中學物理控制變量方法中的多變量組合問題探討

(1．北京師范大學物理系，北京 100875；2．人民教育出版社，北京 100081；3．上海市閔行中學，上海 200240)

新課程注重科學探究，讓學生通過經歷探究的過程得出結論，從中體會科學研究的思想方法.在研究問題時，經常會遇到多個自變量的情況，有時這些變量之間還存在著相互影響，要研究它們對因變量的影響并得出變化規律，是一件比較困難的事.因此，控制變量作為一種重要的科學研究方法，需要學生能夠熟練的掌握.

控制變量的方法廣泛應用于中學物理探究實驗中，比較典型的例子包括初中物理中探究歐姆定律、探究動能的大小與什么因素有關等，高中物理中探究牛頓第二定律、探究影響導體電阻大小的因素等.然而經過細致的分析會發現，這些探究活動中雖然都利用了控制變量的方法，但是其對學生的要求和內在的步驟是不同的.

初中的探究多為定性探究，其結論也主要是討論某兩個物理量之間的定性關系.例如，對于初中“探究動能的大小與什么因素有關”的實驗，最終學生得到的結論是：“質量相同的物體，運動的速度越大，它的動能越大；運動速度相同的物體，質量越大，它的動能越大”[1].這個結論正是根據學生科學探究的結果直接得到的推論，描述的是當一個變量保持不變時，動能和速度、動能和質量之間的定性關系.在其他實驗中，控制變量也主要表現為，保持其他因素不變，而改變某一個因素，探究其結果的不同，例如“探究摩擦力的大小與什么因素有關”的實驗，是通過分別改變受力面的粗糙程度和壓力的大小來分析摩擦力變化的.

然而，高中的科學探究中涉及控制變量時，則多為定量探究.通過定量探究得到每一個變量的變化規律后，還需要將幾個單變量函數組合成一個多變量函數，這個過程稱為“多變量的組合”[2].

1 多變量組合問題

如果一個物理過程中有若干個物理量發生變化，它們的相互關系可以由y=f(x1,x2,...,xn)來表示.按照控制變量的思想，可以通過控制物理過程，使得x2,x3,...,xn保持不變，只研究y與x1之間的關系得到y=f1(x1)，同樣的，可以得到y=f2(x2)，y=f3(x3)，…，y=fn(xn).這樣依次研究y與各個變量之間關系的方法，就是控制變量.這種方法可以把研究的問題大大簡化，將原來比較復雜的多變量問題，轉化成相對簡單的單變量問題.

2 多變量組合函數關系的證明

實際上，還可以提供一種更普遍的證明方法：

已知：z=f(x,y)=f1(x)y=f2(y)x，x>0,y>0,z>0.

求證：z=Cxy，其中C為常數.

證明：由z=f(x,y)=f1(x)y=f2(y)x,有z2=f1(x)y×f2(y)x.

所以有z=Cxy.

通過上面的證明我們可以看出，在應用控制變量方法的研究中，由于要確定定量關系，就會遇到多變量組合的問題，這個問題增加了學生數理邏輯能力的難度.但是，上面的證明過程表明，對于中學的大部分實驗來說，可以直接認為控制變量后得到的兩個函數可以疊加.

3 多變量組合問題在教學中的處理辦法

對于一般學生來說，在學習新知識的過程中，一般并不會注意到多變量組合問題的存在.所以在教學中，就可以用“顯而易見”忽略過去.但是教師應該清楚其中并不是可以簡單忽略的，特別是對于一些數理功底較強、熱愛思考的學生來說，“顯而易見”就應該變為“可以證明”了.在趙凱華、張維善編寫的《新概念高中物理讀本第一冊》中，就通過嚴密的邏輯從實驗推導出了牛頓第二定律.

值得注意的是，對于初中生來說，由于他們的數理水平不高，這個問題也會增加與控制變量有關的定量實驗的難度.例如，歐姆定律作為初中物理的一個難點，涉及三個物理量之間的定量關系，學生在學習的過程中往往存在困難.特別是在探究的過程，很難得出結論.在教學中，教師往往先讓學生認識電阻一定時，導體中的電流跟電壓成正比；再讓學生認識電壓一定時，導體中的電流跟電阻成反比；最后，“綜合”得出歐姆定律.這個“綜合”就涉及了多變量組合的問題.因此，在人民教育出版社2013年出版的《義務教育教科書物理九年級》[5]中，則采用了下面的展開方式：首先，明確探究的規律是電流與電阻、電壓之間的關系；之后讓學生在保持電阻不變的情況下，探究通過電阻的電流和電阻兩端電壓的關系；然后讓學生在保持電壓不變的情況下，探究通過電阻的電流和電阻的關系；最后安排了一個“想想議議”欄目，引導學生利用前面的實驗數據計算U/I，并與電阻比較，看看電阻R與U/I有什么關系，從而最后得到歐姆定律R=U/I.這樣的探究過程，由于最后是直接研究R與U/I的關系，跳過了多變量組合的過程，因此降低了學生的學習難度，有利于學生對知識和技能的學習和理解.

雖然多變量組合的過程在中學物理采用控制變量的研究方法中一般并沒有明示，也可以證明其合理性.但是，明確這個過程，有助于分析學生學習控制變量方法的思維障礙，從而做出有針對性的教學設計.對于學有余力的學生來說，也可以通過深入討論這個證明過程，培養科學研究的能力，體會科學的嚴謹與自洽.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書物理八年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]張大同，曹得群.注重方法 自我發展[M].上海：上海教育出版社，1998：107.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書物理必修1[M].北京：人民教育出版社，2006：74.

[4]趙凱華,張維善.新概念高中物理讀本(第一冊)[M].北京:人民教育出版社,2006:52-56.

[5]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.義務教育教科書物理九年級[M].北京：人民教育出版社，2013.