曲線箱梁橋的空間傳遞矩陣

閆仙麗，李青寧

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西西安710055)

曲線箱梁橋在現代橋梁建設中的應用非常廣泛，其受力狀況復雜，尤其在預應力作用下表現為彎扭耦合作用下的空間受力，一直以來都是眾多專家學者研究的熱點［1-5］。目前關于曲線箱梁橋的設計理論主要有純扭轉理論、約束扭轉理論、梁格理論以及橫向分布理論等，計算方法主要包括精確計算法、有限元法、梁格法等［6-7］，各種理論方法都有其優缺點及適用范圍。以往的研究方法主要集中于剛度法，相對剛度法而言，傳遞矩陣法力學概念清晰、編程方便、計算精度高，目前已有不少學者將傳遞矩陣法運用于曲線橋計算［8-12］，如孫建鵬［13］將精細積分法與傳遞矩陣法相結合，推出了曲線梁橋在不同荷載情況下的精細積分公式，王福敏［14］將傳遞矩陣運用于曲線橋的工程實踐等，但是文獻［13］中傳遞矩陣為隱式，計算中采用精細積分法，計算復雜且耗時，文獻［14］采用推導方法復雜，影響其推廣應用，且二者均沒有考慮箱梁剪切中心與形心可能不重合的影響，為此本文結合平衡方程、卡式定理及虛功原理推導了線彈性曲線箱梁的空間傳遞矩陣。

1 曲線箱梁的狀態向量

如圖1所示懸臂梁(計算過程中懸臂梁的固定端根據不同情況選取為i端或j端)，半徑為R，取單元i端局部坐標系為:原點為截面形心C，x軸為截面形心連線，y軸為截面徑向形心主軸，z軸為截面豎向形心主軸。zs為剪切中心到形心軸的距離，α為曲梁的中心角，規定曲率正方向為順時針方向。

圖1 曲線箱梁計算圖Fig.1 Calculation diagram of curved box-girder bridge

曲線箱梁的狀態向量包括:3個方向的力、力矩及其對應的位移，寫成向量形式為 S=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz］T，其中軸力N，彎矩Mz，My作用點為形心C，剪力Vy，Vz和扭矩T作用點為剪切中心S。

懸臂梁段i、j端的狀態向量關系為

式中:T為曲梁由i端到j端的傳遞矩陣。

2 傳遞矩陣T的推導

計算中假定:箱梁為彈性受力狀態;由于翹曲畸變引起的內力較小，所以計算中忽略二者影響;箱梁剪切中心與截面形心位置不在同一點。

根據傳遞矩陣T中元素的物理意義，將矩陣分成4 部分(T1，T2，T3，T4)分別進行求解，如式(2)所示。

2.1 求解 T1

T1各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到節點力 Fi=［NiVyiVziTiMyiMzi］T作用時，在截面j端產生的力:

Fj=［NjVyjVzjTjMyjMzj］T

選取基本體系為j端固定的懸臂梁，由平衡條件得

寫成矩陣形式為

式中:

2.2 求解T2

T2各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到的支座位移Ui=［uxiuyiuziφxiφyiφzi］T作用時，在截面j端產生的力:

Fj=［NjVyjVzjTjMyjMzj］T即:

選取基本體系為i端固定的懸臂梁，由平衡條件得

2.3 求解 T3

T3各項的物理意義為:當懸臂梁在i端受到節點力Fi=［NiVyiVziTiMyiMzi］T的作用時，在截面j端產生的位移:

Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T

即:

選取基本體系為j端固定的懸臂梁，設i端受到節點力Fi作用時，梁上任一點θ處的截面內力為

曲線梁的應變能為

式中:Ay、Az、Ax分別為箱梁y、z方向的剪切面積、截面積;Ⅰy、Ⅰz、K為箱梁y、z軸方向的截面慣性矩、截面扭轉常數;μ為剪切系數。

由卡氏原理求出T3中各元素:

計算得到

式中:

2.4 求解 T4

T4各項的物理意義為:當懸臂梁在i端有支座位移 Ui=［uxiuyiuziφxiφyiφzi］T作用時，在截面j端產生的位移:

Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T即:

選取計算基本體系為i端固定的懸臂梁，令i端分別發生各個方向的單位支座位移uli時，求j端產生的相應位移值tjk。根據虛功原理，采用單位力法，因在靜定結構中，支座位移不產生內力，因此虛功原理表達式簡化為

式中:tjk為i端位移值，uli為i端支座位移(分別取uxi、uyi、uzi、φxi、φyi、φzi);Ril為i端支座反力。

計算結果如下:

3 外荷載作用下的傳遞矩陣

3.1 基本概念及求解方法

考慮外荷載作用時，為使計算簡單，將外荷載項引入傳遞矩陣內部，在單元傳遞關系中，增加一個恒等式1≡1。

定義梁上任意點的狀態矢量為 S=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz1］T，則單元兩端傳遞關系為

式中:T=為13×13矩陣，表示包含外荷載項的曲梁單元由i端到j端的傳遞矩陣;pt1，p-p t12，p為外荷載p引起的內力和變形，根據外荷載的不同類型，p取為qz、Pz、Mx等。

定義:

式中:SPF為外荷載p引起的力向量，SPδ為外荷載p引起的位移向量。

將外荷載分別單獨作用于單元基本計算體系，求解單元的外荷載向量。

3.1.1 SPF求解

SPF各項的物理意義為:當懸臂梁在單獨單位外荷載下作用時，在截面j端產生的力 Fj={NjVyjVzjTjMyjMzj}T，選取基本體系為j端固定的懸臂梁，由平衡條件得

式中:Px、Py、Pz、T、My、Mz分別為荷載的x向、y向、z向分量及其對j端的力矩。

3.1.2 SPδ求解

SP各項的物理意義為:當懸臂梁在單獨單位外δ荷載下作用時，在截面j端產生的位移 Uj=［uxjuyjuzjφxjφyjφzj］T。選取計算基本體系為j端固定的懸臂梁，參照T3求解過程，將節點力換為外荷載，由卡式定理求解。

3.2 均布豎向荷載qz作用下外荷載項的求解

如圖2所示，均布豎向荷載qz作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖2 均布豎向荷載qzFig.2 Vertical uniformly distributed load qz

3.3 集中豎向荷載Pz作用下外荷載項的求解

如圖3所示，Pz作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖3 集中豎向荷載PzFig.3 Vertical concentrated load Pz

3.4 集中扭轉荷載Mx作用下外荷載項的求解

如圖4所示，Mx作用下，由平衡條件和卡式定理得:單元j端的外荷載向量為

式中:

圖4 集中扭轉荷載MxFig.4 Concentrated torsional load Mx

4 計算實例

為了驗證公式的正確性，采用模型試驗梁示例。如圖5所示單跨曲線箱梁橋，橋長30 m，梁寬8 m，曲線半徑R=30 m，圓心角為57°，單箱單室截面，所受荷載為沿全橋的均布荷載100 kN/m，集中豎向力280 kN，集中豎向扭矩1 000 kN·m，求截面內力。

圖5 橋梁計算簡圖及截面尺寸(cm)Fig.5 Bridge calculation diagram and section size(cm)

將該橋梁平均分為8段(節點編號順序如圖5)，定義任意截面的狀態矢量為 Sk=［NVyVzTMyMzuxuyuzφxφyφz1］Tk(k=1，2，…，9)，則每段梁的傳遞關系為

式中:Tk=為各段梁單元的傳遞矩陣。

T1，3，4，5，6，7中 ，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載下SPqz中相應數值，即pti，p=qztqz i，p，式中 α=7.125°;

T2中，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載SPqz和集中荷載SPFz下中相應數值的和，即pti，p=，式中:α=7.125°，θ=0°，γ=7.125°;

T8中，pt1，p，pt2，p，…，pt12，p為均布荷載SPqz和集中扭轉荷載SPMx下中相應數值的和，即pti，p，式中 α =7.125°，θ=0°，γ =7.125°。

結構整體傳遞方程為

將邊界條件:

S1=［NVyVzT0 0 0 0 0 0 φyφz1］1T

S9=［0VyVzT0 0ux0 0 0 φyφz1］9T

代入式(25)得到邊界條件中的未知參數，然后代入每段梁的傳遞矩陣式(24)，得到所有截面的狀態矢量。

將上述傳遞過程采用Matlab軟件進行編程計算，得到結果如表1所示。

表1 傳遞矩陣法(TMM)與有限元法(FEM)計算的橋梁內力值Table 1 Internal force of the model bridge calculated by TMM and FEM

為與傳遞矩陣法相比較，將該曲線梁橋采用有限元軟件Midas進行建模分析，采用“以直代曲”法，將全橋劃分為16，40，80個直梁單元分別進行建模分析，其計算結果如表1。

對比表1有限元軟件Midas與本文傳遞矩陣公式法計算得到的內力結果，可看出2種方法計算結果基本吻合，有限元分析中，隨著單元劃分數量增加，其結果越來越接近于傳遞矩陣法計算結果，說明相比于有限元法，傳遞矩陣公式法更為精確，劃分8個單元的精度便可高于有限元法80個單元的結果，原因在于本文推導傳遞矩陣公式均為解析解。

4 結論

1)本文推導了曲線箱梁橋的空間傳遞矩陣公式，針對實例進行了編程運算，與有限元法計算結果進行對比，二者結果基本吻合，說明該公式是有效的，本文推導方法可行。

2)通過對不同單元劃分情況下的有限元分析結果與傳遞矩陣法分析結果進行對比可得出，本文傳遞矩陣公式法因其為精確解析解，計算結果比“以直代曲”有限元法法更為精確，劃分較少單元卻能達到很高的精度，計算效率提高。

3)由于本文推導公式均為顯式，且為精確解，在簡單荷載情況下，手算也可實現?？捎糜诠こ碳皩W習中的計算及檢驗。

4)從本文推導過程可看出，與傳統初參數法相比較，本文推導方法概念清晰，計算簡單，可推廣應用于其他結構在各種不同荷載情況下傳遞矩陣公式的推導。

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