三維空間中不可壓縮歐拉方程組的一類旋轉解

張金娥1，朱旭生

(1.湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002；2.華東交通大學 基礎科學學院，江西 南昌 330013)

N維空間中不可壓縮的歐拉方程組可寫成如下的形式：

(1)

其中：x=(x1,x2,…,xN)∈RN;ρ=ρ(t,x)和u=u(t,x)=(u1,u2,…,uN)∈RN分別代表流體的密度和速度。p=p(ρ)代表壓強, 一般假設p(ρ)=kργ，k≥0，γ≥1。 若參數(shù)k>0，則稱方程組(1)是帶壓強的；若k=0，稱方程組(1)為無壓的。常數(shù)γ≥1代表絕熱指數(shù)，若γ=1稱流體是等溫的。 如果β=0，則稱歐拉方程組(1)是不帶阻尼項的；如果β>0，則稱歐拉方程組(1)是帶阻尼項的。方程組(1)還可以寫成如下的標量形式：

(2)

在數(shù)學物理中，研究非線性系統(tǒng)的動態(tài)行為時，構造精確解并探尋其解的性質是非常重要的。 對于無壓強的流體，即k=0時，文獻[1]給出了不帶阻尼項的歐拉方程組(1)的一類精確的爆破解：

(3)

其中：f為任意非負的C1連續(xù)函數(shù)；di,ai0>0；ai1為任意常數(shù)。 文獻[2-4]研究了一類歐拉-泊松型方程(組)的解析解 。 文獻[5-7]研究了不帶阻尼項的歐拉方程(組)和歐拉-泊松型方程(組)的解的局部存在性和穩(wěn)定性。 文獻[8]給出了三維空間中可壓縮歐拉方程組的精確旋轉解，得到了一些關于精確旋轉解的動態(tài)性質判據(jù)。 在不可壓縮歐拉方程組解的性態(tài)方面, 對于帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組的精確解的研究尚處于空白階段。 注意到，對于一個實際的流體動力學模型，特別是在航天、航空、軍工業(yè)、汽車等行業(yè)中，構造流體動力學系統(tǒng)的精確解是非常重要的。 基于此，本文用基本函數(shù)構造了三維空間中不帶阻尼項的和帶阻尼項的不可壓縮的歐拉方程組的一類精確旋轉解，研究了解的局部性質。 本文的相關結果改進并推廣了現(xiàn)有的一些結果，能在更大范圍內(nèi)得到應用。

1 不帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組的旋轉解

由方程組(1)易知，三維空間中不帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組可以寫成如下的形式：

(4)

定理1 對于不可壓縮歐拉方程組(4)，存在如下一類旋轉解：

1) 當γ>1時，

(5)

和

(6)

2) 當γ=1時，

(7)

和

(8)

其中:ai(t)是任意C1連續(xù)函數(shù)(i=1,2,3)；b(t)是關于時間t的任意函數(shù)；c是任意常數(shù)。 且解滿足如下的性質：

2)若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則方程組(4)的解(5)—(8)是整體存在的。

證明首先證明(5)為方程組(4)的1組解。

對于真空解ρ=0，顯然(5)是方程組(4)的奇異解。

當γ>1時，對于非真空解，因為

所以

由方程組(4)的第2個方程(即動量方程)中的第1個方程可得

同理，由方程組(4)的第2個方程(即動量方程)中的第2個方程可得

由方程組(4)的第2個方程(即動量方程)中的第3個方程可得

對于方程組(4)的第1個方程 (即質量方程)，

3)，則解(5)會在有限時間內(nèi)爆破。 而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(5)也是整體存在的。

對于解(6)，可以用同樣的方法證明，這里不再贅述。

下面證明(8)為方程組(4)在γ=1時的1組解。

當γ=1時，根據(jù)方程組(4)的第1個方程(即質量方程)，可得

由于

所以

由方程組(4)的第1個方程(即動量方程)中的第1個方程可得

同理，由方程組(4)的第2個方程(即動量方程)中的第2個方程可得

由方程組(4)的第2個方程(即動量方程)中的第3個方程可得

3)，則解(8)會在有限時間T內(nèi)爆破。 而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(8)也是整體存在的。

對于解(7)，可以用同樣的方法證明其是方程組(4)的旋轉解，這里也不再贅述。

定理1證畢。

2 帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組的旋轉解

由方程組(1)易知，三維空間中帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組可描述為：

(9)

其中β>0為一常數(shù)，代表阻尼系數(shù)。

定理2 對于三維空間中帶阻尼項的不可壓縮歐拉方程組(9)，其存在1類旋轉解。

1)當γ>1時，

(10)

2)當γ=1時，

(11)

其中：ai(t)是任意C1連續(xù)函數(shù)(i=1,2,3)；b(t)是關于時間t的任意函數(shù)；c是任意常數(shù)。 且解(10)、(11)滿足如下性質：

2)若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則方程組(9)的解(10)、(11)是整體存在的。

證明定理2的證明過程類似于定理1的證明。下面，首先證明(10)為方程組(9)的一組旋轉解。

對于真空解ρ=0，顯然(10)為方程組(9)的一組奇異解。

當γ>1時，對于非真空解，由方程組(9)的第1個方程(即質量方程)可得

因為

所以

由方程組(9)的第2個方程(即動量方程)中的第1個方程可得

a3(t))]=-β(a1(t)+c(y+z))=-βu1。

同理，由方程組(9)的第2個方程(即動量方程)中的第2個方程可得

a3(t))]=-β(a2(t)+c(x+z))=-βu2

同理，對于方程組(9)的第2個方程(即動量方程)中的第3個方程可得

βa3(t)+c(a1(t)+a2(t))]=c2(2z+x+y)+

a2(t))]=-β(a3(t)+c(x+y))=-βu3。

3)，則解(10)會在有限時間T內(nèi)爆破。而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(10)也是整體存在的。

當γ=1時，證明方法雷同，這里不再贅述。

定理2證畢。

注： 1) 易知，解(5)—(8)中的u=u(t,x)=(u1,u2,u3)∈R3滿足Δu=0，故解(5)—(8)是下面的三維空間中不帶阻尼項的不可壓縮的Navier-Stokes方程組

(12)

的解。

2) 易知，解(10)、(11)中的u=u(t,x)=(u1,u2,u3)∈R3滿足Δu=0，故解(10)、(11)是下面的三維空間中帶阻尼項的不可壓縮的Navier-Stokes方程組

(13)

的解，其中β、μ均為正常數(shù)。

[1]Yuen M W. Stabilities for Euler-Poisson Equations in some Special Dimensions [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 344： 145-156.

[2]Yuen M W. Analytically Periodic Solutions to the 3-dimensional Euler-Poisson Equations of Gaseous Stars with aNegative Constant [J]. Classical and Quantum Gravity , 2009, 26： 2350111- 2350118.

[3]Jang J H. Nonlinear Instability in Gravitational Euler-Poisson Systems for γ = 6/5 [J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2008, 188： 265-307.

[4]Yuen M W. Analytical Blowup Solutions to the 2-dimensional Isothermal Euler-Poisson Equations of Gaseous Stars [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 341： 445-456.

[5]Chae D H, Tadmor E. On the Finite Time Blow-up of the Euler-Poisson Equations inRN[J]. Communications in Mathematical Sciences, 2008, 6： 785-789.

[6]Cheng B, Tadmor E. An Improved Local Blow-up Condition for Euler-Poisson Equations with Attractive Forcing [J]. Physica D： Nonlinear Phenomena, 2009, 238： 2062-2066.

[7]Yuen M W. Blowup for the Euler and Euler-Poisson Equations with Repulsive Forces [J]. Nonlinear Analysis： Theory, Methods & Applications, 2011,74： 1465-1470.

[8]Yuen M W. Exact, Rotational, Infinite Energy, Blowup Solutions to the 3-dimensional Euler Equations [J]. Physics Letters A ,2011,375： 3107-3113.