創建有“過程”的數學課堂

陸曉林

中學高級教師，江蘇省南通市小學數學學科帶頭人，南通市優秀教育工作者，曾獲江蘇省“導航杯”教學比賽一等獎，在《人民教育》等刊物上發表文章多篇。

以往教師們總是自覺不自覺地把數學課程內容視為一系列事實性結論，對有“過程”的課堂以及如何構建有“過程”的課堂存在認識與實踐上的誤區。因此，能真正創建出有效、優效的有“過程”的課堂頗少。最近以來，很多教師在新課標理念的指導下，開始努力去顛覆以“知識為本”的課堂模式，有意識地重視對“過程”的教學，讓學生經歷知識的形成過程，從而促進思維的發展。然而，如何創建有“過程”的數學教學，筆者擬從下面三個角度略述，以期拋磚引玉。

一、 設計以“學”為主的課堂活動，引導學生從“經歷”走向“經驗”

對學生數學活動經驗的關注是當下課堂的熱點議題之一。數學活動經驗從某種角度說就是學生經歷數學活動的過程與結果的有機統一體，要落實使學生獲得數學活動經驗的課程目標，讓學生“經歷”數學是基本的途徑。

學生是學習的主體、課堂的主人，數學教學活動如果缺少學生主動介入、積極參與和生生、師生的多維互動，這樣的課堂就只有教師“教”的“流程”，而沒有“學”的“過程”。在數學課堂中，學生如果能夠通過觀察比較、動手操作等多種形式的活動，真正“經歷”了數學過程，獲得了直接的數學活動經驗或者發展了間接的認知經驗，數學的結論能被學生“火熱”地“看”出來、“做”出來，數學知識不再是“冰冷”的、理性的，這樣的課堂就是有真“過程”的課堂。

例如，教學“圓的認識”時，可以安排三次不同的畫圓實踐，讓學生在不同的“經歷”中獲得成功畫圓的“經驗”，進而在對“經驗”的反芻中認識到圓最基本的特征：一中同長。

1.初次畫圓。教師在揭示課題、明確學習任務后，讓學生借助于不同的工具嘗試畫圓，然后選擇有代表性的作品進行展示比較，引導學生交流畫圓成功的經驗、方法和不成功的原因，初步感受圓是曲邊圖形，可以借助于現成的圓形物體描出圓，也可以借助于畫圓的專用工具畫圓。然后讓學生用圓規反復練習，體會“針尖固定、兩腳距離不變、捏住手柄旋轉”的畫圓要領。

2.嘗試畫大圓。體育教師想在操場上畫一個大圓，還會用圓規嗎？請同學幫體育教師想出辦法，并在教室的空地上演示“固定木棒、拉繩畫圓”的方法，畫出大圓后，啟發學生思考：工具不同，畫圓的道理一樣嗎？相同在哪兒？

3.畫圓比賽。分男、女生兩組，一組分發圖釘、無彈性的長線、粉筆三種材料，另一組也有圖釘和粉筆，不同的是將長線換成彈性十足的橡皮筋，讓男、女生兩組借助于分發的工具進行畫圓比賽。在輕松娛樂的比賽結束后提問：這樣的比賽公平嗎？你發現了什么？明白了什么？

三次畫圓的“經歷”，層層遞進。第一次學會了技能，第二次明白了道理，第三次把握了本質，學生在其中“種植”了直接經驗，“生長”了間接經驗，發展了自己的數學直觀與數學直覺，提高了數學認知水平。從而體現，有“經歷”才能催生“經驗”，有“經驗”才能萌發“見識”，有“見識”才會助推“成長”。

二、 還原知識的發生與發展，實現知識本質與思想方法的“顯化”

日本數學教育家米山國藏在其著作《數學的精神、思想和方法》中深刻地指出：“學生在學校接受的數學知識，因畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，所以通常是在出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、思想、方法卻能隨時隨地發揮作用，使他們終身受益?！边@就是義務教育數學課程目標提出“四基”的原因之所在。因此，只有讓學生領悟了數學知識的本質和思想方法、體悟了情感態度的數學課堂才是有深度、有實效、有長效的數學教學，即便是具體的知識遺忘了，但數學地思考問題的方法將伴隨學生一生。

數學知識的本質與蘊含的思想方法是一種隱性知識，數學知識的發生和發展的“過程”，也是知識本質與思想方法發生和凸顯的“過程”，對知識本質的把握與形成一定的思想方法只有依附于這樣的“過程”才能得以真正實現。

以特級教師蔡宏圣教學“認識負數”為例：

1.鋪墊——重構知識的“生長點”。上課伊始，從國家形象宣傳片《人物篇》中體育明星郭晶晶、丁俊暉和郎平的身高比較入手，幫助學生完整地建構“0”的意義——“0”不但表示“沒有”，而且表示“開始”，更重要的是它還表示比較的“標準”（如以郭晶晶的身高為“0”，丁俊暉和郎平的身高分別標記為10、20），使“負數”有了意義“生長”的節點。

2.激疑——產生知識“發生”的需要。通過變換“標準”（以丁俊暉的身高為基準“0”），讓“負數”（郭晶晶的身高如何標記？）有了產生的必要。學生自主探究，嘗試用符號來標記具有相反意義的不同的數，初步理解了正、負數是具有“相反意義”的數，懂得負數的引入同時也是為了減法封閉性的需要，正、負數的本質意義在與確定“標準”的比較中獲得了“直觀的抽象”。

3.提煉——聯系生活，發展、豐盈概念意義。通過聯系生活中的實例，以確定的位置為標準記錄前進和后退的步數，以某一價格為基準記錄不同價格高或低多少，等等，使正、負數的意義有了更多鮮活的直觀呈現，學生的認識逐漸深刻而豐滿起來。

4.拓展——回顧溫度計的發展史和利用正負數巧求平均數。課堂既有數學文化的氣息，又有數學思維的簡潔之美，在概念的應用中讓學生體驗到概念的價值所在，觸碰到數學的思想方法。這樣的課堂讓數學知識的“發生”得以還原，學生的認知建構從“起點”出發，概念的意義在課堂上得以“發生”與“發展”，在逐步概括、抽象的過程中直抵數學概念的本質意義，在概念的解釋與應用中涵養數學的思維。

三、 復演前人的數學創造歷程，促進學生對數學知識的二次“創生”

有效的數學學習就是“再創造”的過程。正如弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中所言：“學一個活動的最好方法是做”“對學生和數學家應該同樣看待，讓他們擁有同樣的權利，那就是通過再創造來學習數學”“不應該將教的內容作為現成的產品強加給學生”“學習過程必須含有直接創造的側面”“通過再創造獲得知識和能力要比以被動方式獲得，會理解得更好也更容易保持”。所以，在數學教學中，可以結合具體的教學內容創設真實的問題情境，讓學生再走前人探究之路，復演前人數學創造的歷程，實現知識的二次“創生”。endprint

“認識厘米”是學生在小學階段認識的第一個長度單位，也是學生使用測量工具進行度量的第一課。讓學生認識1厘米并形成1厘米的心理表征，能正確使用直尺測量物體的長度和畫指定長度的線段，初步形成度量意識是本課的主要任務。傳統的教學是沿著“認識直尺—認識1厘米—建立1厘米的表象—認識幾厘米—揭示測量方法—量長度、畫線段”的思路進行的，這樣的課堂學生不可能感受到“度量標準統一”的必要性，也不能理解“直尺是單位長度的集合”以及“長度測量就是所要測量的物體長度與標準長度的重合”這一數學本質。我在教學“認識厘米”時做了一些嘗試，讓學生在課堂里復演前人創造直尺的歷程，力圖使學生能直觀、自然地“看見”并“做出”數學本身。

1.創設沖突情境，體會“度量標準統一”的必要性。編創故事“阿福的新衣”，裁縫師傅讓小徒弟按“衣長三拃，袖長二拃”要求制作新衣，結果小徒弟卻將新衣做小了，引導學生認識到度量的前提是統一度量的標準。

2. 認識1厘米，建立1厘米的表象。先出示1厘米長的小棒，告知學生，人們規定這樣的長度為1厘米；接著，讓學生觀察手中1厘米的小棒，用拇指與食指指尖間隙來比畫1厘米，借助小棒檢驗、再比畫，再檢驗，反復幾次，初步形成1厘米大概有多長的表象；然后，利用物體的直邊（不用有刻度的尺）試著在紙上畫1厘米長的線段，拿1厘米的小棒對比檢查，反復嘗試并調整；最后，找一找身邊有哪些物體的長度大約1厘米。

3.做“小棒尺”，用“小棒尺”測量。第一步，用1根1厘米小棒“量”出較長線段的長度，體會連續測量的困難；第二步，學生合作，發現用多根小棒首尾相連“擺”出線段的長度比1根小棒連續測量方便、準確；第三步，引導學生研究，如何“擺”一次小棒，能進行多次測量？學生嘗試將多根小棒首尾相連成一線粘貼在長紙條上，做成“小棒尺”；第四步，完善小棒尺，啟發學生在“小棒尺”上標出富有創意的刻度。第五步，用自己制作的“小棒尺”測量長度。

4.認識直尺，形成測量技能。對比制作的“小棒尺”與直尺，讓學生體驗到創造的成功與快樂。在直尺上找1厘米和幾厘米，讓學生直接用直尺測量和畫線段，及時對發現的問題進行指導，內化度量的技能。

整節課通過對“直尺”的再設計與再創造，學生較好地掌握了“尺”的結構與原理，領會了測量就是“標準的工具與測量對象的合同”，在建構測量工具的同時也學會了測量的方法，學生由工具的使用者轉換成了設計者、制作者，教學過程與教學結果得到了統一。

當然，構建有“過程”課堂的策略還有很多，設計以“學”為主的數學活動、還原知識的發生過程以及復演前人的創造歷程，無論哪一種創建“過程”的策略在本質上都是一致的，都是讓“簡約與固化”的書本知識變成“過程與形態化”的教學活動，讓學生在特定的情境中經歷一個較為完整的“數學化”過程，從而促進學生對知識本質的理解、思想方法的掌握以及情感態度的習得，實現數學素養的逐步提升。

同時，創建有“過程”的課堂不是對教學目標與結果的忽視，教學目標與結果的預設指引著教學過程的展開，過程以目標與結果為目的，目標與結果以過程為基礎，兩者之間是相互依存、和諧發展的。endprint