橢球膨脹法在高原長距離工程中的應用

張 辛，姜本海，李志鵬，羅洪波

(長江勘測規劃設計研究院，湖北 武漢 430010)

橢球膨脹法在高原長距離工程中的應用

張 辛，姜本海，李志鵬，羅洪波

(長江勘測規劃設計研究院，湖北 武漢 430010)

對5種橢球膨脹方法進行系統的理論推導與分析，并在云南滇中引水這一典型的高原長距離工程中應用。研究獲取橢球長半軸變化量、基準點大地坐標變化量、測區端點高斯坐標變化量與長度變形值等測算數據，并分析各種橢球膨脹方法數據結果的差異性與合理性。結果表明，平面解析法與廣義微分法更適合作為高原長距離工程的橢球膨脹方法。

橢球膨脹；高原；獨立坐標系統；平面解析法；廣義微分法

對于高原長距離工程，存在測區遠離中央子午線與平均高程較大的問題，若使用國家坐標系統會導致測距邊的長度變形擴大，難以滿足工程的精度要求，因而需要建立工程獨立坐標系統[1-2]。獨立坐標系統建立時，常使用橢球變換的方式縮小投影變形[3-5]。橢球變換方法包括橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法等，其中橢球膨脹法在工程實踐中應用廣泛[6]。

1 橢球膨脹方法理論

橢球膨脹法的基本原理：保持橢球中心與橢球扁率不變，使橢球膨脹放大到所需的投影面高度。如圖1 所示，P0為地面上的基準點，其在基礎橢球E1上的對應點為P1，E1沿P0的法線方向P0P1膨脹Δh到所定義的投影面Fh，形成膨脹后的橢球E2，E2上的對應點為P2；其中Δh為P1到P2點的距離，即Fh為投影面在基礎橢球E1上的大地高。橢球膨脹前后，橢球的長半軸發生變化，而針對其變化量存在多種計算方式[7-10]。

圖1 橢球膨脹示意圖

1.1 直接法

直接法是直接將投影面大地高定為橢球長半軸的變化量，即Δa=Δh。

1.2 平均曲率半徑法

該方法近似認為橢球膨脹過程是沿著P1點處的平均曲率半徑的方向。

(1)

式中：R1，R2分別為基準點在基礎橢球與膨脹橢球上的平均曲率半徑；M，N為基礎橢球的子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑；a1，a2分別為基礎橢球和膨脹橢球的長半軸；e為橢圓的第一偏心率；B1，B2分別是基準點在基礎橢球與膨脹橢球的大地緯度。由式(1)推得

(2)

由于B1≈B2，因此可求得長半軸的變化量為

(3)

1.3 卯酉曲率半徑法

由于基礎橢球是沿著法線P0P1的方向進行膨脹；假設膨脹后的橢球E2在P2處的法線與P0P1重合，則投影面的大地高等于卯酉圈曲率半徑N的變化量，即ΔN=Δh，再由

(4)

得出

(5)

同樣由B1≈B2，可以得到長半軸的變化量為

(6)

1.4 平面解析法

上述幾種方法均存在近似的推導過程，如卯酉圈曲率半徑法是在假設橢球膨脹前后的法線重合，并且有B1≈B2時實現。但由于橢球面具有各向異性，所以橢球膨脹后法線的方向可能變化，并且基準點的緯度也可能不同。因此，需要用更嚴密的解析法推導橢球長半軸的變化量。

如圖2所示，在子午平面直角坐標系中，基礎橢球在P1處的法線方向仍是P1P2，并延長交橢球短半軸于n1點，即P1n1為P1點在基礎橢球E1上的卯酉圈曲率半徑；而膨脹橢球E2在P2點的法線方向為P2n2，即P2n2為P2點在膨脹橢球E2上的卯酉圈曲率半徑。在此平面坐標系統中，P1點的坐標(X1,Y1)與P2點的坐標(X2,Y2)分別為

X1=P1n1·cos (B1)=N1·cos (B1)，

Y1=P1Q1·sin (B1)=N1·(1-e2)·sin (B1);

(7)

X2=P2n2·cos (B2)=N2·cos (B2)，

Y2=P2Q2·sin (B2)=N2·(1-e2)·sin (B2).

(8)

再由P1P2=Δh，也可推得P2點的坐標為

X2=P2n1·cos (B1)=(N1+Δh)·cos (B1)，

Y2=P2Q1·sin (B1)=N1·(1-e2)·

sin (B1)+Δh·sin (B1).

(9)

由式(8)、式(9)得

(10)

由式(10)變換，求得tan (B2)表達式為

(11)

由式(11)可知，膨脹橢球的大地緯度B2總是大于等于B1；并可由此式求得B2。再由式(8)與式(9)中X2的表達式，可得N2的表達式為

(12)

綜合式(5)中a2的表達式，及式(11)與式(12)，可得到膨脹橢球E2的長半軸a2與Δh的關系式。

圖2 橢球膨脹平面解析法

1.5 廣義微分法

該方法是利用廣義大地坐標微分公式確定橢球長半軸變化量。對于廣義橢球的變換模型，廣義大地坐標微分公式為

(13)

代入不同的平移參數(dX0,dY0,dZ0)、旋轉參數(εX,εY,εZ)、橢球幾何要素(da,d?)和尺度因子Δm，可以計算得出橢球變換后的大地坐標變化量。由于橢球膨脹法不改變橢球的定位、定向、尺度和扁率，因此微分公式中包含空間坐標轉換的8個參數項全部可以忽略，僅保留橢球長半軸的變化量，化簡后可得到P點從基礎橢球E1的大地坐標(B1,L1,H1)到膨脹橢球E2的變化量為

(14)

式中：M為子午圈曲率半徑。在橢球膨脹過程中，投影面與E2橢球面越接近，吻合程度越好，若要投影面與E2橢球面重合，則有

(15)

進而得到長半軸的變化量為

(16)

2 工程應用實例分析

本文使用云南滇中引水工程的分段干線數據對多種橢球膨脹方法分別進行分析。滇中引水工程全長共約850 km ，其中東西跨度約400 km ，南北跨度約545 km ，引水線路從海拔2 064 m至海拔1 401 m,是典型的高原長距離大型線性工程。

2.1 國家3°帶測區分析

滇中引水工程干渠線路從東經99°～103°，跨越了兩個國家3°投影帶，本文只選取分段的102°中央子午線區域進行分析。該測段從東經100°30′延伸至103°29′，基本在中央子午線兩側平均分布。因此，在進行橢球膨脹時，選擇的膨脹基準點為經度L0=102°處。此外，該測段的平均正常高為1800 m，區域高程異常為29.933 m，所以得到投影面高程Δh=1 829.933 m。再使用上述介紹的橢球膨脹方法分別計算橢球長半軸的變化量，如表1所示。其中，平均曲率半徑法的變化量最大，卯酉曲率半徑法變化量最小，而居中的3個變化量中，平面解析法與廣義微分法的變化量極為接近，僅有1.7×10-6m的差值。

由橢球長半軸的變化量能夠獲取膨脹后的橢球參數，從而獲取新橢球上各點的大地坐標。此處針對基準點，分別求取經度、緯度與高程的變化量，見表2。其中，各種方法的經度變化均為零，緯度變化均是正值，這與廣義微分法獲取的式(14)吻合，并且，也能看到膨脹前后的基準點緯度差異較為明顯，平均曲率半徑法與卯酉曲率半徑法忽略了這種緯度差，模型不嚴密。

此外，不同方法的高程變化差異較大，這反映采用不同方法進行膨脹后，投影面與膨脹橢球E2的吻合度有所差異；高程變化的數值越小，吻合程度越好。因此，無高程差異的平面解析法是吻合程度最好的，其次是廣義微分法，有2×10-6m的微小差值；而平均曲率半徑法與卯酉曲率半徑法的吻合效果較差，高程吻合度均不如直接法。

從上述分析可知，使用不同方法對滇中引水測區進行橢球膨脹，會造成顯著的橢球長半軸差值與基準點高程變化差值。由于工程要求進行高斯投影變換，則投影變換后的坐標差異仍有待探求。本文對測區的西端點(L=100°30′)與東端點(L=103°29′)，使用不同的橢球膨脹方法，分別進行高斯投影變換，并統計端點的平面距離，再與原始橢球的坐標與距離求差值。如表3所示，分別列出兩端點的ΔX,ΔY及平面距離差。其中，使用平均曲率半徑法獲取的高斯投影坐標值最大，相應的端點平面距離最長；使用卯酉曲率半徑法獲取的坐標值最小，端點平面距離也最小；端點坐標差值最大達2.236 m，平面距離差值最大為0.310 m，差異較為明顯。由于滇中引水工程線路較長，計劃使用1°的高斯投影方式控制投影變形；因此，本文也繼續使用1°帶測區進行橢球膨脹方法的比較分析。

2.2 國家1°帶測區分析

為了與上述的3°帶測區結果形成對比，本文在1°帶測區中也選擇102°中央子午線區域進行分析。該測段從西端點(L=101°30′)延伸至東端點(L=102°30′)，均勻分布在中央子午線兩側。因此，選擇的橢球膨脹基準點仍為經度L0=102°處；投影面高程仍是Δh=1 829.933 m。使用不同的橢球膨脹方法獲取的長半軸變化量與基準點大地坐標變化量與3°帶測區相同。因此，只在1°帶測區內對端點進行高斯投影變換，統計端點的平面距離，并仍與原始橢球的坐標及距離求差值，具體數據如表4所示。

其中，端點坐標差值最大仍能達2.213 m，而平面距離差值最大為0.060 m。可見，即使在1°帶測區內，不同膨脹方法帶來的高斯坐標差異仍較大。兩端點的平面距離差值雖有大幅下降，但這是基于測區從3°范圍減小為1°范圍而引起的。為了更準確地分析不同橢球膨脹方法的差異，本研究進一步進行單位長度的變形分析。如表5所示，是針對各種橢球膨脹方法分別計算兩端點的高斯投影變形量與高程歸化變形量[7]。由表中數據分析可知，各膨脹方法的高斯投影變形相同，這是由于各點的Y值變化很小(見表4)，高斯變形量變化甚微。各方法帶來的高程變形差異較大，最大差值可達0.08 cm/km,這種變形差異正是來自于投影面與膨脹橢球的吻合度差異，如前面針對表2數據的分析，吻合度最好的平面解析法與廣義微分法計算的高程歸化變形值一致。

表1 橢球長半軸的變化量 m

表2 膨脹橢球上基準點大地坐標變化量

表3 橢球膨脹后3°帶高斯投影比較 m

表4 橢球膨脹后1°帶高斯投影比較 m

表5 橢球膨脹后1°帶長度變形 cm/km

3 橢球膨脹方法的適用性分析

綜上分析，在滇中引水這一典型的高原長距離工程中，使用不同的橢球膨脹方法構建坐標系統后，計算得到的點位坐標與高程有較大差異。因此選擇合適的橢球膨脹方法對工程坐標系統的建立尤為重要。

直接法是簡化的模型方法，其理論基礎不完善，不推薦在大型工程中應用。

平均曲率半徑法將橢球膨脹方向近似為橢球的平均曲率方向，并忽略膨脹前后基準點的緯度差異。在滇中引水工程計算時，其點位坐標、高程值與其它模型方法差異較大，應避免在長距離工程中使用。但該方法在局部區域能一定程度地削弱橢球面不平行造成的誤差，可考慮在小范圍工程中使用[8]。

4 結束語

在各種方法中，理論最嚴密的是平面解析法與廣義微分法。前者是利用平面解析幾何的方式推導詳細的膨脹橢球長半軸計算公式，后者是基于廣義大地坐標微分公式確定橢球長半軸變化量；兩種方法在滇中引水工程計算中的結果互為印證，是本工程推薦使用的橢球膨脹方法。但這兩種方法中，平面解析法模型構建復雜，使用不太便利；而廣義微分法在投影面與橢球的吻合度上有微小誤差(如表2所示)，均有進一步改進的空間。

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[責任編輯：張德福]

Ellipsoid expansion methods in highland long-distance project

ZHANG Xin，JIANG Ben-hai，LI Zhi-peng，LUO Hong-bo

(Changjiang Institute of Survey, Planning, Design and Research, Wuhan 430010，China)

Five kinds of ellipsoid expansion methods are systematically analyzed and applied to the water diversion project in Central Yunnan, as the typical high altitude long-distance project.Firstly, this research obtains the semi-major axis of ellipsoid, geodetic coordinate variation of reference points, gauss coordinate variation of endpoints, and length variation.Then, the difference and rationality of all the ellipsoid expansion methods are analyzed.The results indicate the plane analytic method and generalized differential method are more suitable as the ellipsoid expansion methods of high altitude long-distance project.

ellipsoid expansion; highlands; independent coordinate system; plane analytic method; generalized differential method

2014-02-24

湖北省博士后創新崗位基金資助項目

張 辛(1983-)，男，博士后，工程師.

P221

：A

：1006-7949(2014)09-0040-05