一類雙障礙問題的很弱解的全局正則性

周樹清

(湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081；高性能計算與隨機信息處理省部共建教育部重點實驗室，中國 長沙 410081)

一類雙障礙問題的很弱解的全局正則性

周樹清*

(湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081；高性能計算與隨機信息處理省部共建教育部重點實驗室，中國 長沙 410081)

應用Hodge分解定理，得到了非齊次A-調和方程-divA(x,Du(x))=f(x,u(x))對應控制的雙障礙問題的很弱解W1，q(Ω)-正則性，其中，A(x,Du(x)),f(x,u(x))滿足文中所給的條件，從而推廣了相關文獻中的有關結果.該結果在優化控制問題中有著廣泛的應用.

非齊次A-調和方程；雙障礙問題；優化控制；Hodge分解；W1，q(Ω)-正則性

1 主要結果及預備引理

設1

-divA(x,Du(x))=f(x,u(x))

(1)

對應的雙障礙問題，其中，A(x,h)和f(x,u)為Caratheodory函數，滿足：存在正常數γ,α,β,a,使得對a.e.x∈Ω和所有的h∈Rn,有

(i)橢圓性條件 〈A(x,h),h〉≥α|h|p,h∈Rn{0}；

(2)

(ii)控制增長條件 |A(x,h)|≤β|h|p-1+ξ(x)，|f(x,u)|≤a|u|(p-1)γ+m(x)，

(3)

這里，ξ(x),m(x)為Ω上給定的函數.

稱區域Ω是正則的，是指使Hodge分解定理[1]都成立的區域.如Lipschitz區域是正則的.

|D(v-u)|r-pD(v-u)=Dφu,v+H.

(4)

受文獻[2]的啟發，引入如下的定義.

(5)

注1“很弱”的意思是指解空間的Sobolev指數r比算子的橢圓指數p小.由Hodge分解的唯一性知，當r=p時，此定義與通常的雙障礙問題的弱解的定義相同[3].

對方程(1)的雙障礙問題，有如下的正則性結果：

為了討論雙障礙問題的很弱解的全局正則性，需要對區域的邊界?Ω做一些正則性假設.

(6)

在上述定義中把方體改為球體，則稱邊界?Ω是pB-Poincaré厚的.

注2易證上述兩種邊界正則性條件是等價的.

稱區域Ω是A-型區域是指：對?x0∈Ω,0<ρ

注3由文獻[5]知，Lipschitz型區域是A型區域.

先給出一些記號和引理.設0

這里,uR其中C只依賴于p,q和n.

下面的引理是Sobleve-Poincaré不等式、H?lder不等式及引理1的簡單推論.

引理3[1](Hodge分解定理) 設Ω是正則的，N為正整數,0<

|Du|Du=Dφ+H,

(7)

并且

(8)

其中C是一個只依賴于N,n與Ω的常數.

注4由(7)及(8)易知，Dφ也有類似于(11)的估計式.

引理4[16]假定X和Y是內積空間中的向量,0≤<1,則有

||X|X-|Y|Y|≤|X-Y|.

引理5[1，5](逆H?lder不等式) 假設f(x)和g(x)為Q?Rn上非負可測函數，并且滿足：

其中Md(x)(g)(x)是g(x)的局部極大函數,b>1且0≤θ<1,而Q是Rn中的一個緊的方形，則存在一個常數0=0(b,n,p,θ),使得?q∈[p,p+0),有(Q).

2 定理1及定理2的證明

約定僅依賴于n,p,α,β,γ,s,a,A及R0的常數都將用同一個字母C表示.

Dφu,v+H=|D(v-u)|D(v-u)=-|D{ηp[w-(u-u2R)]}|D{ηp[w-(u-u2R)]}，

(9)

并且

(10)

其中C是一個只依賴于n與Ω的常數.由w的定義易得

(11)

由Minkowski不等式、引理1、式(11)及不等式(a+b)p≤ap+bp(a≥0,b≥0,0≤p≤1)

(12)

于是由(10)、(12)得到

(13)

(14)

把φu,v代入(5)中，并利用條件(2)，(3)、引理4、Hodge分解(9)、(11)～(14)、H?lder不等式、Young不等式、Sobolev-Poincaré不等式以及Minkowski不等式，對任意V>0,有

|D{ηp[w-(u-u2R)]}D{ηp[w-(u-u2R)]}〉dx

(15)

(16)

(17)

由(13)～(17)得

(18)

|Dψ|r]dx+(C+υ+φ(R))—(|Du|t+|udx.

(19)

取υ,R1,1>0足夠小，即存在r1=p-1

(20)

|D(v-u)|D(v-u)=Dφu,v+H=-|D[ηp(u-θ)]||D[ηp(u-θ)]|.

(21)

(22)

其中C是一個只依賴于n與Ω的常數.

連續零延拓函數u-θ到RnΩ,并考慮到區域是A型的，從而由引理2以及的選擇可得，?Ω是pB-Poincaré厚的.由Minkowski不等式、η的選取以及?Ω是pB-Poincaré厚的，可得

于是

(23)

(24)

把φu,v代入(5)中，并利用條件(2)、(3)、引理4、Hodge分解(22)得

(25)

由(23)、(24)、(16)、H?lder不等式及Minkowski不等式得，

(26)

(27)

由(25)～(27)以及(16)得

(28)

這里，τ=C(+τ1+Rφ(R)),max{1,}≤t

(29)

取τ1,R0,0>0足夠小，即存在r1=p-0

(30)

這里tr1,使得u∈W1,r2(Ω).類似，可取r2>p.證畢.

[1] SERRIN J. Pathological solutions of elliptic differential equations[J]. Ann Sc Norm Sup Pisa, 1964,18(3):385-387.

[2] LI J, Gao H. Local regularity results for very weak solutions of obstacle problems[J]. Radovi Matematiki, 2003,12:19-26.

[3] LI G, MARTIO O. Stability and higher integrability of derivatives of solutions in double obstacle problems[J]. J Math Anal Appl, 2002,272(1):19-29.

[4] LI G, MARTIO O. Local and global integrability of gradients in obstacle problems[J]. Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math, 1994,19:25-34.

[5] GIAQUINTQ M. Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems[M]. New Jersey: Princeton University Press, 1983.

[6] CAFFARELLIL L A. The obstacle problem revisited[J]. J Fourier Ana and Appl, 1998,5(4):383-402.

[7] CAFFARELLIL L A, SALSA S, SILVESTRE L. Regularity estimates for the solution and the free boundary of the obstacle problem for the fractional Laplacian[J]. Invent Math, 2008,171(2):425-461.

[8] IWANIEC T, SBORDONE C. Weak minima of variational integrals[J]. J Reine Angew Math, 1994,1994(454):143-161.

[9] LEWIS L. On very weak solutions of certain elliptic systems[J]. Comm Part Di Equ, 1993,18(9&10):1515-1537.

[10] 高紅亞，何 茜，牛紅玲，等.A-調和方程障礙問題很弱解的局部正則性[J].數學物理學報，2009,29A(5):1291-1297.

[11] HU H, ZHOU S, OUYANG W. Local regularity in obstacle problem[J]. J Xiangnan Univ, 2007,28(5):13-17.

[12] 鄭神州.擬正則映照的一些問題[D].上海：復旦大學博士論文, 1997.

[13] ZHOU S, GAO H, ZHU H. Uniqueness of very weak solutions to a class of nonlinear elliptic equations[J]. Chinese J Contem Math, 2007,28(1):99-108.

[14] 周樹清.一類非齊次A-調和方程組很弱解的正則性[J].數學年刊, 2002,23A(3):283-288.

[15] 周樹清，文海英，方華強.一類非齊次A-調和方程組很弱解的性質[J].數學物理學報, 2003,23A(2):135-144.

[16] IWANIEC T, MILGLIACCIO L, SBORDONE C. Integrability and removability results for quasi-regular mappings in high dimension[J]. Math Scand, 1994,75:263-279.

(編輯 沈小玲)

Global Regularity for very Weak Solutions to a Class of Double Obstacle Problems

ZHOUShu-qing*

(School of Mathematics and Computer, Hunan Normal University, Changsha 410081, China;Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing, Changsha 410081, China)

Using Hodge decomposition theorem,W1,q(Ω) -regularity for very weak solutions to double obstacle problems associated with non-homogeneousA-harmonic equations div(A(x,Du(x)))=f(x,u(x)) is obtained under certain conditions onA(x,Du(x)),f(x,u(x)) listed in the context, and therefore the corresponding results in related literatures are generalized. The results could be widely used in optimal control problems.

non-homogeneousA-harmonic equation; double obstacle problems; optimal control; Hodge decomposition;W1,q-regularity

2013-04-27

國家自然科學基金資助項目(10971061、11271120)；湖南省自然科學基金資助項目(11JJ6005);湖南省重點學科建設資助項目

*

,E-mail：zhoushuqing@163.com

O175.25

A

1000-2537(2014)04-0072-05