海上超大型浮體的水彈性響應預報

萬志男，翟鋼軍，程勇

(1.中交第四航務工程勘察設計院有限公司，廣東廣州510230;2.大連理工大學深海工程研究中心，遼寧 大連116024)

隨著地球上人口的急劇膨脹，陸上資源供應已趨極限，為了緩解能源危機，各國都把經濟發展的重點轉移到海洋，海洋開發將形成如海洋油氣工業、海洋化學工業、深海采礦業等一批新興產業［1］。面對這一形勢，國際海洋工程界掀起了研究超大型浮體(VLFS)的熱潮，所謂超大型浮體是指那些尺度以公里計的浮式海洋結構物，其長寬方向與厚度方向的尺度比值較大，是一種極為扁平、柔度非常大的結構，必須考慮結構的彈性變形，這是一個典型的流固耦合問題，需要用由Bishop和Price［2］提出的水彈性理論分析，目前，日本、美國等國家取得了大量研究成果，以日本的超大型浮體(Mega-Float)和美國的移動海上基地(MOB)為代表［3-4］，國內學者如吳有生［5-7］發展了適用廣泛的三維水彈性理論，崔維成等［1，8］也對超大型浮體的結構動力特性及技術開發做了相關研究。滕斌等［9］比較了不同模態的收斂速度。黃國燕［10］提出了一種超大型浮體響應計算的簡化方法。隨著水彈性理論的不斷發展，多種數值計算方法被應用于超大型浮體的水彈性計算中［11］，特征函數法求解速度快，占用內存小，精確度高，本文采用特征函數法利用浮體結構的邊界條件及板內外速度勢及速度連續條件建立方程組求解速度勢;應用模態函數展開法對板的撓曲變形進行模態展開計算結構的撓曲變形及彎矩分布，分別討論了水深、波長及其他環境參數對超大型浮體水彈性響應的影響，并對水彈性問題中幾種常用的模態函數進行了比較。

1 模型及基本假設

線性水彈性理論假定流體為均質、無粘、無旋、不可壓縮的理想流體，把浮體假定為一個規則且與波浪的傳播方向平行的薄板，圖1是超大型浮體的薄板模型，x為波浪傳播方向，z代表水深方向，板半長為b，板厚度為t，吃水量為d，水深為h。

圖1 坐標示意圖Fig.1 Sketch of coordinate system

基于上述假設，考慮線性近似下在等深度h水下傳播的二維行進波問題，由于問題是線性的，速度勢 Φ(x，z，t)和撓曲變形W(x，t)等物理量都是頻率為ω的簡諧函數。分離出時間因子e-iωt，得到速度勢以及撓曲變形表達式如下:

式中:ω代表圓頻率，w(x)為薄板的撓曲變形，選取一組適當的模態函數對其展開為

式中:N為模態數，ζl是對應第l階模態的待求系數，fl(x)為對應薄板的第l階模態函數。

2 速度勢求解

根據流場特點，將流體沿±b劃分為3個子域，對速度勢進行特征展開，并在2個邊界上對速度勢和速度做連續匹配建立方程組求解速度勢，這樣計算量比較大，Mei和Black等［12］提出將上述問題分解成對稱和反對稱問題的處理方法，簡化了計算量。流場中的速度勢可分為3大部分:

式中:φⅠ為入射勢，φD為繞射勢，φlR為第l階模態所對應的輻射勢，入射勢為

式中:g為重力加速度，A為波幅，k為波數。

2.1 流場控制方程和邊界條件

假設流體為理想流體，波浪與浮體結構的相互作用問題可以歸結為滿足一定邊界條件和初始條件的拉普拉斯方程求解問題。

流場的控制方程:

自由水面條件:

海底條件:

遠場條件:

物面條件:

2.2 求解速度勢

速度勢可分解為對稱和反對稱速度勢，對于輻射問題，入射波是不存在的，由于上下邊界為非齊次邊界條件，所以該區域的輻射速度勢需要分解為通解和特解，速度勢表達式為

式中:上標S、A分別代表對稱和反對稱，為未知待求的繞射和輻射系數為輻射勢特解，滿足正交關系。

另外流體應該滿足速度勢和速度連續的匹配條件:

由速度勢及速度連續條件求出繞射系數和輻射系數，得到各區域的繞射勢和輻射勢。

3 浮體結構運動方程

把超大型浮體簡化為二維薄板，撓曲方程為

式中:彎曲剛度D=EⅠ，E為彈性模量，Ⅰ為截面慣性矩。

式中:fm(x，t)為慣性力，m為單位板長的質量，P(x，t)為薄板底部對應x處的流體壓力。分離出時間因子后，彈性浮體的運動響應為

底板流體壓力可以分為繞射引起的流體壓力pD(x)和輻射引起的流體壓力plR(x)，其表達式分別為

式中:ρ為流體密度。把式(3)、(35)、(36)代入式(34)進一步得到彈性浮體的頻域運動方程:

對上式兩邊同時乘以fi(x)并沿著薄板底面積分后得到彈性結構運動方程:

式中:Kij為剛度矩陣，Mij為結構質量矩陣，Maij為附加質量矩陣，Cij為輻射阻尼矩陣，Ci為流體作用力向量。浮體內部的彎矩可以求得

4 模態函數及特解

4.1 模態函數

水彈性問題中常采用 Newman［13］自然模態和Madea［14］自然模態，此外 Eatock Taylor 和 Ohkusu［15］利用剛體模態和正弦函數描述彈性梁的振動，余弦函數滿足正交性，可作為模態函。滕斌，勾瑩［9］對各種模態函數作了介紹，本文采用Newman自然模態。

式中:上標S、A代表對稱模態和反對稱模態，x的取值范圍在-b～b，μSl和μAl滿足特征方程:

4.2 輻射勢特解

5 數值結果分析

5.1 程序驗證

為了驗證數值方法及程序的可行性，以 C.Wu等［16］試驗模型作為算例，比較計算結果與實驗結果，試驗模型的主要參數為:長10 m，寬0.5 m，高0.038 m，吃水0.008 36 m，彈性模量103 MPa，材料密度為220 kg/m3，圖2為水深1.1 m，波浪周期為1.429 s薄板的水彈性響應位移和彎矩分布情況，本文計算結果與試驗結果較好地吻合。

圖2 波周期為1.429 s時薄板變形和彎矩分部Fig.2 Deflection and bending moment of floating structure at wave period 1.429 s

5.2 廣義波浪激勵力的計算

選用C.Wu等［16］的試驗模型，計算不同水深下超大型浮體所受廣義波浪激勵力。如圖3所示。

圖3 水深0.8 、1.0 、1.2 m時的廣義激勵力Fig.3 Generalized wave exciting force at water depths of 0.8 、1.0 and 1.2 m

無量綱化后，取前8階模態，發現能取得較好的收斂效果。

5.3 水深及波長對超大型浮體水彈性響應的影響

進一步研究在不同水深條件下，超大型浮體兩端和中間的水彈性響應隨波長的變化，結果如圖4所示。

采用無量綱化，浮體中間的變形值隨著波長增大而增大，而浮體迎浪端與背浪端變形值在個別區間內仍有波動，這點需要特別注意。取0.8 m、1.0 m和1.2 m 3個水深值，隨著水深的增加，浮體兩斷以及中間處的變形并不是單調遞增或者單調遞減，在2b/λ＜5時，浮體迎浪端與背浪端的變形值沒有明顯的變化規律，而中間處的變形值隨著水深增加而減小，在2b/λ＞5時，浮體的迎浪端、背浪端及中間處的變形值均隨著水深增加而增大。

5.4 其他參數對浮體水彈性的影響

超大型浮體柔度較大，本文計算了水深為1.0 m，波長為4.0 m下浮體的變形隨剛度的變化趨勢。如圖5所示，浮體的變形隨著剛度的增加而減小。

圖5 不同剛度下浮體的變形Fig.5 Deflection of the structure at different rigidities

另外本文還探究了不同吃水深度下浮體的變形，下面給出了在水深為1.0 m，波長4.0 m下浮體變形值隨浮體吃水深度的變化趨勢，如圖6所示，隨著吃水深度不斷增加，浮體的變形略微增大。

圖6 不同吃水深度下結構的變形Fig.6 Deflection of structure at different draft

5.5 幾種常用模態函數的比較

前面的研究都是建立在Newman模態上，類似地，還可以應用其他一些常用的模態函數來解決水彈性計算問題，對各種模態函數得到的計算結果與試驗結果進行比較，如圖7所示。

圖7 不同模態函數的數值計算結果與實驗結果的比較Fig.7 Comparison between experimental and computational results of different model functions

圖7為Newman模態、Madea模態、正弦模態和余弦模態，周期分別為0.7 s和1.429 s時4種常用的模態函數的水彈性變形分布。

4 結束語

波浪于超大型浮體的作用是涉及結構動力學和水動力學的一門交叉學科，本文結合特征函數法和模態函數法，計算超大型浮體的水彈性響應，對比數值計算結果與國外學者的實驗結果，發現兩者較好地吻合。進一步分析了水深、波要素及其他環境參數對超大型浮體的水彈性響應的影響，同時對水彈性問題中幾種常用的模態函數進行了比較，豐富了超大型浮體水彈性問題的研究，為超大型浮體的間接時域分析提供了參考依據。

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