錐 b-度量空間中廣義擬壓縮映射的不動點定理

石 露，韓 艷

(1.湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002; 2.昭通學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昭通 657000)

錐 b-度量空間中廣義擬壓縮映射的不動點定理

石 露1，韓 艷2

(1.湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002; 2.昭通學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昭通 657000)

錐b-度量空間；廣義擬壓縮映射；有界集；不動點

1 預備知識

設E是實Banach 空間,θ是E中零元,P是E的子集, 稱P是E中的錐, 若滿足

i)P是非空閉凸集;

ii)x∈P且λ≥0 則λx∈P;

iii)x∈P且-x∈P, 則x=θ.

設P是E中的錐,≤是在P中定義的半序, 即?x,y∈E, 若x≤y, 則y-x∈P. 若x?y(?x,y∈E) , 則y-x∈intP. 錐P稱為正規(guī)錐的充要條件為存在最小的常數(shù)K>0, 使得θ≤x≤y(?x,y∈E) 蘊含‖x‖≤K‖y‖ , 其中K為正規(guī)常數(shù).

定義1[8]設X是一個非空集合. 若映射d:X×X→E滿足

i)θ≤d(x,y)?x,y∈X,d(x,y)=θ當且僅當x=y;

ii)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

iii)d(x,y)≤sd(x,z)+sd(z,y),?x,y,z∈X.

則稱d是X的一個錐b-度量.(X,d) 稱為錐b-度量空間及常數(shù)s≥1 . 顯然,錐b-度量空間是錐度量空間和度量空間的拓廣和延伸。

定義2[8]設 (X,d)為錐b-度量空間及常數(shù)s≥1,x∈X且{xn}n≥1是X中的一個序列, 則

i) 若對任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N使得對所有的n,m>N,d(xn,xm)?c, 則稱{xn}n≥1為Cauchy列.

ii)若對任意的c∈intP, 存在正整數(shù)N使得對所有的n>N,d(xn,x)?c, 則稱{xn}n≥1為收斂列.

iii)若X中的每個Cauchy列都收斂, 則稱 (X,d)為完備的錐b-度量空間.

引理 1[8]設 (X,d)為錐b-度量空間及常數(shù)s≥1. 下面性質(zhì)用于處理非正規(guī)錐條件下錐b-度量空間中的不動點問題.

1) 若對任意c∈intP,θ≤u?c，則u=θ；

2) 若對任意c∈intP,a≤b+c，則a≤b；

3) 若θ≤d(xn,x)≤bn且bn→θ，則xn→x；

4) 若a≤λa，其中a∈P且0<λ< 1, 則a=θ；

5) 若對任意c∈intP,an→θ, 則存在n0∈+使得對所有n>n0,an?c.

引理2[8]錐b-度量空間中收斂序列的極限是唯一的.

設E是實線性空間并定義半序“ ?”,x∈E,A?E, 且λ是非負實數(shù).x?A和x?λA分別表示存在s∈A使得x?λs.且存在s∈A使得x?λs. 而且coA表示A的凸包 (見文[4]). 映射f:X→X在x∈X的軌道如下

O(x,n)={x,fx,f2x,f3x,…,fnx}且O(x,∞)={x,fx,f2x,f3x,…,fnx,…}.

引理3[4]1) 設E是實線性空間并定義半序“? ”,x,x1,x2,…,xn∈E且0≤λ≤μ≤1. 若x?λco{0,x1,x2,…,xn} , 則x?μco{0,x1,x2,…，xn} ;

2) 設E是實線性空間并定義半序“? ”,x,x1,x2,…,xn∈E且0≤λ≤1. 若x?λco{0,x,x1,x2,…,xn} , 則x?λco{0,x1,x2,…,xn} ;

3) 設E是實線性空間并定義半序“ ?”,x,x1,x2,…,xn,y,y1,y2…,ym∈E且0≤λ,μ≤1,若x?λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},y?λco{0,x,y1,y2,…,ym}且 ,則x?λco{0,x,x2,…,xn,y1,y2,…,ym} ;

4) 設E是實線性空間并定義半序“? ”，x,x1,x2,…,xn,y,y1,y2…,ym∈E且0≤λ,μ≤1, 若x?λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},y?λco{0,x,y1,y2,…,ym}則x?λco{0,x,x2,…,xn,y1,y2,…,ym} ;

5) 設E是實線性空間并定義半序“? ”，x,x1,x2，…,xn,xi,yi1,yi2…,yimi∈E且0≤λ,μ≤1 若x?λco{0,x,y,x1,x2,…,xn},xi?λco{0,yi1,yi2,…,yimi}(i=1,2,3,…,n)且x?λμco{0,x1,x2,…，xn,yi1,yi2,…,yimi}(i=1,2,3,…，n).

2 主要結(jié)果

d(fx,fy)≤λco{θ,d(fx,fy),d(x,y),d(x,fx),d(y,fy) ，d(x,fy),d(y,fx)}

(1)

則稱映射f為錐b-度量空間以及常數(shù)s≥1 中的廣義擬壓縮映射.

注：定義3 將度量空間中著名的Banach 壓縮映射以及錐度量空間中的廣義擬壓縮映射推廣到錐b -度量空間中的廣義擬壓縮映射.

定義4 設(X,d) 是錐b-度量空間以及常數(shù)s≥1. 若存在K∈P/{θ}?E使得對所有x,y∈A,d(x,y)?K，則集合A?X按半序“ ≤”有上界.

注: 如果錐是正規(guī)的并且集合按序有界，則該集合按范數(shù)有界(見文[6]).

證明 設點x∈X使得f有按半序“? ”有上界的軌道, 即存在K∈P/{θ}?E使得對所有n∈, 有

d(fix,fjx)?K(0≤i

因此, 對所有n∈,y∈co{θ,d(fix,fjx);0≤i

(2)

對任意 0

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fm-1x,fn-1x),d(fm-1x,fmx)

d(fn-1x,fnx),d(fm-1x,fnx),d(fn-1x,fmx)}

(3)

由(3)式, 我們證明

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fix,fjx):m-1≤i

(4)

為方便起見,我們只證m:=m,:=m+3 的情況. 由(1)式,我們有

d(fmx,fm+3x)≤λco{θ,d(fmx,fm+3x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm-1x,fmx)

d(fm+2x,fm+3x),d(fm-1x,fm+3x),d(fm+2x,fmx)}

d(fm+2x,fm+3x)≤λco{θ,d(fm+2x,fm+3x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm+1x,fm+2x)

d(fm+2x,fm+3x),d(fm+1x,fm+3x),d(fm+2x,fm+2x)} ，

d(fmx,fm+2x)≤λco{θ,d(fmx,fm+2x),d(fmx,fm+1x),d(fm-1x,fmx)

d(fm+1x,fm+2x),d(fm-1x,fm+2x),d(fm+1x,fmx)} .

依據(jù)上面的不等式以及引理3, 我們得到

d(fmx,fnx)≤λco{θ,d(fix,fjx):m-1≤i

同樣的, 反復利用(1)式及引理3, 我們可以得到(4)式.

由(4)式易得

d(fnx,fn+1x)≤λco{θ,d(fix,fjx):n-1≤i

再由(4)及引理3, 我們有

d(fnx,fn+1x)≤λnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

同樣的, 反復利用(4)式及引理3, 我們可以得到

d(fnx,fn+1x)≤λnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

(5)

設Hn+r=co{θ,d(fix,fjx):0≤i

d(fnx,fn+px)≤sλnHn+1+s2λn+1Hn+2+…+spλn+p-1Hn+p≤sλnHn+1+s2λn+1Hn+2+…+spλn+p-1Hn+p=sλnco{θ,d(fix,fjx):0≤i

繼而得到

現(xiàn)在證明fq=q. 由(1)式及引理3得對任意n∈+,

d(fnx,fq)≤λco{θ,d(fn-1x,q),d(fn-1x,fnx),d(q,fq),d(fn-1x,fq),d(q,fnx)}

d(fnx,fq)≤λ(sand(fn-1x,fnx)+sand(fnx,q)+bnd(fn-1x,fnx)+scnd(fnx,fq) +scnd(q,fnx)+send(fn-1x,fnx)+send(fnx,fq)+fnd(q,fnx))=λs(cn+en)d(fq,fnx)+λ(san+scn+fn)d(q,fnx)+λ(san+bn+sen)d(fn-1x,fnx)=λsd(fq,fnx)+λ(s+1)d(q,fnx)+λ(s+1)d(fn-1x,fnx)

因此有

因為fnx→q(n→∞) 且{fnx} 是X中的柯西列, 故對任意c∈intP, 存在n1∈使得對任意n≥n1, 有d(fn-1x,fnx)?且d(fnx,q)?. 再由引理1得d(fq,q)=θ，即fq=q. 故q是映射f的不動點.

假設w是映射f的另一不動點,w=fw. 那么由(1)式有

d(q,w)=d(fq,fw)≤λco{θ,d(q,w),d(q,fq),d(w,fw),d(q,fw),d(w,fq)}

因此,d(q,w)≤λd(q,w) . 由引理1得q=w, 即映射f在X中有唯一不動點.

證明 文 [3]中定理3的證明說明了擬壓縮映射在X上每一點都有按半序“ ≤”有上界的軌道, 由定理1可知推論1的結(jié)論成立.

注：推論1推廣了文[2] 的定理2.1和文 [3] 的定理3, 并且定理2推廣了文[4] 的定理3，因為錐b-度量空間是錐度量空間的推廣. 更重要的是定理1采用不一樣的證明方法, 在非正規(guī)條件下解決了廣義擬壓縮映射的不動點的存在性以及唯一性問題, 此結(jié)果改進了文 [4] 的定理3.

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Fixedpointtheoremsforgeneralizedquasi-contractivemappingsinconeb-metricspaces

SHI Lu1， HAN Yan2

(1.College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China;2.College of Mathematics and Statistics,Zhaotong 657000,China)

In coneb-metric spaces that the constant satisfies , by removing the normality and using the bounded set with respect to a partial ordering, we obtain the existence and uniqueness of fixed point for generalized quasi-contractive mappings with the constant . Our main results generalize and improve some related important fixed point results.

coneb-metric space; generalized quasi-contraction; bounded set; fixed point

2013—12—28

湖北省教育廳重點科研項目(D20102502)

石露(1987— )，女，湖北黃石人，碩士研究生，主要從事非線性泛函分析的研究.

O177.97

A

1009-2714(2014)02- 0065- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.015