耗散SRLW方程的一個三層加權線性差分格式

林雪梅，胡勁松，劉 倩

(西華大學數學與計算機學院 四川 成都 610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時，文獻[1]提出了正則長波(RLW)方程的對稱描述，即對稱正則長波(SRLW)方程：

uxxt-ut=ρx+uux

(1)

ρt+ux=0

(2)

并給出了方程(1)、(2)的雙曲正割平方(sech2形式)孤立波解(v是速度，且v2>1)：

(3)

顯然，SRLW方程(3)式關于x和t的導數是對稱的，并且與描述淺水波及等離子漂移波的正則長波方程非常相似[2-3]。SRLW方程(1)、(2)、(3)式也出現在許多其他數學、物理領域[4-6]。數值考察表明其孤立波的相互作用是非彈性的[7]，因此，SRLW方程的孤立波不是孤立子。關于SRLW方程的定解問題的適定性及數值方法的研究也引起了廣泛關注。郭柏靈在文獻[8]中研究了一類廣義SRLW方程周期初值問題解的存在性、唯一性和正則性，并得到了譜逼近解的誤差估計。文獻[9-16]分別用Fourier擬譜配點方法、擬譜方法、有限差分方法等研究了SRLW方程的初邊值問題。

在實際問題中，粘性耗散是不可避免的，而且與色散一樣起著十分重要的作用；因此，研究帶有耗散的對稱正則長波方程

uxxt-ut+βuxx=ρx+uux

(4)

ρt+ux=0

(5)

(其中β>0是耗散系數)是非常有意義的。在考慮耗散時，方程(4)、(5)是反映非線性離子聲波運動本質現象的合理模型[17]。文獻[17-21]分別討論了方程(4)、(5)的解的適定性和整體存在唯一性，但其解析解很難求出，于是，研究方程(4)、(5)的定解問題的數值解就很有價值。文獻[22-24]分別用有限差分方法和混合有限元方法討論了一類帶有阻尼項的耗散對稱正則長波方程的初邊值問題。

本文考慮方程(4)、(5)有如下的初始條件和邊界條件：

u(x,0)=u0(x)，ρ(x,0)=ρ0(x)，x∈[xL,xR]

(6)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，ρ(xL,t)=ρ(xR,t)=0，t∈[0,T]

(7)

不難證明，問題(4)—(7)具有如下守恒律：

(8)

(9)

文獻[25-26]分別研究了初邊值問題(4)—(7)的差分近似解，并分別對其提出了一個具有二階精度的兩層非線性差分格式和三層線性差分格式，且三層線性差分格式在數值求解時不需要迭代，計算時間比較節省,但都沒有考慮問題本身的守恒量。本文利用文獻[27]處理Rosenau-RLW方程的技巧，引入加權系數θ，對問題(4)—(7)提出了一個加權平均隱式差分格式，合理地模擬了問題本身的2個守恒量(8)和(9)，通過適當地調整加權系數θ，從而使計算結果具有更高精度。

1 差分格式的守恒律和差分解的估計

對問題(4)—(7)考慮如下的有限差分格式：

(10)

(11)

(12)

(13)

從而有

引理2[12](離散的Sobolev不等式[12])存在常數C1和C2，使得

定理1 設u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)關于以下離散能量是守恒的，即

(14)

(15)

證明： 將(10)式與h相乘，并對j從1到J-1進行求和，由邊界條件(13)和引理1得

(16)

將(16)式遞推可得(14)式。

同理，將(11)式與h相乘，并對j從1到J-1進行求和，得

(17)

將(17)式遞推可得(15)式。

定理2 設u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)的解滿足：

‖un‖≤C,‖ρn‖≤C,‖un‖∞≤C,(n=1,2,…,N).

(18)

由邊界條件(13)式，利用引理1,有

(19)

又

(20)

(21)

將(19)、(20)式代入(18)式并與(21)式作和，整理得

(22)

令

則由(22)式可得：

Bn≤Bn-1≤Bn-2≤…≤B0=C，又

所以

只要取足夠小的τ，滿足1-Cτ>0,就有

再由引理2，得

‖un‖∞≤C

2 差分格式的可解性

定理3 差分格式(10)—(13)是唯一可解的。

證明： 用數學歸納法。顯然u0,ρ0是初值條件(12)式唯一確定的，再用兩層格式[25]計算出二階精度的u1,ρ1(即u0,ρ0和u1,ρ1是被唯一確定的)。假設u0,u1,…,un和ρ0,ρ1,…,ρn是唯一可解的，現在考慮方程(10)和(11)中的un+1和ρn+1，

(23)

(24)

將(23)式與un+1作內積，得

(25)

所以，(25)式即為

(26)

再將(24)式與ρn+1作內積，得

(27)

將(26)式與(27)式相加，得

也就是說，方程(23)和(24)僅有零解。因此，差分格式(10)—(13)中的un+1和ρn+1是唯一可解的。證畢。

3 差分格式的收斂性和穩定性

(28)

(29)

定理4 設u0∈H1，ρ0∈L2,則差分格式(10)—(13)的解un以‖·‖∞，ρn以‖·‖L2收斂到初邊值問題(4)—(7)的解，且收斂階為O(τ2+h2)。

證明： 用(28)式減去(10)式，(29)式減去(11)式，并記：

(30)

(31)

(32)

又因為

(33)

由引理1有

(34)

再用類似于(20)式的推導過程，有

(35)

由(33)—(35)式，得

由定理3以及Schwarz不等式，得

(36)

又

(37)

(38)

(39)

將(36)—(39)式代入(32)式,得

(40)

(41)

將(40)式與(41)式相加，有

(42)

令

‖ηn+1‖2+‖ηn‖2

則(42)式變為

Dn-Dn-1≤2τ‖rn‖2+2τ‖sn‖2+Cτ(Dn+Dn-1)

即

(1-Cτ)(Dn-Dn-1)≤2τ‖rn‖2+

2τ‖sn‖2+2CτDn-1

只要取足夠小的τ，滿足1-Cτ=δ>0,就有

(Dn-Dn-1)≤Cτ‖rn‖2+Cτ‖sn‖2+

CτDn-1

(43)

對(43)式從1到n求和，得

先用兩層格式[25]計算出具有二階精度的u1和ρ1，使之滿足D0≤O(τ2+h2)2，由

由引理3可得

Dn≤O(τ2+h2)2

即

再有引理2有

‖en‖∞≤O(τ2+h2)

證畢。

與定理4類似，可以證明：

定理5 在定理4的條件下，則差分格式(10)—(13)的解un以‖·‖∞，ρn以‖·‖L2穩定。

4 數值實驗

在t=0時，由于耗散還沒有產生，所以在數值實驗中，我們把問題(4)—(7)中的初值函數取為SRLW方程(1)、(2)的初值函數(t=0時)：

表1 τ=h=0.1時，就不同參數θ，在幾個不同時刻的l∞誤差

表2 τ=h=0.05時，就不同參數θ，在幾個不同時刻的l∞誤差

表3 τ=h=0.025時，就不同參數θ，在幾個不同時刻的l∞誤差

表4 在不同時刻對守恒量(8)和(9)的數值模擬和

表5 在不同時刻對守恒量(8)和(9)的數值模擬和

從數值算例可以看出，本文格式明顯具有二階精度，且適當地調整加權系數θ，可以大幅度提高計算的精度。另外，差分格式也合理地模擬了問題本身的2個守恒量，故本文對初邊值問題(4)—(7)提出的差分格式(10)—(13)是有效的。

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