高等數學教學中需要注意的問題

李秀英+吳勃英

一極限教學中需要注意的問題

1一元函數極限教學中關注的問題

對于剛入學的大一新生，由初等數學到高等數學的學習，第一個難點就是對于極限的理解。極限在高等數學教學中占有極其重要的地位，是以后學習微分積分的基礎，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數列極限，在講解數列極限時要求首先是舉例體驗極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數列極限的概念，最后再用數學的語言精確地給出數列極限的概念。這樣學生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數列{1/n}的極限，當無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強調數列極限和前有限項是沒有關系的。針對這個結論，在教學中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進行分析，為什么是沒有關系的，最后給出嚴格的數學證明。對于大一學生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數學抽象的語言來描述這個現象，最后使學生不僅理解了這個結論，而且鍛煉了數學思維的嚴密性。

在函數極限的基礎上給出了連續的概念，連續和極限存在之間的聯系和區別。函數在一點連續，那么在這點的領域一定有定義，并且在這點的極限存在等于這一點的函數值。這也就是連續函數在這一點的極限一點存在，函數在一點的極限存在，但在這一點不一定連續。

2多元函數極限教學中關注的問題

對一元極限的理解，便于學習后續的多元函數的極限，它是學習多元微分與多元積分的基礎，那么我們對于多元函數極限的理解就尤為重要。

為了便于學生理解，首先我們先給出多元函數的例子。例如：z=x2+y2，當自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數類似，主要是考慮當自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應的函數值是否趨于某一個確定常數A.

另外還有另一難點，即當P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數值都無限接近于常數A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數值無限接近于某一個確定的值A，我們也不能由此確定函數的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數值趨于不同的數，那么就可以判定這個函數的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數極限中另一個難點就是函數極限的計算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數進行計算。主要利用一元函數重要極限或者運用洛比達法則實現求極限。第二，運用初等函數的連續性。第三，利用夾逼準則求極限。多元函數極限的計算有時要用到極限計算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內容是我對極限教學難點的一點認識及其總結，主要是對一元極限的定義中的難點的理解和多元函數極限的常用計算方法的總結。

二定積分教學中需要注意的問題

定積分是教學中的一個重點，也是難點。很多同學學完積分以后，還是不理解定積分的本質。當給定一個定積分，你問他能聯想到什么，很多同學首先聯想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計算公式，只有少部分同學能聯想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學過程中，重點強調定積分概念和幾何意義，以及它們的相關應用，而不是定積分的相關計算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導，使學生認識處理實際問題的近似和極限的思想。讓學生熟練掌握定積分的定義，并認識到通過定積分的定義可以求解數列極限以及定積分的近似計算。

應用案例在高等數學教學中具有積極的作用，一方面，它可以加深學生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學生了解高等數學知識的應用價值，從而激發學生的學習興趣，增強學生學習的自主性和積極性。本節將用三個應用案例來闡述其在高等數學教學中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴格定義。對基礎較差的學生教學中常采用直觀定義，而不要求嚴格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應該給學生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴格定義的必要性，是微積分理論的基礎。下面通過一個應用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報道的新進員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學會認為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實會是怎樣呢？通過數學軟件進行簡單計算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint

一極限教學中需要注意的問題

1一元函數極限教學中關注的問題

對于剛入學的大一新生，由初等數學到高等數學的學習，第一個難點就是對于極限的理解。極限在高等數學教學中占有極其重要的地位，是以后學習微分積分的基礎，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數列極限，在講解數列極限時要求首先是舉例體驗極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數列極限的概念，最后再用數學的語言精確地給出數列極限的概念。這樣學生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數列{1/n}的極限，當無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強調數列極限和前有限項是沒有關系的。針對這個結論，在教學中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進行分析，為什么是沒有關系的，最后給出嚴格的數學證明。對于大一學生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數學抽象的語言來描述這個現象，最后使學生不僅理解了這個結論，而且鍛煉了數學思維的嚴密性。

在函數極限的基礎上給出了連續的概念，連續和極限存在之間的聯系和區別。函數在一點連續，那么在這點的領域一定有定義，并且在這點的極限存在等于這一點的函數值。這也就是連續函數在這一點的極限一點存在，函數在一點的極限存在，但在這一點不一定連續。

2多元函數極限教學中關注的問題

對一元極限的理解，便于學習后續的多元函數的極限，它是學習多元微分與多元積分的基礎，那么我們對于多元函數極限的理解就尤為重要。

為了便于學生理解，首先我們先給出多元函數的例子。例如：z=x2+y2，當自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數類似，主要是考慮當自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應的函數值是否趨于某一個確定常數A.

另外還有另一難點，即當P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數值都無限接近于常數A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數值無限接近于某一個確定的值A，我們也不能由此確定函數的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數值趨于不同的數，那么就可以判定這個函數的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數極限中另一個難點就是函數極限的計算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數進行計算。主要利用一元函數重要極限或者運用洛比達法則實現求極限。第二，運用初等函數的連續性。第三，利用夾逼準則求極限。多元函數極限的計算有時要用到極限計算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內容是我對極限教學難點的一點認識及其總結，主要是對一元極限的定義中的難點的理解和多元函數極限的常用計算方法的總結。

二定積分教學中需要注意的問題

定積分是教學中的一個重點，也是難點。很多同學學完積分以后，還是不理解定積分的本質。當給定一個定積分，你問他能聯想到什么，很多同學首先聯想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計算公式，只有少部分同學能聯想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學過程中，重點強調定積分概念和幾何意義，以及它們的相關應用，而不是定積分的相關計算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導，使學生認識處理實際問題的近似和極限的思想。讓學生熟練掌握定積分的定義，并認識到通過定積分的定義可以求解數列極限以及定積分的近似計算。

應用案例在高等數學教學中具有積極的作用，一方面，它可以加深學生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學生了解高等數學知識的應用價值，從而激發學生的學習興趣，增強學生學習的自主性和積極性。本節將用三個應用案例來闡述其在高等數學教學中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴格定義。對基礎較差的學生教學中常采用直觀定義，而不要求嚴格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應該給學生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴格定義的必要性，是微積分理論的基礎。下面通過一個應用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報道的新進員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學會認為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實會是怎樣呢？通過數學軟件進行簡單計算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint

一極限教學中需要注意的問題

1一元函數極限教學中關注的問題

對于剛入學的大一新生，由初等數學到高等數學的學習，第一個難點就是對于極限的理解。極限在高等數學教學中占有極其重要的地位，是以后學習微分積分的基礎，所以對于極限定義的理解就極為的重要。首先，剛接觸到的是數列極限，在講解數列極限時要求首先是舉例體驗極限的概念，然后用通俗的語言描述一下數列極限的概念，最后再用數學的語言精確地給出數列極限的概念。這樣學生對極限的理解就由直觀的理解到抽象的理解，比較容易接受。例如描述數列{1/n}的極限，當無限增大時，與是無限接近的，然后用聚集強調數列極限和前有限項是沒有關系的。針對這個結論，在教學中通常是首先舉例子，然后針對定義對所舉例子進行分析，為什么是沒有關系的，最后給出嚴格的數學證明。對于大一學生來說，先是直觀地理解便于接受，然后用數學抽象的語言來描述這個現象，最后使學生不僅理解了這個結論，而且鍛煉了數學思維的嚴密性。

在函數極限的基礎上給出了連續的概念，連續和極限存在之間的聯系和區別。函數在一點連續，那么在這點的領域一定有定義，并且在這點的極限存在等于這一點的函數值。這也就是連續函數在這一點的極限一點存在，函數在一點的極限存在，但在這一點不一定連續。

2多元函數極限教學中關注的問題

對一元極限的理解，便于學習后續的多元函數的極限，它是學習多元微分與多元積分的基礎，那么我們對于多元函數極限的理解就尤為重要。

為了便于學生理解，首先我們先給出多元函數的例子。例如：z=x2+y2，當自變量（x，y）→（0，0）時，因變量的變化趨勢。我們可以通過圖形觀察得到，因變量的變化趨勢是趨于零的。與一元函數類似，主要是考慮當自變量（x，y）→（x0，y0）的過程中，對應的函數值是否趨于某一個確定常數A.

另外還有另一難點，即當P（x，y）→（x0，y0）時，指的是P（x，y）以任何方式趨于P0（x0，y0）時，函數值都無限接近于常數A。因此，如果P（x，y）以某一特殊的方式，例如沿著某條直線或者曲線趨于P0（x0，y0），即使函數值無限接近于某一個確定的值A，我們也不能由此確定函數的極限存在。反過來如果P（x，y）沿著不同的方式趨于P0（x0，y0）時，函數值趨于不同的數，那么就可以判定這個函數的極限不存在，這也提供了一種證明多元極限不存在的方法。

在多元函數極限中另一個難點就是函數極限的計算。一般我們常用的幾類方法是：第一，化為一元函數進行計算。主要利用一元函數重要極限或者運用洛比達法則實現求極限。第二，運用初等函數的連續性。第三，利用夾逼準則求極限。多元函數極限的計算有時要用到極限計算的幾種方法，我們上面提到的是幾種常見的方法。

上面內容是我對極限教學難點的一點認識及其總結，主要是對一元極限的定義中的難點的理解和多元函數極限的常用計算方法的總結。

二定積分教學中需要注意的問題

定積分是教學中的一個重點，也是難點。很多同學學完積分以后，還是不理解定積分的本質。當給定一個定積分，你問他能聯想到什么，很多同學首先聯想到的是牛頓-萊布尼茲公式，也就是定積分的計算公式，只有少部分同學能聯想到定積分定義中乘積和式的極限以及它對應的幾何意義，這顯然不是我們所希望的。這就要求我們在定積分教學過程中，重點強調定積分概念和幾何意義，以及它們的相關應用，而不是定積分的相關計算技巧。

在引入定積分概念的引例中，通過逐步引導，使學生認識處理實際問題的近似和極限的思想。讓學生熟練掌握定積分的定義，并認識到通過定積分的定義可以求解數列極限以及定積分的近似計算。

應用案例在高等數學教學中具有積極的作用，一方面，它可以加深學生對一些抽象概念的理解，另一方面它可以使學生了解高等數學知識的應用價值，從而激發學生的學習興趣，增強學生學習的自主性和積極性。本節將用三個應用案例來闡述其在高等數學教學中的積極作用。

我們知道，講解極限的概念一般是有兩種極限定義方式，一種是直觀定義，一種是嚴格定義。對基礎較差的學生教學中常采用直觀定義，而不要求嚴格定義。而直觀定義由于自身的局限性還是應該給學生指出的，了解到了局限性，也就知道了嚴格定義的必要性，是微積分理論的基礎。下面通過一個應用案例指出直觀定義由的局限性。

例：一名到公司報道的新進員工面臨兩種崗位選擇，甲種崗位底薪1200元每月，每月加薪200元；乙種崗位底薪600元每月，每半月加薪60元，公司每半月發一次薪水，問兩種崗位哪種收入前景較好？

解：憑第一感覺，相信很多同學會認為甲種崗位比較有誘惑力。真正的事實會是怎樣呢？通過數學軟件進行簡單計算，便可得到兩種崗位的薪水列表（以半月為單位）

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-145.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].高等教育出版社，2007： 1-40.endprint