基于小波變換的信號奇異性檢測研究

王豐+詹丹鳳+孫雷+占永寧

【摘 要】信號的突變性或奇異性經(jīng)常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應(yīng)用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數(shù)的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現(xiàn)， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數(shù)的要求及小波尺度的選取對檢測結(jié)果的影響，為非平穩(wěn)信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關(guān)鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數(shù)；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導(dǎo)電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應(yīng)用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式。可以用于探測水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發(fā)射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關(guān)閉了發(fā)動機的隱蔽的潛艇。近期發(fā)生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經(jīng)，對聲波信號分析處理的研究起到了至關(guān)重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優(yōu)越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續(xù)的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數(shù)的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區(qū)間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數(shù)將其展開，會發(fā)現(xiàn)形式非常簡單：只有一個級數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級數(shù)系數(shù)都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數(shù)都為非0了。因為傅立葉級數(shù)必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數(shù)也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現(xiàn)象也依然存在。當(dāng)變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統(tǒng)計， 不能標定發(fā)生變化的時間位置和發(fā)生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩(wěn)信號和實時信號。

小波函數(shù)提供了一種靈活的窗函數(shù)， 可實現(xiàn)時頻窗寬隨信號自適應(yīng)變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數(shù)及其1階和2階導(dǎo)數(shù)做為基函數(shù)

3 小波尺度a的選擇

當(dāng)a小于2的時候，小波變換的結(jié)果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果會有比較明顯的振蕩正弦波，當(dāng)a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當(dāng)小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結(jié)果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發(fā)生的時刻，所以小波尺度a的取值應(yīng)該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數(shù)的小波變換結(jié)果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導(dǎo)數(shù)的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結(jié)果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結(jié)果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數(shù)的1階和2階導(dǎo)數(shù)為基函數(shù)的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數(shù)的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數(shù)，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數(shù)和尺度函數(shù)具有以下特點：

（1）小波函數(shù)Ψ（t）可以由尺度函數(shù)？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內(nèi)。

（2）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數(shù)與小波函數(shù)的正則性都增強。

當(dāng)N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續(xù)且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預(yù)知的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經(jīng)是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數(shù)對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應(yīng)幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應(yīng)地被檢測出。（下轉(zhuǎn)第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應(yīng)用及軟件實現(xiàn)[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發(fā)，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯：劉帥]

【摘 要】信號的突變性或奇異性經(jīng)常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應(yīng)用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數(shù)的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現(xiàn)， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數(shù)的要求及小波尺度的選取對檢測結(jié)果的影響，為非平穩(wěn)信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關(guān)鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數(shù)；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導(dǎo)電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應(yīng)用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式?？梢杂糜谔綔y水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發(fā)射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關(guān)閉了發(fā)動機的隱蔽的潛艇。近期發(fā)生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經(jīng)，對聲波信號分析處理的研究起到了至關(guān)重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優(yōu)越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續(xù)的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數(shù)的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區(qū)間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數(shù)將其展開，會發(fā)現(xiàn)形式非常簡單：只有一個級數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級數(shù)系數(shù)都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數(shù)都為非0了。因為傅立葉級數(shù)必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數(shù)也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現(xiàn)象也依然存在。當(dāng)變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統(tǒng)計， 不能標定發(fā)生變化的時間位置和發(fā)生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩(wěn)信號和實時信號。

小波函數(shù)提供了一種靈活的窗函數(shù)， 可實現(xiàn)時頻窗寬隨信號自適應(yīng)變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數(shù)及其1階和2階導(dǎo)數(shù)做為基函數(shù)

3 小波尺度a的選擇

當(dāng)a小于2的時候，小波變換的結(jié)果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果會有比較明顯的振蕩正弦波，當(dāng)a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當(dāng)小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結(jié)果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發(fā)生的時刻，所以小波尺度a的取值應(yīng)該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數(shù)的小波變換結(jié)果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導(dǎo)數(shù)的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結(jié)果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結(jié)果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數(shù)的1階和2階導(dǎo)數(shù)為基函數(shù)的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數(shù)的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數(shù)，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數(shù)和尺度函數(shù)具有以下特點：

（1）小波函數(shù)Ψ（t）可以由尺度函數(shù)？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內(nèi)。

（2）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數(shù)與小波函數(shù)的正則性都增強。

當(dāng)N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續(xù)且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預(yù)知的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經(jīng)是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數(shù)對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應(yīng)幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應(yīng)地被檢測出。（下轉(zhuǎn)第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應(yīng)用及軟件實現(xiàn)[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發(fā)，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯：劉帥]

【摘 要】信號的突變性或奇異性經(jīng)常攜帶有比較重要的信息， 它是信號重要的特征之一。本文介紹了小波變換的基本概念， 討論了小波變換的奇異性檢測方法，可以應(yīng)用于海洋聲波信號的奇異性檢測。闡述了高斯和Daubechies小波函數(shù)的信號奇異性檢測原理及其MATLAB仿真實現(xiàn)， 分析了信號奇異點的定位方法和小波檢測效果， 并指出了利用此方法時對所用小波函數(shù)的要求及小波尺度的選取對檢測結(jié)果的影響，為非平穩(wěn)信號的奇異性檢測的研究提供了一種行之有效的方法。

【關(guān)鍵詞】小波變換；奇異性檢測；高斯函數(shù)；Daubechies小波

0 引言

由于海水的導(dǎo)電性良好，電磁波和光波在海水中有著強烈的吸收衰減，所以很難廣泛地應(yīng)用于海洋勘探。

迄今為止，聲波是唯一能夠在海洋中進行遠距離傳輸信息的能量形式?？梢杂糜谔綔y水中物體，如探測魚群、潛艇等，也可用來測量海深。

利用聲波雷達——聲吶，可以探測出水下目標的方位和距離等信息。

主動聲吶由簡單的回聲探測儀器演變而來，它主動地發(fā)射超聲波，然后接收回波進行計算，適用于探測冰山、暗礁、沉船、海深、魚群、水雷和關(guān)閉了發(fā)動機的隱蔽的潛艇。近期發(fā)生的馬航MH370航班的搜尋工作牽動著全世界的神經(jīng)，對聲波信號分析處理的研究起到了至關(guān)重要的作用。

1 小波變換檢測信號奇異性的優(yōu)越性

傅立葉變換是用一系列三角波來表示信號方程的展開，這個信號可以是連續(xù)的，可以是離散的。傅立葉變換所用的基是專門挑選的，是正交的，也是利于計算系數(shù)的。

傅立葉所用的波是正弦波，有著無窮的能量，以同樣的幅度在整個無窮大區(qū)間里面振蕩。而小波是一種能量在時域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一點附近。它對于分析瞬時時變信號非常有用。它有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題。

對于一個直流信號用傅立葉級數(shù)將其展開，會發(fā)現(xiàn)形式非常簡單：只有一個級數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級數(shù)系數(shù)都是0。但是在這個直流信號上，增加一個突變，也就是中間有一個階躍，如果再次讓其傅立葉展開，所有的傅立葉級數(shù)都為非0了。因為傅立葉級數(shù)必須用三角波來展開信號，對于這種變化突然而劇烈的信號來講，即使只有一小段變化，傅立葉級數(shù)也不得不用大量的三角波去擬合。

這種Gibbs現(xiàn)象是由于展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無窮大時，這一現(xiàn)象也依然存在。當(dāng)變化太劇烈的時候，就需要大量的三角波來擬合。

傅立葉分析是對信號的總體統(tǒng)計， 不能標定發(fā)生變化的時間位置和發(fā)生變化的劇烈程度， 也就是說， 它對信號的局部畸變沒有標定能力和度量能力，無法分析處理非平穩(wěn)信號和實時信號。

小波函數(shù)提供了一種靈活的窗函數(shù)， 可實現(xiàn)時頻窗寬隨信號自適應(yīng)變化， 最終滿足時頻分析的需要， 在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力， 是一種窗口面積固定不變但其形狀可改變， 時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率， 在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率， 所以被譽為分析信號的顯微鏡。從而避免了傅立葉變換、Gabor分析和短時傅立葉變換等在信號處理中的缺陷。

2 高斯函數(shù)及其1階和2階導(dǎo)數(shù)做為基函數(shù)

3 小波尺度a的選擇

當(dāng)a小于2的時候，小波變換的結(jié)果雖然在信號突變時刻有波動可以檢測到突變信息，但是在回波信號的只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果會有比較明顯的振蕩正弦波，當(dāng)a從2遞減的時候，這種振蕩正弦波更加明顯，a越小則檢測效果越差。

當(dāng)小波尺度a大于或者等于6時，小波變換的結(jié)果只在信號突變時刻有波動，而在信號只包含正弦波的時間段內(nèi)這三個小波變換結(jié)果幾乎接近水平直線，這樣可以檢測出突變信息發(fā)生的時刻，所以小波尺度a的取值應(yīng)該大于6。 但是在有其他頻率正弦波引入的時刻卻不能明顯檢測出來。實驗表明：選取合適的小波尺度影響是明顯的。

因為沖激函數(shù)的小波變換結(jié)果就是所選用小波的伸縮系，對比小波變換波形和圖1（a）的1階導(dǎo)數(shù)的形狀，就可以知道這兩個頻道上的變換結(jié)果反映了信號的突變信息，沖激的位置主要由小波變換結(jié)果中的零交叉點（Zero-Crossings）決定。由圖可見，以高斯函數(shù)的1階和2階導(dǎo)數(shù)為基函數(shù)的小波變換都成功地分離出了突變信息，但是在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號沒有被檢測出來。進一步可以使用Daubechies小波分 解進行檢測。

4 Daubechies小波函數(shù)的檢測效果比較

Daubechies系列小波簡寫為dbN，N表示階數(shù)，db系列小波的支集長度和濾波器長度都為2N左右，消失矩為N。db小波函數(shù)和尺度函數(shù)具有以下特點：

（1）小波函數(shù)Ψ（t）可以由尺度函數(shù)？準（t）求出來，？準（t）的長度有限，支撐域在t=0～（2N-1）范圍內(nèi)。

（2）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足二尺度方程。

（3）尺度函數(shù)？準（t）和小波函數(shù)Ψ（t）滿足歸一化條件。

（4）隨著N的增大，尺度函數(shù)與小波函數(shù)的正則性都增強。

當(dāng)N=1時，db小波就變成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波

都沒有明確的表達式，并且均為連續(xù)且是緊支撐的小波。

隨著N的增大，db系列小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的光滑性越好，在信號處理中，光滑性越好，其處理的效果一般也越好，而且它們可以有預(yù)知的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可以更好的滿足信號處理的要求。從db4小波開始，db系列小波已經(jīng)是完全光滑的了。

此處選用db6小波函數(shù)對信號進行2層分解，信號s=a2+d2+d1，其中高頻分量d1在t=100、200、400時刻檢測到有相應(yīng)幅度的突變信息，而且在t=300時刻增加的一個六倍頻率的正弦信號也相應(yīng)地被檢測出。（下轉(zhuǎn)第9頁）

【參考文獻】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析與信號處理：理論、應(yīng)用及軟件實現(xiàn)[M].重慶出版社，1996，6-15.

[4]徐長發(fā)，李國寬.實用小波方法[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯：劉帥]