一道常見概率題目的錯(cuò)解

張良+徐釗

摘要：正態(tài)分布是我們最常見最重要的分布之一，它不僅具有重要的實(shí)際應(yīng)用背景和理論價(jià)值，還具有很多重要的性質(zhì)；相關(guān)系數(shù)是重要的數(shù)字特征之一。我們給出數(shù)學(xué)教學(xué)中同學(xué)們對(duì)一道關(guān)于正態(tài)分布和相關(guān)系數(shù)關(guān)系的常見題目的錯(cuò)解并進(jìn)行分析解答。

關(guān)鍵詞：協(xié)方差；相關(guān)系數(shù)；概率

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）38-0127-02

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)是概率論課程中兩個(gè)重要的數(shù)字特征[1，2]。教學(xué)中我們經(jīng)常遇到有些同學(xué)錯(cuò)解下列題目。

例：已知隨機(jī)變量X與Y分別服從N（1，32）和N（1，42），X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=-，令Z=X+Y，問：

（1）X與Z的相關(guān)系數(shù)；

（2）X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)了二維正態(tài)分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性之后，很多同學(xué)的解答如下：

解答：（1）由題意知：D（X）=32，D（Y）=42；根據(jù)協(xié)方差的定義和性質(zhì)得

Cov（X，Z）=CovX

，

X+Y=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）+ρXY=3-3=0；

（2）由二維正態(tài)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)為零和相互獨(dú)立兩者等價(jià)的結(jié)論可知隨機(jī)變量X和Z是相互獨(dú)立的。

分析：根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)可知第一問的解答是正確的，但是第二問的解答卻是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生對(duì)二維正態(tài)分布與隨機(jī)變量之間的關(guān)系沒有理解清楚。具體原因如下：

由題意知ρXY=，所以隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y不相互獨(dú)立（如果兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立則相關(guān)系數(shù)為0）。因此，我們不能得到隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y的線性組合Z=X+Y服從正態(tài)分布；退一步講，如果隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，我們也不能得到正態(tài)隨機(jī)變量X和正態(tài)隨機(jī)變量Z服從二維正態(tài)分布（邊緣分布為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布）。我們舉例說明如下：

例：令二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

f（x，y）=e（1+sinxsiny）

顯然，根據(jù)二維正態(tài)分布的定義可知（X，Y）不服從二維正態(tài)分布，但是我們可以求的其邊緣分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

fX（x）=f（x，y）dy=eedy+esinxesinydy=e

同理，我們可得關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為

fY（y）=e

因此，邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量（X，Y），其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布。

綜上分析可知，雖然對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y）而言隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y相互獨(dú)立等價(jià)于ρXY=0，但是本題僅由隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Z的相關(guān)系數(shù)等于零并不能判斷隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

概率論基礎(chǔ)是大學(xué)課程中非常重要的一門公共基礎(chǔ)課，它指導(dǎo)我們客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，掌握隨機(jī)現(xiàn)象背后蘊(yùn)含的規(guī)律。但是，由于概率論學(xué)科體系的抽象性和邏輯性導(dǎo)致很多學(xué)生存在學(xué)習(xí)困難。如何指導(dǎo)學(xué)生從概率論這門學(xué)科發(fā)展過程來學(xué)習(xí)概率，學(xué)習(xí)前人積累的科學(xué)知識(shí)，理順一些重要定義之間的關(guān)系，是我們教學(xué)過程中需要注意的地方。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭滿才，徐釗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金（201104054460），西北農(nóng)林科技大學(xué)本科優(yōu)質(zhì)課程15018。

作者簡(jiǎn)介：張良（1979-），男，山東日照人，博士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。endprint

摘要：正態(tài)分布是我們最常見最重要的分布之一，它不僅具有重要的實(shí)際應(yīng)用背景和理論價(jià)值，還具有很多重要的性質(zhì)；相關(guān)系數(shù)是重要的數(shù)字特征之一。我們給出數(shù)學(xué)教學(xué)中同學(xué)們對(duì)一道關(guān)于正態(tài)分布和相關(guān)系數(shù)關(guān)系的常見題目的錯(cuò)解并進(jìn)行分析解答。

關(guān)鍵詞：協(xié)方差；相關(guān)系數(shù)；概率

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）38-0127-02

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)是概率論課程中兩個(gè)重要的數(shù)字特征[1，2]。教學(xué)中我們經(jīng)常遇到有些同學(xué)錯(cuò)解下列題目。

例：已知隨機(jī)變量X與Y分別服從N（1，32）和N（1，42），X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=-，令Z=X+Y，問：

（1）X與Z的相關(guān)系數(shù)；

（2）X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)了二維正態(tài)分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性之后，很多同學(xué)的解答如下：

解答：（1）由題意知：D（X）=32，D（Y）=42；根據(jù)協(xié)方差的定義和性質(zhì)得

Cov（X，Z）=CovX

，

X+Y=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）+ρXY=3-3=0；

（2）由二維正態(tài)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)為零和相互獨(dú)立兩者等價(jià)的結(jié)論可知隨機(jī)變量X和Z是相互獨(dú)立的。

分析：根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)可知第一問的解答是正確的，但是第二問的解答卻是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生對(duì)二維正態(tài)分布與隨機(jī)變量之間的關(guān)系沒有理解清楚。具體原因如下：

由題意知ρXY=，所以隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y不相互獨(dú)立（如果兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立則相關(guān)系數(shù)為0）。因此，我們不能得到隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y的線性組合Z=X+Y服從正態(tài)分布；退一步講，如果隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，我們也不能得到正態(tài)隨機(jī)變量X和正態(tài)隨機(jī)變量Z服從二維正態(tài)分布（邊緣分布為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布）。我們舉例說明如下：

例：令二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

f（x，y）=e（1+sinxsiny）

顯然，根據(jù)二維正態(tài)分布的定義可知（X，Y）不服從二維正態(tài)分布，但是我們可以求的其邊緣分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

fX（x）=f（x，y）dy=eedy+esinxesinydy=e

同理，我們可得關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為

fY（y）=e

因此，邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量（X，Y），其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布。

綜上分析可知，雖然對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y）而言隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y相互獨(dú)立等價(jià)于ρXY=0，但是本題僅由隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Z的相關(guān)系數(shù)等于零并不能判斷隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

概率論基礎(chǔ)是大學(xué)課程中非常重要的一門公共基礎(chǔ)課，它指導(dǎo)我們客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，掌握隨機(jī)現(xiàn)象背后蘊(yùn)含的規(guī)律。但是，由于概率論學(xué)科體系的抽象性和邏輯性導(dǎo)致很多學(xué)生存在學(xué)習(xí)困難。如何指導(dǎo)學(xué)生從概率論這門學(xué)科發(fā)展過程來學(xué)習(xí)概率，學(xué)習(xí)前人積累的科學(xué)知識(shí)，理順一些重要定義之間的關(guān)系，是我們教學(xué)過程中需要注意的地方。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭滿才，徐釗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金（201104054460），西北農(nóng)林科技大學(xué)本科優(yōu)質(zhì)課程15018。

作者簡(jiǎn)介：張良（1979-），男，山東日照人，博士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。endprint

摘要：正態(tài)分布是我們最常見最重要的分布之一，它不僅具有重要的實(shí)際應(yīng)用背景和理論價(jià)值，還具有很多重要的性質(zhì)；相關(guān)系數(shù)是重要的數(shù)字特征之一。我們給出數(shù)學(xué)教學(xué)中同學(xué)們對(duì)一道關(guān)于正態(tài)分布和相關(guān)系數(shù)關(guān)系的常見題目的錯(cuò)解并進(jìn)行分析解答。

關(guān)鍵詞：協(xié)方差；相關(guān)系數(shù)；概率

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）38-0127-02

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)是概率論課程中兩個(gè)重要的數(shù)字特征[1，2]。教學(xué)中我們經(jīng)常遇到有些同學(xué)錯(cuò)解下列題目。

例：已知隨機(jī)變量X與Y分別服從N（1，32）和N（1，42），X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=-，令Z=X+Y，問：

（1）X與Z的相關(guān)系數(shù)；

（2）X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)了二維正態(tài)分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性之后，很多同學(xué)的解答如下：

解答：（1）由題意知：D（X）=32，D（Y）=42；根據(jù)協(xié)方差的定義和性質(zhì)得

Cov（X，Z）=CovX

，

X+Y=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）+ρXY=3-3=0；

（2）由二維正態(tài)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)為零和相互獨(dú)立兩者等價(jià)的結(jié)論可知隨機(jī)變量X和Z是相互獨(dú)立的。

分析：根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)可知第一問的解答是正確的，但是第二問的解答卻是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生對(duì)二維正態(tài)分布與隨機(jī)變量之間的關(guān)系沒有理解清楚。具體原因如下：

由題意知ρXY=，所以隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y不相互獨(dú)立（如果兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立則相關(guān)系數(shù)為0）。因此，我們不能得到隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y的線性組合Z=X+Y服從正態(tài)分布；退一步講，如果隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，我們也不能得到正態(tài)隨機(jī)變量X和正態(tài)隨機(jī)變量Z服從二維正態(tài)分布（邊緣分布為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布）。我們舉例說明如下：

例：令二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

f（x，y）=e（1+sinxsiny）

顯然，根據(jù)二維正態(tài)分布的定義可知（X，Y）不服從二維正態(tài)分布，但是我們可以求的其邊緣分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

fX（x）=f（x，y）dy=eedy+esinxesinydy=e

同理，我們可得關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為

fY（y）=e

因此，邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量（X，Y），其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布。

綜上分析可知，雖然對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y）而言隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y相互獨(dú)立等價(jià)于ρXY=0，但是本題僅由隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Z的相關(guān)系數(shù)等于零并不能判斷隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

概率論基礎(chǔ)是大學(xué)課程中非常重要的一門公共基礎(chǔ)課，它指導(dǎo)我們客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，掌握隨機(jī)現(xiàn)象背后蘊(yùn)含的規(guī)律。但是，由于概率論學(xué)科體系的抽象性和邏輯性導(dǎo)致很多學(xué)生存在學(xué)習(xí)困難。如何指導(dǎo)學(xué)生從概率論這門學(xué)科發(fā)展過程來學(xué)習(xí)概率，學(xué)習(xí)前人積累的科學(xué)知識(shí)，理順一些重要定義之間的關(guān)系，是我們教學(xué)過程中需要注意的地方。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭滿才，徐釗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金（201104054460），西北農(nóng)林科技大學(xué)本科優(yōu)質(zhì)課程15018。

作者簡(jiǎn)介：張良（1979-），男，山東日照人，博士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。endprint