輻射陣列厄米高斯光束的聚焦特性

付堯春1 ，張雪華

(1.西華大學物理與化學學院，四川 成都 610039；2.中國民航飛行學院，四川 廣漢 618300)

在激光技術中，激光工業加工往往需要有較高的功率輸出，提高激光功率最常用的方法就是光束并合。近年來，光束合成技術[1-2]已成為激光研究領域的熱門課題。在上世紀末，隨著射頻技術的發展，平板波導CO2激光器是激光加工領域的主要激光器件之一。英國Heriot-Watt大學D.R.Hall等提出的面增比技術[3]，已成功地研制了千瓦級CW運行的橫向射頻激勵擴散冷卻CO2激光器[4]。 意大利Lapuccit等提出了三板條射頻放電CO2激光器的相位鎖定[5]等。加拿大Alberta大學Seguin等研究了多通道板條陣列CO2激光器的相位鎖定[6]。在我國，北京理工大學報道了一種射頻激勵單通道全金屬板條波導CO2激光器[7]，1994年研制出我國首臺射頻激勵擴散冷卻千瓦級CO2激光器[8]。華中科技大學提出了環形凹面鏡諧振腔[9]，被評為2009中國光學重要成果，并對射頻激勵非穩波導CO2激光器進行了研究。

由于激光器結構的限制，從以上平板波導激光器輸出的光束通常為厄米高斯光束，并呈輻射陣列狀分布(以下簡稱輻射陣列厄米高斯光束，即RHGB)。以上激光器各個通路上輸出的激光由于原子自發輻射發出光子的頻率、相位都不一樣；因此，從每個通道輸出的光束相互之間不滿足相干條件，利用會聚系統將每束光會聚時，其疊加形式屬于非相干疊加。在過去的工作中，文獻[10]利用Siegman提出的二階矩定義束腰位置和遠場束寬來計算了從板條激光器輸出光束的光束質量；但是由于其場分布包含高階厄米多項式，因此，對RHGB聚焦特性的理論研究有一定困難?；谝陨纤枷?，本文針對此類問題，利用激光束傳輸的Collins公式，對RHGB的聚焦特性進行了研究，并推導出光束的解析表達式。通過數值計算研究了RHGB的參數變化對聚焦特性的影響，給出了影響光強分布的主要參數，計算結果對進一步研究RHGB具有重要意義。

1 RHGB聚焦的解析公式

在傍軸近似下，從平板波導激光器輸出的激光束是高階厄米高斯光束[2,10-11]，設輸出平面的坐標為z=0，因此，輸出光束在該平面上的場分布為

(1)

為研究方便，上式的場分布忽略了光束分布常數和附加相位，并把坐標原點選在束腰位置。其中：a0,b0分別為x,y方向的光束半徑，R0為光束中心到坐標原點的距離；Hm,Hn分別為第m、n階厄米多項式，p=1,2,3,…。利用Collins公式，輸出光束經聚焦系統后，其場分布[11]為

(2)

式中ABCD為傳輸矩陣

(3)

其中：z是傳輸距離；f是透鏡焦距。

把方程(1)代入(2)并利用厄米多項式的性質

(4)

可得RHGB通過聚焦系統的解析表達式

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：λ為激光波長；k為波數。

公式(5)是第p束輻射陣列厄米高斯光束經ABCD聚焦后的解析表達式，通過坐標變換可將p束光的坐標(xp1-yp1)統一到同一坐標系下，因此，輸出光束聚焦后將非相干疊加，其光強表達式為

(10)

2 數值計算

為研究方便，設透鏡焦距f=10 cm，光束半徑a0=2 mm,b0=1.5 mm，激光波長λ=10.6 μm。利用公式(10)研究輸出光束的非相干疊加，當RHGB的參數改變時，并合光束的光強分布將受到一定影響。圖1給出了當m=0,n=1，R0=4 mm，z=12 cm時的光強分布圖和切面圖；圖2給出了當m=1,n=0，R0=4 mm，z=12 cm時的光強分布圖和切面圖。從圖1和圖2可知，低階厄米高斯光束經聚焦后分別沿著x、y方向發散，并在此方向重疊區域疊加；因此，圖1的中心光強近似為零，圖2的中心光強變大。

為了研究參數R0對光強分布的影響，取m=0,n=1，z=12 cm，圖3給出了參數R0=2 mm時的光強分布圖和切面圖。比較圖1、圖3，當光束中心到原點距離R0變小時，由于光束在疊加區域的重疊面積較大，并合光束中心的暗區變小，光強變強。當改變光束傳輸距離z，光強分布將受到一定影響，取m=0,n=1，R0=4 mm，圖4是傳輸距離z=15 cm時的光強分布圖和切面圖。比較圖1和圖4可見，隨著傳輸距離的增加，光束趨于發散，在z=15 cm處，光束的重疊區域減小，并合光束的光強變弱。

圖 1 并合光束(8束)的光強分布圖和切面圖，m=0,n=1，R0=4 mm，z=12 cm.

圖 2 并合光束(8束)的光強分布圖和切面圖(m=1,n=0，R0=4 mm，z=12 cm)

圖 3 并合光束(8束)的光強分布圖和切面圖(m=0,n=1，R0=2 mm，z=12cm)

圖 4 并合光束(8束)的光強分布圖和切面圖(m=0,n=1，R0=4 mm，z=15 cm)

3 結論

本文利用Collins公式推導出從平板波導激光

器輸出的光束(RHGB)經聚焦后的解析表達式；研究了激光參數R0,m,n對并合光強分布的影響。結果表明：當m、n取不同參數時，低階厄米高斯光束經聚焦后分別沿著x,y方向發散，并在此方向重疊區域疊加；因此，圖1的中心光強近似為零，圖2的中心光強變大。當R0變小時，陣列光束重疊面積將變大，因此，并合光束中心的暗區變小，光強變強。隨著傳輸距離z的增加，光束趨于發散，光束的重疊區域減小，并合光束的光強變弱；因此，對于不同的應用，應選取不同的激光參數，計算結果可為進一步研究RHGB提供參考。

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