簡單平面桁架的穩定性及極限承載基于有限元的幾何非線性分析

王國權等

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結構的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關鍵詞：穩定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結構。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結構的穩定性是結構平衡狀態的穩定性，任何結構的平衡狀態可能有三種形式：穩定的平衡狀態，不穩定的平衡狀態和隨遇平衡狀態。

假設結構在平衡狀態附近作無限小偏離后，如果結構仍能恢復到平衡狀態，則這種平衡狀態為穩定的平衡狀態；如果結構在微小擾動作用下偏離其平衡狀態后，不能再恢復到原平衡狀態，反而繼續偏離下去，則這種平衡狀態為不穩定的平衡狀態；如果結構在微小偏離其平衡狀態后，既不能再恢復到原平衡狀態，也不繼續偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態為隨遇平衡狀態，隨遇平衡狀態往往是從穩定平衡狀態向不穩定平衡狀態過渡的一種中間狀態。

1.壓桿穩定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協調的任意微小虛位移，外力虛功與內力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態時，應滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內力虛功等于虛位移引起的變形體內應變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為δV+δu=0 （2）

虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應變能δu就是實際應變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產生奇點，根據牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應用于分析網殼、網架，從而為進一步研究復雜結構的穩定性提供了啟示，克服現行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學中的有限單元法.機械工業出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結構穩定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網殼結構的穩定性研究.天津大學博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結構穩定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權.長懸臂桁架基于有限元的穩定性和極限承載研究.天津大學碩士畢業論文，2005

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結構的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關鍵詞：穩定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結構。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結構的穩定性是結構平衡狀態的穩定性，任何結構的平衡狀態可能有三種形式：穩定的平衡狀態，不穩定的平衡狀態和隨遇平衡狀態。

假設結構在平衡狀態附近作無限小偏離后，如果結構仍能恢復到平衡狀態，則這種平衡狀態為穩定的平衡狀態；如果結構在微小擾動作用下偏離其平衡狀態后，不能再恢復到原平衡狀態，反而繼續偏離下去，則這種平衡狀態為不穩定的平衡狀態；如果結構在微小偏離其平衡狀態后，既不能再恢復到原平衡狀態，也不繼續偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態為隨遇平衡狀態，隨遇平衡狀態往往是從穩定平衡狀態向不穩定平衡狀態過渡的一種中間狀態。

1.壓桿穩定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協調的任意微小虛位移，外力虛功與內力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態時，應滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內力虛功等于虛位移引起的變形體內應變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為δV+δu=0 （2）

虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應變能δu就是實際應變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產生奇點，根據牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應用于分析網殼、網架，從而為進一步研究復雜結構的穩定性提供了啟示，克服現行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學中的有限單元法.機械工業出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結構穩定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網殼結構的穩定性研究.天津大學博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結構穩定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權.長懸臂桁架基于有限元的穩定性和極限承載研究.天津大學碩士畢業論文，2005

摘 要：本文首先介紹了分析壓桿穩定的線性有限單元，然后引入對幾何非線性問題的一般討論，提出了結構的切線剛度矩陣。最后介紹了求解幾何非線性方程的牛頓——拉斐遜法，應用此方法通過編程分析得出簡單桁架荷載—位移曲線。

關鍵詞：穩定性；有限元；幾何非線性；切線剛度矩陣；簡單桁架

桁架是由一些細長桿在其兩端連接（利用焊接或鉚接等方法）而成的幾何形狀不變的結構。它在橋梁、起重機與屋架等工程對象中得到廣泛的應用。如果桁架所有桿件的軸線與其受到的載荷均在一個平面內，稱此類桁架為平面桁架，否則稱為空間桁架。

結構的穩定性是結構平衡狀態的穩定性，任何結構的平衡狀態可能有三種形式：穩定的平衡狀態，不穩定的平衡狀態和隨遇平衡狀態。

假設結構在平衡狀態附近作無限小偏離后，如果結構仍能恢復到平衡狀態，則這種平衡狀態為穩定的平衡狀態；如果結構在微小擾動作用下偏離其平衡狀態后，不能再恢復到原平衡狀態，反而繼續偏離下去，則這種平衡狀態為不穩定的平衡狀態；如果結構在微小偏離其平衡狀態后，既不能再恢復到原平衡狀態，也不繼續偏離下去，而是在新的位置形成新的平衡，則這種平衡狀態為隨遇平衡狀態，隨遇平衡狀態往往是從穩定平衡狀態向不穩定平衡狀態過渡的一種中間狀態。

1.壓桿穩定的線性有限單元法——瑞利-里茲法

變形體的虛位移原理表明：變形體處于平衡狀態的充分和必要條件是，對與支承約束條件相協調的任意微小虛位移，外力虛功與內力虛功的總和等于零。

如以δWe代表外力因虛位移而作的虛功，以δWi代表內力因虛位移所做的虛功，則當該變形體處于平衡狀態時，應滿足δWe+δWi=0 （1）

在保守系統中，外力虛功等于虛位移引起的外力勢能改變的負值，則δWe可改寫為-δV。內力虛功等于虛位移引起的變形體內應變能的變化的負值，則δWi可改寫為：-δU，則式（a）可寫為δV+δu=0 （2）

虛位移是滿足體系支承約束條件下的一個微小位移變化，是實際位移的一階變分，因此虛應變能δu就是實際應變能的一階變分，-δWe就是實際外力勢能（-We）的一階變分，簡寫為-δWe。故式（b）可以寫成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W為體系具有的總勢能。當體系處于在平衡狀態時，總勢能的一階變分為零，或此體系的總勢能為駐值。這就是勢能駐值原理。

瑞利-里茲法是建立在勢能駐值原理基礎上的近似方法。今假定體系在中性平衡時的位移用沿坐標軸x，y，z方向的三個位移u，v，w來表示，并分別取下列位移函數

在簡單桁架達到極限荷載后，由于切線剛度矩陣行列式的值趨近于零，從而產生奇點，根據牛頓——拉斐遜法編制的程序計算發生溢出。

通過上述算例可知，可以將基于有限元的非線性（幾何非線性、材料非線性）分析方法應用于分析網殼、網架，從而為進一步研究復雜結構的穩定性提供了啟示，克服現行的有限元分析軟件收斂性要求過高、單元劃分過于嚴格的缺點。

參考文獻

[1] 丁皓江、何福保等.彈性和塑性力學中的有限單元法.機械工業出版社，1989

[2] 劉光棟、羅漢泉.桿系結構穩定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.單層球面網殼結構的穩定性研究.天津大學博士生論文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.結構穩定理論.高等教育出版社，1989

[5] 王國權.長懸臂桁架基于有限元的穩定性和極限承載研究.天津大學碩士畢業論文，2005