一題多解拓展思路

許維發

摘要：在數學教學中，通常學生解題只會一種方法，而如果讓其換一種方法來解，多數學生都無法解出。所以為了拓寬學生思路，特通過此文舉例來啟發學生，使學生學會一題多解。

關鍵詞：方法；思路；幾何

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-262-01

在平面直角坐標系中直線l的參數方程為 (t為參數)，若以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為sin( )。求直線l被曲線C所截得的弦長。

解：方法1——通法

【思路】分別將所給的參數方程和極坐標方程化為普通方程和直角坐標方程，然后聯立解方程組得兩曲線的交點，最后由兩點間距離公式即可得到所求弦長。

【過程】將直線l的參數方程化為普通方程得

…①

將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程得

②

由①、②聯立解方程組，得

和

即直線l與曲線C的兩交點分別為

A 、B

由兩點間的距離公式，得

｜AB｜=

【評注】此法思路簡單，容易想到，但計算繁瑣。

方法2——幾何法

【思路】由“弦長”可聯想到平面幾何中的“圓”，進而想到“垂徑定理”。 將曲線C的直角坐標方程化為圓的標準方程，然后由點到直線的距離公式可求出弦心距，最后由垂徑定理即可求得弦長。

【過程】將直線l的參數方程化為普通方程得

將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程得

即

即曲線C為圓心是 、半徑是 的圓

由點到直線的距離公式，得

弦心距=

由垂徑定理，得

弦長=

【評注】此法關鍵是聯想到“垂徑定理”，計算最簡。

方法3——參數法

【思路】由直線l的參數方程可聯想到參數的幾何意義，于是可采用參數的幾何意義來解。先將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，再與直線l的參數方程聯立消去x和y得到關于t的一元二次方程，最后據韋達定理及公式即可求得弦長。

【過程】將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程得

將直線l的參數方程代入上式，得

即

若直線l與曲線C的交點分別為A、B，且它們對應的參數分別為 、 ，則

由參數的幾何意義，得

【評注】此法關鍵是聯想到參數的幾何意義，計算較簡。