整體建構 平中見奇

邢成云

筆者有幸聆聽了全國著名特級教師李庾南老師的“因式分解”這節課，可以說品味了跨越時空的一次課堂盛宴，讓我再次驚慕李老師的大手筆。“淡中知真味，常里識英奇”，李老師在看似平淡的課堂上，演繹了一段精彩的學習之旅，引領了新課程理念下數學課堂的價值走向。其整合之力、設計之巧、引導之妙、選題之當、愛生之深在李老師的課堂中流淌出來，宛若玉漿瓊液，透著芳香。本文擷取李老師這節課的兩個教學片段進行賞析，與眾同仁交流。

鋪設溫床，孕育新知

師：現在我請同學們計算，并且進行比賽，看誰完成的速度最快？

（多媒體展示）計算：

1. （x+y+1）2-x（x+y+1）-y（x+y+1）；

2.（x+1）2-2（x+1）+1；

3.（a+b+c）2-（a-b-c）2。

（生開始計算，師巡視）

師：好，現在有同學做好了，下面請這位同學說說他怎么算的？

生1：我把每一個因式里的相同因式“x+y+1”都提出來。

師（打斷后追問）：是每一個因式還是每一項？

生1：每一項。

師：好！他發現每一項都有一個因式“x+y+1”，所以他就把它提出來了，提出來后的另外一個因式是什么？

生1：是“x+y+1-x-y”。

師：計算的結果等于多少？

生1：x+y+1。

師：你這樣做的依據是什么？

生1：乘法分配律的逆應用。

師：你把它逆過來用了。誰還記得乘法分配律怎樣用式子表示？

生2：m（a+b+c）=ma+mb+mc。

師：正確，你把分配律反過來用，該怎樣表示？

生2：ma+mb+mc=m（a+b+c）。

師：由于把分配律反過來用了，所以就使得運算速度變快了。

師（講解）：我看有些同學不是這么做的，他們把（x+y+1）2看成x+y+1乘x+y+1的積，有些同學先把積化成了和，再把后面的做乘法，最后做加法，可這樣一來，做的速度就慢了，是不是？

由此可見，有時候計算，我不先求積，我把積化成了和，然后再來計算。有的時候，我們不先求和而是先把和化成積，這兩種互逆的運用，要根據具體的情況來選用。那第2題，除了剛才那位同學，誰還做好了？

生3：它就等于x加1再減1括號的平方。

師（邊重述學生的說法邊板書）：原式=[（x+1）-1]2，它就等于多少？

生3：x的平方。

師：那你上來講一講為什么這樣做？

生3（上臺）：因為我看到這個式子，我感覺它就是完全平方公式乘出來的一個結果，我想把它逆過來用。如果逆過來用的話，那么它就等于[（x+1）-1]2。

…………

師：由于他認真地觀察式子的特點，發現是一個完全平方式，他就反回來用了，就使得運算簡便、迅速，很快就得到結果，那第3題呢？

…………

師：由于我們的同學巧妙地把運算法則或者公式反過來用，反過來用和正著用，觀察一下有什么不同？

…………

師：我們運算時，有的時候先求積再求和比較方便，可有的時候根據算式的特點，比如說，第一題可看作是三項的和，我們不先求和，而是先把和化成積，就使得運算簡單。正因此，所以我們不僅要研究積如何化成和，我們還要反過來研究特殊的和怎樣化成積，把和化成積。這種變形叫因式分解。這就是我們今天要研究的課題！（板書：因式分解）

師：我們研究一個新的概念的時候，首先該研究什么？

生：定義。

…………

師（對照板書慢速講解并強調要點）：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，或者叫分解因式。變形前是多項式，變形后是整式的積！

李老師創設的教學情景并非脫胎于實際問題，而是以3道特殊計算題為載體，烘托出看誰算得又對又快的比賽情境。通過生1、生2、生3等算得快的同學自我闡釋，暴露各自思維的軌跡，揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或運算律，讓學生感知計算時用簡便方法能更快更好地獲得答案，從而激發起好奇心、求知欲。這能讓學生先初步產生“分解因式”的印象，進而感悟“因式分解”是“和化積”與“整式乘法”是“積化和”的互逆過程。而這當中的每一道題都有其不同的目的和功能，通過計算的體驗和正反對比，對生成概念、提煉概念、完善概念，都起到了積極的促進作用。這種基于數學的內部發展迸發出的力量，有效地調動了學生參與的積極性，在一種自然而然中，新的知識在李老師搭建的溫床上孵化出來，沒有絲毫的生拖硬拽。

多維對話，以知孕情

分解因式：

1.3a3b-12ab3 ；

2.（p-q）2-2（q-p） ；

3.（a2+b2）2-4a2b2。

（師安排學生板演）

師：三個題目做好了就小組交流：每個題怎么分解因式？方法是不是只有一個？

（5分鐘后，小組交流、討論）

師：好，同學們看黑板，第1題，做到3ab（a2-4b2）這個結果的請舉手。

（生大部分舉手，少部分沒舉）

師：大部分同學是這個結果，不是這個結果的同學上臺講一講自己怎么做的？

生：我看到a2-4b2是一個平方差，它還可以化為（a+2b）（a-2b）。

師：不同的意見很正常，大家注意了，因式分解是把多項式化成幾個整式的積的形式，大家一直認為，3a3b-12ab3有公因式3ab，提出后的另一因式為（a2-4b2），a2-4b2還能分解，要分解到不能再分解為止。endprint

再看第2題（面對板演）：這個同學把（p-q）2變成了（q-p）2，哪個同學做的，你說一下你為什么這樣做？

生：因為（p-q）與（q-p）互為相反數，我們知道互為相反數的平方是相等的。

師：對，回答得很好，互為相反數的平方相等，因此，取（p-q）為公因式呢？還是取（q-p）為公因式？方便的方法是變化有平方的；若取（p-q）為公因式，心算一下另一個因式是什么？

生：（p-q+2）。

師：這樣兩個式子不就不同了嗎？不過我們做的時候，應該采用簡化運算。是這樣做的舉手。

（生大多數舉手）

師：還不錯，我們看第3個題目，我發現有的同學不是這么做的，誰做的這個題目？上來講一講。

生：第二項可以化成“2ab”的平方，這樣就可逆用平方差公式，得（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab），這一個括號里是完全平方式，就可化成（a+b）2，后邊也同樣化成了（a-b）2。

師：這里（a+b）2是一個多項式，是不是可以繼續化簡了——不可以；這里的（a-b）2也不可以化簡了，所以就把它叫作分解完了；可是我看了下面有不少的同學不是這樣的結果，不是這個結果的同學請舉手。

…………

現代教學論認為：課堂教學除了知識對流的主線外，還有一條情感對流的主線。李老師在這一環節組織了兩次大型交流：

一是第三組題目解答5分鐘后的小組交流，這是在學生獨立思考、獨立解題后的基礎上展開的。這種基于學生真切體驗下的交流，學生已經擁有了交流的素材，每一位同學都會有話可說，交流得更加充分、深入，變大課堂統領為小課堂的格局，為教師的指導增強了針對性。小范圍的互助互學、互促互進，為學生的個性發展搭建了優質的平臺，在師生、生生的平等對話中，理順思路，優化認識，在可視化思維的碰撞中，達至心靈的默契。這種厚實的真味課堂是對“沒有獨立思考就合作交流”等形式化課堂的有力反擊，它擺正了學生的主體地位，實現了情與知的融匯。

二是全班交流。在對話中，不時有李老師那親切的話語：“大家注意了！”“大家聽清楚了嗎？”“你還有什么問題嗎？”，等等，她用欣賞口吻的課堂語言及其透射出的親和力，營造出溫馨的情感場，潤澤著學生的心靈，流露出對學生的尊重，能讓我們真切感受到學生始終是在一種心理安全、平等交流的氛圍中輕松地學習。這種尊重本身就是真切的情感孕育，我們看到，李老師設置的練習環節，不是單純地要求學生去解題，而是以此為載體，通過追問引領，驅動學生展開豐富的思維活動，實施高級的心智交流，在交流中享受數學帶來的苦思冥想和浪漫情趣。

李老師的單元教學法，是基于整體建構下對教材整合的靈活把握，在本節課充分展露。李老師通過三組題目涵蓋了所有知識點，承載起對概念、方法、原理的形成過程的研究，只用了一節課把因式分解的全貌勾勒出來，是那樣的順乎自然。這種大膽的嘗試，其實對李老師來說是常態的，本堂課彰顯出李老師對教材的深刻理解和對課堂的調控能力，可謂是對“不是教教材，而是用教材教”的最好的詮釋，是新理念的踐行注腳。

本堂課，看似波瀾不驚，甚至在有些人眼里實在是平淡，但就在這平淡之中，數學教學的真諦通過課堂的教學活動外化出來。不難發現，兩個教學環節中有一個關鍵詞反復出現——逆應用，這個詞本身很平凡，豈知這就是本節課的內核，從邏輯關聯的角度看，本節課其實沒什么新的東西，無非就是把原來的法則反過來用，可就是這么一個反過來即為新知的構建、概念的建構在不經意間落成，看似隨意揮灑，實則是李老師的精心策劃。 （作者單位：山東省濱州市北鎮中學初中部）

責任編輯 周瑜芽

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