡法和借助區域似大地水準面模型法[2]。

目前國內多個城市、省域以及地區都已經建立或者正在建立本區域的高精度的似大地水準面模型[3-6]，與此同時高精度、高分辨率、完全覆蓋我國國土的新一代中國似大地水準面CQG2000已經建設完成[7]，利用高精度的似大地水準面模型通過內插算法即可以快速的獲得待定點的正常高，以此可以替代效率低下的水準測量，大大提高生產效率，降低企業生產成本，要利用GPS技術及似大地水準面模型快速的獲得高精度的正常高主要取決于以下三個方面：1)待轉換點WGS-84坐標的精度，特別是大地高的精度;2)似大地水準面模型本身的精度;3)內插方法的優劣。第一個方面可以根據需要采用高精度GPS測量設備、在有利的觀測條件下對待轉換點進行長時間多測回的觀測以保證獲得的待定點高精度的點位坐標，第二點取決于采用高程異常內插模型即似大地水準面模型的精度，關于如何獲得高精度的似大地水準面模型本文將不再介紹了，在待定點坐標以及區域似大地水準面確定的情況下，選擇一種合適的內插算法將有利于用戶獲得高精度的正常高結果，因此本文將著重探討各種常見似大地水準面模型的內插方法及其精度。

1 常用插值方法的數學模型

目前用于似大地水準面內插高程異常的算法很多，主要包括：反距離加權插值、謝別德插值、線性多項式插值、三角函數插值、切比雪夫插值以及樣條曲面插值等[8]。對幾種常見內插方法的數學模型進行介紹

1.1 反距離加權插值

距離反比插值法是利用插值點與似大地水準面格網點之間的距離為權重進行加權計算的插值方法,離插值點越近的格網點賦予的權重越大,其權重貢獻與距離成反比.可表示為

(1)

1.2 謝別德插值

與反距離加權插值類似,謝別德插值也是一種加權計算法,其權函數P(ri)定義為

(2)

式中:ri為插值點與格網點之間的距離;R為選取的內插半徑。其對應的高程異常插值函數為

(3)

1.3 線性多項式插值

線性多項式內插的基本思想是假設任意點的高程異常與其位置是成線性關系的。

高程異常的表達式可表示為

ζ=a0+a1B+a2L+a3BL,

(4)

式中:ζ為任意點高程異常值;B和L為該點經緯度,亦可用X和Y代替；a0、a1、a2和a3為多項式系數,若a3=0則稱為線性內插,a3≠0時為雙線性內插,雙線性內插方法的優點是數據重采樣后的結果較為平滑,沒有階躍效應,同時具有較高的精度.缺點是網格被平均化,具有低頻濾波的效果; 邊緣被平滑,有些極值丟失了[10].

1.4 切比雪夫插值

二維切比雪夫多項式形式為[11]

(5)

式中:n,m為截止階數,Ui(τi)和Uj(τj)為第二類切比雪夫多項式,形式為

(6)

式中,對于|τ|≤1,U0(τ)=1.0,U1(τ)=2.0τ,Un(τ)=2.0τUn-1(τ)-Un-2(τ),內插區間為[t1,t2]時需先將其轉換到[-1,1]再進行內插計算。

此外常見的內插方法還包括三角函數法、樣條曲面法、克里金法和徑向函數法等，詳見相關文獻。

2 精度分析

某似大地水準面模型由地面重力數據、SRTM數字地面模型、EGM2008全球重力場模型及GPS/水準數據聯合確定，其中水準測量按照國家三等水準測量精度測定，GPS網按照國家D級精度進行施測，最終獲得了30″×30″(約相當于1 km×1 km)分辨率的似大地水準面模型，通過內符合精度檢驗和外符合精度檢驗的結果，該似大地水準面模型的精度優于1 cm精度水平，似大地水準面模型如圖1所示，根據應用需要及相關內插方法的數學模型編制了相應的內插軟件QGEOID供用戶使用，軟件如圖2所示。

圖1 某似大地水準面模型

圖2 QGEOID用戶界面

為了驗證各種內插方法精度，探求哪種內插方法更適用于似大地水準面模型內插，采用5個GPS/水準數據利用QGEOID軟件及該似大地水準面模型行了插值計算，將不同內插算法計算的結果與水準結果進行了對比，計算結果如表1所示。

表1 不同內插方法計算結果對比(單位mm)

從計算的結果來看，J2點的轉換精度無論采用哪種方法都較差，這主要是因待轉換點的精度不高造成的，在待轉換點坐標和似大地水準面模型確定的情況下，同一點不同方法轉換出來的精度差異也較為明顯，這就是內插方法不同造成的，通過對計算結果的分析，可以看出，切比雪夫內插的精度最高為12.5 mm，列別德法內插的精度次之13.2 mm，三角函數插值的精度的精度最弱達18.5 mm，距離反比插值次之為16.8 mm，此外距離反比插值和距離平方反比插值結果相比，可以看出距離平方反比插值的方法精度精度得到大幅度提升，這與文獻[7]的研究成果是吻合的。

3 結束語

通過對以上數據的分析計算，可以得到如下幾點結論：1)要獲得比較好的轉換結果，首先應保證外業測量的精度，其次才是選擇內插方法。2)利用常見的幾種不同內插方法的獲得的計算結果差異還是比較明顯，因此在作業時需要選擇適當的內插方法及計算參數進行內插計算。3)切比雪夫插值和列別德插值兩種內插方法在一般的似大地水準面內插計算中精度是比較高的，在水準面模型的邊沿慎用距離反比插值。4)建議在確定似大地水準面模型進行外符合精度檢驗時利用檢驗數據對似大地水準面模型進行大量多模型的分析計算，尋找最適合特定模型的內插方法和計算參數作為內插該模型的推薦方法，以提高內插該模型時獲得的正常高精度。

[1]鄂棟臣，詹必偉，姜衛平，等．應用GAMIT/GLOBK軟件進行高精度的GPS數據處理[J]．極地研究，2005，17(3)：173-182．

[2]張興福，于紅波.模型擬合法進行GPS高程轉換的研究及軟件開發[J].廣東工業大學學報，2008，25(3)：61-65.

[3]楊 光,林 鴻,歐海平,等.廣州市亞厘米級高精度似大地水準面的確定[J].測繪通報，2007，01：24-25，32.

[4]宋玉兵,朱風云.江蘇省域似大地水準面成果的應用分析[J].測繪通報,2003,12:6-8.

[5]寧津生,羅志才,楊沾吉,等.深圳市1 km高分辨率厘米級高精度大地水準面的確定[J].測繪學報，2003(2):102-107.

[6]陳俊勇,李建成,寧津生,等.全國及部分省市地區高精度高分辨率似大地水準面的研究和實施[J].測繪通報,2005(5):1-5.

[7]李建成,陳俊勇,寧津生，等.地球重力場逼近理論與中國2000似大地水準面的確定[M].武漢大學出版社,2003：6-9.

[8]朱會義,劉述林,賈紹鳳.自然地理要素空間插值的幾個問題[J].地理研究,2004,23(4)：425-432.

[9]HUSAR R B,FALKE S R,Uncertainty in the spatial interpolation of PM10 monitoring data in Southern California[EB/OL].[2007-09-27].http://capita.wustl.edu/capita/capitareports/cainterp/cainterp.html.

[10]李 新,程國棟,盧 玲.空間內插方法比較[J].地球科學進展,2000,15(3):260-265.

[11]張興福,魏德宏.基于似大地水準面格網的插值方法及精度分析[J].大地測量與地球動力學,2011,31(1):113-116，122.