考慮次近鄰作用原子鏈的熱傳導研究

李金星，張道華，朱國良，劉 飛

(湖北師范學院 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002)

考慮次近鄰作用原子鏈的熱傳導研究

李金星，張道華，朱國良，劉 飛

(湖北師范學院 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002)

運用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和數值模擬對考慮次近鄰作用的一維介電原子鏈進行了研究。在一定的條件下得到了熱流的具體表達式，給出了不同條件下熱流隨體系大小的變化趨勢，分析了次近鄰相互作用和質量梯度對熱流的影響。結果表明次近鄰作用對于熱流的調節不明顯，而構建材料的不對稱結構(質量梯度調節)可作為熱傳導控制的有效手段。

熱傳導；低維系統；次近鄰作用

低維系統中的熱傳輸特性無論是在非線性動力學、碳納米科學還是在非平衡統計物理中都是非常感興趣的一個問題，近些年已經引起了大量學者的注意[1～4]。近年來，人們已經采用不同的模型、方法對低維系統中感興趣的物理量進行了一些研究，如熱流、熱導率、溫度等[5～8]。由于研究方法的改進，這一問題的研究取得了不少進展，這為納米材料和熱控器件的制作提供了一定的理論指導。實驗技術的發展，特別是納米科學(如納米溫度計的出現)，為低維系統能量輸運問題提供了可能的實驗驗證[9～15]，因此這方面的研究令人矚目，具有重要的研究意義。

目前對于固體熱傳導現象的研究，主要集中在低維晶格[3]。一方面的原因是，對于一維晶格體系的數學描述已經很復雜，尤其是當晶格之間的相互作用是非線性的時候，數學上的處理具有較大的難度；另外一方面，數值模擬需要晶格有足夠的尺寸以消除邊界的影響，這也限制了晶格的維數不能太高。宏觀的熱傳導規律一般遵循傅里葉定律。傅立葉熱傳導定律指出，對于熱傳導現象，當溫度梯度很小的時候，熱流與溫度梯度成正比，熱傳導系數κ應該是一個與物質的尺度無關的常量，也就是熱流和物質的尺度N的關系為J∝1/N.近20年的大量研究表明這一點并不是都成立[3,8]，特別是在介觀和微觀系統中，熱流與物質尺度間的關系通常改寫為J∝1/Nα，這里α隨邊界條件和熱源等因素的不同而發生變化，這使對低維系統的熱傳導的研究變得很有意義。在大量的研究中，人們主要考慮近鄰作用和有外場調節的情況，很少涉及次近鄰作用。那么次近鄰作用對熱傳導到底有沒有影響，如果有，影響有多大呢？本文將對這一問題進行討論。

1 模型和方法

我們考慮的系統是弱非線性最近鄰與次近鄰作用的一維原子鏈系統。其兩端分別與溫度為TL和TR的熱源相連接，其總的Hamiltonian可以表示為：

(1)

其中xl是第l粒子偏離平衡位置的位移，pl是第l個粒子的動量，ml是第l個的粒子的隨機質量，α、β分別為近鄰作用和次近鄰作用強度。系統的第1個和第N格點分別與左右熱源相連接。左右熱源的溫度分別用TL和TR表示。對于每個熱源，我們都用M個諧振子來描述，左邊熱源的哈密通量可表示為[8]：

(2)

(3)

通過Heisenberg運動方程，對于上述系統可以得到(自然單位 ?=1)：

(4)

對左邊熱源應用運動方程可得到：

(5)

通過海森堡運動方程和傅里葉變換我們可以得到xl的通解：

(6)

這里有

hl(ω)=μh(ω)δl,1+μ'h'(ω)δl,N

(7)

通過連續性方程：

?μ/?t+?J/?x=0

我們可以得到：

(8)

將(6)代入(8)可得：

(9)

利用(9)式，在一定的條件下可以對熱流進行模擬計算。類似地，我們可以得到熱導率和局域動能的表達式，為了簡便起見這里不作詳述。

2 數值分析和結論

(10)

通過對式(10)的模擬計算可得到圖1圖形：

圖1 熱流密度和頻率之間的關系圖，TL=1.0 ,TR=0.1,N=20 ,μ=μ'=1,α=1.0,β=0和β=0.2

圖1是熱流密度的頻譜圖，給出了頻率和熱流密度的關系曲線。從圖中我們可以看出，不管有沒有次近鄰作用，對熱流有主要貢獻的是低頻振動，存在上限；頻譜圖的峰值數對應晶格振動模式數，這里N=20，每個原子的自由度為1，除去兩端和熱源相連的原子，總自由度為18，圖中也存在18個峰值，這和理論吻合。另外在考慮次近鄰作用時，晶格振動模式數不變，僅僅是頻率受到次近鄰作用而發生了偏移。

圖2、3是不同情況下的J-N曲線。從圖2中我們可以看出，隨著次近鄰作用強度的增加，熱流在變小，說明次近鄰對熱傳導還是有一定的影響；另外，隨著次近鄰強度增大到某一數值時，J-N曲線出現不平滑的反常現象。這一現象我們可以這樣理解，在物理學中，萬有引力(或電荷之間的作用力)F和物體之間的距離(兩電荷之間的距離)R之間滿足：

(11)

類比(11)式，晶格中粒子之間的相互作用強度也滿足類似的比例關系。這里用a表示晶格常數，考慮近鄰作用時，相互作用距離可近似用a表示，次近鄰作用距離可近似用2a表示，次近鄰作用強度應該小于或等于1/4倍的近鄰作用才比較合理。此處取α=1，則次近鄰作用強度取值應該滿足β≤1/4，這說明次近鄰作用強度不能無限制加大，只能在某一范圍內起作用，這和圖2所示吻合的很好，當β>1/4 時就會出現不平滑的反常現象，這是不合理的。另外，對比圖2(a)和(b)不難看出，小的質量梯度δm=0.1 對熱流的影響不明顯。

圖3反應了質量梯度對熱流的影響。從圖3中可以看出，考慮和不考慮次近鄰作用，質量梯度的變化對熱流的影響明顯不一樣。不考慮次近鄰作用時，熱流隨質量梯度的增加而顯著減小，一旦考慮次近鄰，即使次近鄰作用比較小，如圖3(b)時，β=0.05質量梯度的影響也不明顯，其中m=0,0.1時,J-N曲線甚至基本重合。

圖2 次近鄰相互作用發生變化，質量梯度為δm=0 (a)和 δm=0.1(b)時，熱流 和 體系大小N之間的變化曲線。次近鄰作用大小分別取β=0,0.10,0.25,0.50,1.00,TL=1.0，TR=0.5，μ=μ'=1

圖3 質量梯度發生變化，次近鄰作用為 β=0(a)和β=0.05 (b)時，熱流 和體系大小 N之間的變化曲線。質量梯度分別取m=0,0.1,0.5,1.0,TL=1.0，TR=0.5,μ=μ'=1

上面頻譜分析再次表明，晶體振動模式數和體系粒子數相同，并且只有低頻部分才對熱傳導有貢獻。 J-N曲線則表明，由于次近鄰作用強度只能取小值，對熱流的影響不明顯，不能有效的對熱傳導進行調節，而質量梯度大小的調節則沒有限制，對熱流的影響顯著，已經成為熱傳導控制的有效手段之一。

3 總結

本文運用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和數值模擬對考慮次近鄰作用的一維介電原子鏈進行了研究。在一定的條件下得到了熱流的具體表達式，給出了不同條件下熱流隨體系大小的變化趨勢，分析了次近鄰相互作用和質量梯度對熱傳導的影響。結果再次驗證了晶體振動模式數和體系自由度數相同，并且只有低頻部分才對熱傳導有貢獻。另外，次近鄰作用強度不能取得太大，而在取較小值時對于熱流的影響不明顯，這也是很多情況下沒有考慮次近鄰作用的原因。通過質量梯度的調節還發現，質量梯度的變化對熱流有較大的影響，因此構建材料的不對稱結構可作為熱傳導控制的有效手段。

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Studyofthermalconductionofatomicchainwiththesecondnearestneighborinteraction

LI Jin-xing, ZHANG Dao-hua, ZHU Guo-liang, LIU Fei

(College of Physics and Electronics Science, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

The process of heat conduction in one-dimensional dielectric chains with the second nearest neighbor interaction were studied by the means of Ford-Kac-Mazur(FKM)and numerical simulation.We obtained the specific expression of heat current under the certain conditions. By numerical simulation, we get the picture of heat current verse to system size under different conditions. Analyzed the affects of heat current by second nearest neighbor interaction and mass gradient. It is shown that the role of second nearest neighbor interaction for heat conduction is not obvious.And build asymmetric structural materials (mass gradients adjustment)can be used as an effective means of controlling thermal conductivity.

thermal conductivity; 1D systems;second nearest neighbor interaction

2014—09—17

湖北省教育廳項目(Q20132507);湖北師范學院青年項目(2010C18)

李金星(1980— )，男，湖北大悟人，碩士，實驗師，研究方向為低維系統的熱傳導，物理實驗.

O415

A

1009-2714(2014)04- 0007- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.002