基于格林函數(shù)法的常功率熱源有限厚平板表面溫度計算

鄭澍奎

(1.西華大學(xué)綠色建筑重點實驗室，四川 成都 610039；2.西華大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，四川 成都 610039)

測量材料的導(dǎo)熱系數(shù)方法一般可分為穩(wěn)態(tài)法和動態(tài)法2類。穩(wěn)態(tài)法是建立在傅里葉平壁單向穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱原理基礎(chǔ)上的，其優(yōu)點是原理簡單，計算方便，檢測精度高，易于實現(xiàn)導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)字計算與顯示。對于幾何形狀簡單的物體，采用穩(wěn)態(tài)法的導(dǎo)熱系數(shù)的表達(dá)式常常可以用顯函數(shù)表示，因而得到廣泛的應(yīng)用[1-3]；但穩(wěn)態(tài)法的試驗裝置比較復(fù)雜，試驗時間相對較長，測試時容易引起材料內(nèi)部水分的遷移，難于用于測定含濕材料的導(dǎo)熱系數(shù)[4]。

動態(tài)法常用的主要有線熱源法和面熱源法。常用的線熱源法是平行熱線法，其基本原理是測試埋在試樣中的線狀熱源的溫升時間序列。通過計算熱線及材料的溫度分布得到材料導(dǎo)熱系數(shù)。平行熱線法的缺點是熱線和熱電偶的埋設(shè)對結(jié)果影響大，技術(shù)難度高，計算復(fù)雜。面熱源法有常功率面熱源法和常溫度面熱源法，常溫度面熱源法因非穩(wěn)態(tài)溫升過程的控制延遲容易造成待測材料表面溫度波動[5]。常功率平面熱源法的原理是在待測板狀材料一表面加上一個合適的平面恒定功率熱源，對材料進(jìn)行一定時間的加熱，通過測定板狀材料表面的溫度響應(yīng)辨識出材料的導(dǎo)熱系數(shù)。目前檢測中常用的常功率平面熱源法一般假定材料為半無限大[6]，得到的表面溫升過余函數(shù)不適用于有限厚度的平板材料(尤其是厚度較薄材料)。本文擬基于格林函數(shù)法，推導(dǎo)動態(tài)常功率法的有限厚度材料表面溫度解析表達(dá)式，可用于含濕板狀材料導(dǎo)熱系數(shù)的反演計算，并簡要分析解析表達(dá)式近似計算的誤差。

1 實驗測試模型

動態(tài)常功率面熱源導(dǎo)熱系數(shù)測試系統(tǒng)(見圖1)，計量部位加熱器為面熱源，面積為A，單位時間產(chǎn)熱量為2q0·A，在其兩側(cè)對稱布置相同的待測平板狀試樣，厚度為d，并假設(shè)待測試樣的長和寬遠(yuǎn)大于厚度d，在加熱器和待測試樣4側(cè)緊貼保溫板作熱保護(hù)，可認(rèn)為待測平板狀試樣計量部位為一維非穩(wěn)態(tài)傳熱。待測板狀材料計量部位2表面采用測溫?zé)犭娕加涗洉r間溫度序列。

待測材料內(nèi)部及表面溫度分布是內(nèi)熱源、邊界熱作用以及初始溫度分布作用疊加的結(jié)果，這些熱作用都可以看作廣義上的熱源。當(dāng)熱源作用的時間足夠短，熱源作用的空間尺度足夠小，熱源可以抽象為“瞬時”的“點熱源”。對于線性的導(dǎo)熱問題，由各種復(fù)雜的熱源引起的溫度場可以由許多這樣的“瞬時點熱源”引起的溫度場的疊加得到[7]。

圖 1 常功率面熱源導(dǎo)熱系數(shù)測試系統(tǒng)示意圖

2 熱傳導(dǎo)方程及解析解

考慮通過待測試樣計量區(qū)的導(dǎo)熱過程為一維動態(tài)線性導(dǎo)熱問題，試樣表面及內(nèi)部溫度為t，外部環(huán)境溫度為tf，令待測試樣的過余溫度為θ=t-tf(見圖2)。

平板狀試樣內(nèi)部動態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述可表示為

(1)

圖 2 待測試樣計量區(qū)的導(dǎo)熱模型示意圖

式(1)屬于非齊次導(dǎo)熱方程。考慮由瞬時點熱源ρcδ(x-x')(τ-τ')在相應(yīng)齊次邊界條件和零初始條件下引起的溫度分布，相應(yīng)的該系統(tǒng)的格林函數(shù)滿足以下方程和條件：

(2)

對應(yīng)待測試樣表面及內(nèi)部溫度依據(jù)式(2)的格林函數(shù)可表示為

(3)

進(jìn)一步分析式(2)，由于熱源是瞬時熱源，τ′時刻之前待測試樣內(nèi)部沒有熱源的作用(瞬時熱源均為零)，故由瞬時點熱源δ(x-x′)(τ-τ′)產(chǎn)生的溫度分布也應(yīng)維持為0，而τ′時刻的瞬時點熱源的作用就完全等同于τ′時刻的初始溫度分布，即式(2)可化為

(4)

顯然，式(4)為齊次函數(shù)，采用分離變量方法易求得這個系統(tǒng)的格林函數(shù)

(5)

(6)

(7)

式(3)右邊第3項為

(8)

綜合(6)、(7)、(8)式，得到

(9)

對式(9)分別取x=0與x=d，即得到待測試樣2表面溫度對時間的解析解。2表面溫度分別表示為：

(10)

(11)

3 解析解的數(shù)值分析及應(yīng)用

對式(10)和式(11)的數(shù)值計算只能采取取前面有限項來近似。顯然求和項數(shù)m的取值對數(shù)值計算的精度有很大的影響。以密度為700 kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)為0.22 W/(m·K)，比熱容為1 050 J/(kg·K)的加氣混凝土為例[8]，進(jìn)行加熱面的表面溫度數(shù)值計算，其中加氣混凝土的厚度取30 mm，加熱功率密度q0取200 W/m2，求和項數(shù)m分別取5、10、20、40和60，數(shù)值計算結(jié)果表現(xiàn)出較強的收斂穩(wěn)定性，見圖3。

圖 3 不同求和項數(shù)對數(shù)值計算結(jié)果的影響

由于無窮級數(shù)求和是一個十分困難的問題，下面以求和項數(shù)m取1 000的計算值作為式(10)的近

似結(jié)果，得到m分別取5、10、20、40和60的不同加熱時間計算相對誤差(見表1)。結(jié)果顯示加熱時間與求和項數(shù)m均對計算誤差有影響，增大加熱時間與求和項目均可以提高數(shù)值計算的精度。當(dāng)m取值≥40時，計算相對誤差才可能小于1%。

表1 表面溫度響應(yīng)函數(shù)計算誤差

4 結(jié)束語

通過建立導(dǎo)熱系數(shù)測試中常功率面熱源有限厚度平板的導(dǎo)熱模型，采用格林函數(shù)法，推導(dǎo)出平板材料的2個表面溫度響應(yīng)函數(shù)，結(jié)合簡單的數(shù)值計算，可應(yīng)用于動態(tài)常功率法測試導(dǎo)熱系數(shù)的計算。對于一般的建筑保溫材料，板狀材料表面溫度函數(shù)采用數(shù)值近似計算，具有較明顯的收斂特征。以加氣混凝土為例，解析解作數(shù)值求和時，求和項數(shù)取到40才可能使計算相對誤差小于1%。對于不同導(dǎo)熱系數(shù)材料，求和項數(shù)及加熱時間的取值對計算誤差區(qū)間的影響有待進(jìn)一步研究。

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