判定全等三角形的方法提煉

施克全

摘 要：初一學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形全等的條件時(shí)有一個(gè)共同的感受：在學(xué)習(xí)一個(gè)判定條件時(shí)，感覺有所收獲，在學(xué)好所有的判定條件后，再來做三角形全等的練習(xí)時(shí)，就感覺無從下手。針對以上問題，最好的策略是提煉判定全等三角形的方法。

關(guān)鍵詞：提煉；全等三角形；判定方法

數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是知識的精髓，又是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此，我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用。

對于浙教版的初一學(xué)生來說，判定全等三角形的依據(jù)有4個(gè)：SSS、SAS、ASA、AAS。初一學(xué)生由于受自身思維能力的限制，在平時(shí)運(yùn)用這些依據(jù)的時(shí)候難免會出現(xiàn)混淆、思路混亂的情況。針對這些情況，教師對判定全等三角形的方法提煉上更有它的指導(dǎo)意義。

下面我粗淺地談?wù)勗谂卸ㄈ热切蔚姆椒ㄌ釤捝系囊稽c(diǎn)思考：

第一，從總體上去提煉。所謂站得高看得遠(yuǎn)，數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣，都需要高瞻遠(yuǎn)矚。把握了總體的解題思路，才能在練習(xí)中準(zhǔn)備把握解題方法，不至于脫離軌道。因此，總體思維的養(yǎng)成至關(guān)重要，而這種總體把握思維的養(yǎng)成，首先需要對于知識的演繹。

所以，在課堂上，教師應(yīng)先讓學(xué)生自己列舉全等三角形的所有判定方法，學(xué)生不難總結(jié)出總共四種：SSS、SAS、ASA、AAS。得出四種情況后，教師在此可追問學(xué)生：“在這四種判定方法中，你發(fā)現(xiàn)了什么共同特點(diǎn)嗎？”在這個(gè)過程中，教師應(yīng)不斷啟發(fā)學(xué)生，而啟發(fā)學(xué)生至少認(rèn)識到以下兩點(diǎn)：需要三個(gè)對應(yīng)量相等，至少要有一條對應(yīng)邊相等。

這樣在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，我們就可以先找一組對應(yīng)邊相等的條件，再根據(jù)邊的情況再來尋找其他相等的條件。只有這樣把握從整體上的方法和思想，才能對全等三角形的判定有一個(gè)深刻的認(rèn)識，然后再由表及里、由淺入深，在發(fā)散數(shù)學(xué)思維的同時(shí)也落實(shí)在平時(shí)的練習(xí)中。

第二，從基本圖形上去提煉。圖形是幾何的載體，圖形的解析更是形象思維養(yǎng)成的最有效的手段。而形象思維在數(shù)學(xué)解題特別是幾何題中，又會反過來影響各類題型的解題。在這種相互影響的重要性下，如何從基本圖形上著手去判定三角形全等也十分重要。

那么在過程中，我們應(yīng)先讓學(xué)生了解兩個(gè)全等三角形的常見位置關(guān)系。我們可以兩個(gè)學(xué)生為一組，讓他們利用兩個(gè)全等的三角板進(jìn)行拼圖。在這個(gè)過程，學(xué)生只要結(jié)合自己平時(shí)的練習(xí)和全班學(xué)生的互動，基本上可以擺出以下幾種組合（篇幅所限，圖略）。

幾何圖形的形象性，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)方法、幾何練習(xí)中更加形象和具體。這無疑是有利于我們利用它對全等三角形的判定，但是在利用基本幾何圖形去判定時(shí)應(yīng)注意放手讓學(xué)生自己去討論、歸類，然后得出圖形判定的雛形，教師再從中加以引導(dǎo)、歸納，這樣學(xué)生對這種方法的掌握就會印象深刻，也更容易延伸運(yùn)用。

第三，從已知條件去提煉。雖然判定兩個(gè)三角形全等的實(shí)例舉不勝舉，但已知的條件的種類并不多。一般情況下，大致可以分以下三大類：已知兩對應(yīng)邊相等、已知兩對應(yīng)角相等、已知一邊一角對應(yīng)相等。在教學(xué)中，我們可以提出這三大類的條件，讓學(xué)生自己去總結(jié)思考的方向，并用右上的表格總結(jié)規(guī)律。

第四，從反例的角度去提煉。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例和證明同樣重要。因?yàn)榉蠢诒嫖鲥e(cuò)誤中具有直觀、說服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，所以教學(xué)中注重反例的運(yùn)用，不但能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞，而且還可以修補(bǔ)相關(guān)知識，學(xué)會多角度考慮問題，從而提高思維的靈活性。

全等三角形的判定方法本來就比較多，學(xué)生容易混淆。再者，又有其他不能用來判定三角形全等，但又容易被學(xué)生拿來作為判定的依據(jù)，例如“SSA”“AAA”。因此，在教學(xué)中，反例的應(yīng)用及構(gòu)建顯得至關(guān)重要。

下面我以“SSA”，我們可以利用下面這道題：兩邊和一個(gè)角相等的三角形全等。在學(xué)生經(jīng)過一定的時(shí)間探索后，教師要進(jìn)行總結(jié)。對于反例的構(gòu)建，教師應(yīng)該讓學(xué)生明白滿足什么樣的條件的兩個(gè)三角形不是反例，即當(dāng)相等的一對角是兩對應(yīng)邊的夾角時(shí)，判斷的依據(jù)是有兩條邊及這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。這個(gè)判斷依據(jù)里有兩個(gè)關(guān)鍵條件：這個(gè)角必須是夾角，對應(yīng)相等。

反例的構(gòu)建其實(shí)就是讓上面的兩個(gè)關(guān)鍵條件至少有一個(gè)不成立就行。學(xué)生通過探索不難發(fā)現(xiàn)，如果第一關(guān)鍵條件滿足的話，第二個(gè)關(guān)鍵條件“對應(yīng)相等”也必然滿足，所以構(gòu)建反例必須要從第一條件去思考。要讓第一條件不滿足，可以分兩個(gè)角都不是夾角和一個(gè)是夾角，另一個(gè)是其中一邊的對角兩種情況。由此，我們可以得到以下幾個(gè)反例：

在上面這個(gè)問題中，反例的構(gòu)建難度顯然增加了，然而學(xué)生卻可以通過此題更加深對全等三角形全等判定方法的理解，另外構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生發(fā)散性思維充分發(fā)揮和展示的一個(gè)過程。

總之，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全等三角形的判定，應(yīng)從多角度進(jìn)行分析和組織討論，使學(xué)生在多方面的學(xué)習(xí)和練習(xí)中學(xué)會總結(jié)、學(xué)會歸納，形成以整體統(tǒng)籌為中心思想，發(fā)散思維，進(jìn)而提煉出解題方法和思路，真正讓學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)幾何知識時(shí)能得心應(yīng)手。

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（浙江省溫州市平陽縣水頭鎮(zhèn)鶴溪中學(xué)）