鋼筋混凝土結(jié)構長期變形的Bayesian預測

(西華大學建筑與土木工程學院，四川 成都 610039)

收縮與徐變是混凝土最具隨機性的材料特性，因而在混凝土結(jié)構長期行為研究中有采用隨機分析方法的必要；但是，如果只根據(jù)已有收縮徐變試驗數(shù)據(jù)全體樣本的統(tǒng)計模型，采用概率分析方法預測結(jié)構的長期變形，將導致預測結(jié)果有較大的離散性。對于這類問題，可以在短期試驗測量數(shù)據(jù)的基礎上，采用Bayesian理論對長期變形進行預測，進而達到減小預測隨機性的目的[1]。

在已有文獻中，關于這一問題的研究并不多見。1984年，Bazant等將Bayesian理論首先應用于混凝土收縮徐變長期試驗數(shù)據(jù)預測的研究，在他們的研究中，采用Hermite-Gaussian公式求解Bayesian積分，這一算法只有在涉及2～3個隨機變量時才是可行的[2]。之后，Bazant等[3]將Bayesian預測技術應用于預應力混凝土箱梁橋長期變形預測工作。在他們的研究中，為了減少抽樣計算次數(shù)，在Bayesian推斷中引入了拉丁超立方抽樣技術[3]。與Bazant等提出方法類似的，Yang也進行了混凝土結(jié)構時變效應的長期預測工作的研究[4]。

然而，關于混凝土結(jié)構收縮徐變效應的Bayesian預測仍存在一些技術性難題。正如Bazant等[3]所指出的，如果似然函數(shù)較先驗分布概率函數(shù)更為趨于窄峰或者二者偏差過大時，使得抽樣數(shù)據(jù)落入似然函數(shù)范圍的可能性減小，會極大地增加抽樣計算的次數(shù)，甚至可能導致計算失敗。

本文就鋼筋混凝土結(jié)構長期變形的Bayesian預測提出了一個新的計算框架。為了解決似然函數(shù)為窄峰分布時計算困難這一問題，采用了自適應重要抽樣技術。同時，為了提高計算效率，在抽樣計算時引入了響應面技術。數(shù)值計算表明，本文提出的計算框架可以有效地應用于對鋼筋混凝土梁長期變形的預測。

1 混凝土收縮徐變模型的不確定性

根據(jù)美國著名學者Bazant[5]的建議，混凝土收縮徐變的概率發(fā)展方程可以表示為

(1)

其中：J(t,τ)為徐變度；εsh(t)為收縮應變。徐變度J(t,τ)定義為

(2)

式中：Ec(τ)與Ec分別代表τ時刻與28 d時混凝土的彈性模量；φ(t,τ)代表徐變系數(shù)。在式(1)中，θ1與θ2分別表示混凝土徐變和收縮模型的不確定性系數(shù)。已有研究表明，θ1和θ2近似服從均值為1.0的正態(tài)分布。對于在目前文獻[6]所采用的MC90模型，隨機變量θ1和θ2的變異系數(shù)分別可取0.35和0.46[5]。

2 基于響應面的Monte Carlo抽樣

如果結(jié)構響應不能顯式表示，采用Monte Carlo抽樣計算時，所有樣本都需要進行有限元計算分析，這樣會導致計算開銷量急劇增大。為改進隨機分析的計算效率，本文采用了一種結(jié)合響應面的Monte Carlo方法[7-9]進行收縮徐變效應的隨機分析。響應面法的基本思想是將隱式函數(shù)近似表達為更易數(shù)值計算處理的顯式形式。抽樣直接針對響應面進行，避開了每次抽樣計算時都需運行有限元計算的難題。在本文中，響應面采用不包含交叉項的二次多項式形式

(3)

式中：g(θ)是所求的結(jié)構響應量；θi(i=1～K) 是第i個隨機變量；K是隨機變量的總數(shù)；a、bi和ci(i=1～K)是2K+1個待定系數(shù)。為了確定上述待定系數(shù)，本文采用飽和設計法進行響應面設計。響應面中心試驗點取所有隨機變量的均值。同時，對于每個隨機變量θi別取±kσ的正負偏移量得到2K個偏移設計點。采用這2K+1組試驗點進行有限元分析，即可建立2K+1階線性方程組，進一步即可求得系數(shù)a、bi和ci。

3 Bayesian預測理論

Bayesian統(tǒng)計方法旨在利用的先驗概率分布信息和實驗觀測結(jié)果來獲得修正的后驗概率預測，其基本數(shù)學原理[10]如下：

(4)

其中：p(θ)為先驗概率密度函數(shù)；X為試驗觀測量；L(X|θ)為似然函數(shù)；f(θ)為后驗概率密度函數(shù)；c為一積分常數(shù)；Θ代表了隨機變量θ的取值定義域。

式(4)更一般的數(shù)學表達為

(5)

其中，?(θ)為需要進行Bayesian推斷的物理量。比如，當?(θ)=1時，I(?(θ))為積分常數(shù)c；當?(θ)=θi/c時，I(?(θ))為變量θi均值的Bayesian推斷結(jié)果；當?(θ)=g(θ)/c時，I(?(θ))為結(jié)構響應的均值預測結(jié)果；當?(θ)=[g(θ)-E[g]]2/c，則得到結(jié)構響應的方差預測結(jié)果。

對于工程應用而言，似然函數(shù)L(X|θ)一般可假設為正態(tài)分布[2-3]。若觀測數(shù)據(jù)X由一系列相互獨立的觀測值xi(i=1～n)組成，則似然函數(shù)可以表達為

(6)

從上述理論分析看出，Bayesian推斷在數(shù)學上的關鍵是求解如式(5)所示的積分。由于L(X|θ)相比先驗概率密度函數(shù)p(θ)是個窄峰分布，采用常規(guī)抽樣數(shù)值積分方法往往導致抽樣點很難落到觀測數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，進而導致式(5)中的積分運算難以完成[3]。

在本文研究中，將采用重點抽樣算法來克服這一困難。重點抽樣技術是一種方差縮減抽樣技術，可以用較少的抽樣次數(shù)獲得積分解。

(7)

則式(7)的無偏估計量為

(8)

(9)

則采用自適應重點抽樣算法求解積分式(5)的過程歸納如下：

4)根據(jù)式(8)則可得到變量θi的均值和均方差的估計值μθi和σθi：

(10)

(11)

7)根據(jù)式(8)，結(jié)構響應量g(θ)的均值與方差的Bayesian預測值為：

(12)

(13)

4 數(shù)值算例

本文選取Bakoss等人完成的一根鋼筋混凝土簡支梁長期變形試驗[12]作為數(shù)值分析算例。試驗梁的幾何尺寸如圖1所示，澆筑混凝土時采用了A型波特蘭水泥，并對試驗梁進行14 d的潮濕養(yǎng)護。混凝土28 d平均抗壓強度fcm=39 MPa，混凝土抗拉強度ft=2.77 MPa，彈性模量Ec=30.4 GPa。試驗期間的平均環(huán)境濕度為50%。混凝土材齡達到28 d時，開始加載如圖1所示的集中力和342.51 N/m的均布自重。

本文采用了作者開發(fā)的通用混凝土結(jié)構有限元分析程序CSBNLA(concrete structures bi-NonLinear analysis)[13]進行試驗梁的長期變形分析。確定性分析結(jié)果如圖2所示。可以看出，由于混凝土收縮徐變效應的顯著隨機性，確定性計算結(jié)果與試驗結(jié)果表現(xiàn)出明顯的差異。

圖 1 鋼筋混凝土簡支梁長期變形試驗(尺寸：mm)

圖 2 跨中長期變形確定性分析結(jié)果

采用作者提出的基于響應面技術的Monte Carlo抽樣，對該梁進行長期變形的隨機分析，分析結(jié)果如圖3所示。在圖3中，實線代表了長期變形的均值，上方虛線代表了長期變形的均值加上2倍變形均方差值結(jié)果，而下方點劃線代表了長期變形的均值減去2倍變形均方差值結(jié)果。

從圖3可以看出，雖然試驗結(jié)果介于上下2條曲線之間，即處于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ](μ和σ分別代表長期變形預測值得均值與均方差)；但是，這種預測是基于既有知識的全體樣本進行的，因而，可以看出其預測的結(jié)果表現(xiàn)出很大的不確定性。

圖 3 時變變形的隨機分析結(jié)果

本文采用Bayesian理論對該試驗梁的長期變形進行了預測。共考慮了2種工況，其中，工況A：用28、35、47、70和100 d的變形觀測結(jié)果預測250、350、和 544 d的變形值；工況B：用28、35、47、70、100和250 d的變形觀測結(jié)果預測350 d和 544 d的變形值。計算結(jié)果如圖4和5所示。在圖4和5中：實線、虛線以及點劃線所代表的物理意義同圖3。實心原點代表試驗觀測結(jié)果，空心原點代表預測值。

從圖4和5可以明顯看出，由于在預測中充分利用了已知試驗信息，隨機預測結(jié)果的離散性明顯降低。同時，還可以發(fā)現(xiàn)，對于工況B，由于利用的已知信息較多，其預測結(jié)果優(yōu)于工況A。

圖 4 工況A長期變形Bayesian預測結(jié)果

圖 5 工況B長期變形Bayesian預測結(jié)果

5 結(jié)論

本文在響應面技術的基礎上，將重點抽樣技術引入Bayesian預測。在提高計算效率的同時，有效地克服了當似然函數(shù)為窄峰分布是數(shù)值計算的困難。通過一個對已有簡支梁長期變形試驗的預測，驗證了本文方法的有效性。

本文只對一個簡支梁的長期變形進行了預測，在今后的進一步工作中，還可應用本方法，對大型混凝土橋梁結(jié)構如預應力混凝土連續(xù)梁橋等的長期變形進行預測。

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