定數(shù)截尾下Burr Type XII分布的統(tǒng)計(jì)推斷

王雪琴，李 鳳，張福玲

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714000)

壽命數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是對(duì)系統(tǒng)或部件的壽命特性作定量了解的一種重要手段。通過壽命數(shù)據(jù)分析，確定壽命分布類型以及獲得其參數(shù)的估計(jì)，或者得到壽命分布本身的估計(jì),最終可以定量地把握系統(tǒng)或部件壽命的性狀，并把所獲的信息反饋到設(shè)計(jì)、制造和使用維修中去，以期改善可靠性、降低成本或合理安排維修和更換，使之獲得更好的使用價(jià)值和經(jīng)濟(jì)效果。壽命數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析已成為工程、醫(yī)學(xué)和生物科學(xué)等領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)問題之一，而Burr分布在可靠性統(tǒng)計(jì)中起著非常重要的作用，目前已有許多文獻(xiàn)研究了其統(tǒng)計(jì)推斷及其應(yīng)用[1-3]。本文在此基礎(chǔ)上研究了Burr -XII 分布基于定數(shù)截尾樣本的參數(shù)估計(jì)。Burr壽命分布的分布函數(shù)和失效率函數(shù)分別為:

F(x)=1-(1+xc)-k,x>0

(1)

f(x)=kcxc-1(1+xc)-k-1,x>0

(2)

其中:c>0是形狀參數(shù);k>0是未知參數(shù)。

1 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾壽命實(shí)驗(yàn)，事先規(guī)定的失效數(shù)r≤n，所得的定數(shù)截尾樣本記為t1≤t2≤…≤tr，設(shè)產(chǎn)品的壽命T服從Burr -XII分布，下面分別利用極大似然法及逆矩估計(jì)法分別給出參數(shù)(k,c)中k的近似估計(jì)。

1.1 極大似然估計(jì)

由文獻(xiàn)[1]知，在定數(shù)截尾下，Burr -XII的似然函數(shù)為

(3)

兩邊取對(duì)數(shù)得

(4)

求偏導(dǎo)有

(5)

得k的極大似然估計(jì)為

(6)

1.2 逆矩估計(jì)法

引理1[1]設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其分布函數(shù)，則F(x)服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布。

引理2[4]若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布，則-lnX服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布。

引理4[6]設(shè)隨機(jī)變量U服從U(0,1)，則-2lnU服從自由度為2的χ2分布。

證明：變形為g(c)=

下面利用文獻(xiàn)[2]提出的逆矩法導(dǎo)出參數(shù)k的逆矩估計(jì)量。

又z1,z2,…,zr也是一個(gè)準(zhǔn)樣本，因此有

所以參數(shù)k的逆矩估計(jì)

(7)

2 模擬比較

為了給出估計(jì)量的精確性，我們利用隨機(jī)模擬的方法研究了極大似然估計(jì)量與逆矩估計(jì)量的均方誤差，模擬結(jié)果見表1(其中k=2,c=1)。

表1 參數(shù)k的極大似然估計(jì)和逆矩估計(jì)的的均方誤差

模擬結(jié)果顯示，隨著n和r的增大，逆矩法的均方誤差就會(huì)變得越小，說明基于定數(shù)截尾的逆矩估計(jì)法優(yōu)于極大似然估計(jì)法。

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