非負矩陣Hadamard積的最大特征值的上界

(電子科技大學數學科學學院，四川 成都 611731)

非負矩陣是在理論和應用2方面都非常重要的矩陣，尤其是非負矩陣的最大特征值相關問題一直是矩陣理論研究的熱點之一。本文給出了非負矩陣Hadamard積的最大特征值的上界的新估計。

1 預備知識

為了方便，給出如下定義。

定義1[1]如果A中任意元素aij≥0，則稱A=(aij)為非負矩陣。

定義3[3]設A∈Rn×n，則稱A是不可約的或存在置換矩陣P，使得

其中Ai是不可約的，i=1,2,…,k。

最近很多學者研究了關于非負矩陣Hadamard積的最大特征值的上界估計問題，例如和本文相關的文獻[4]和[5]得到了下面的結果。

定理1[4]設A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負矩陣，則

aiiρ(B)-biiρ(A)}

(1)

定理2[5]設A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負矩陣，則

(2)

2 主要結果及證明

這部分內容主要給出了非負矩陣Hadamard積最大特征值的上界的新估計，并給出了比較結果。為了得到新結果，給出如下引理。

引理1[1]設A≥0為n階不可約矩陣，則

1)A有一個正實根等于它的譜半徑；

2)A有一個對應于特征值ρ(A)的特征向量x>0。

引理2[4]設A、B為n階復矩陣，如果E、F為n階對角矩陣，則

引理3[6]如果A為不具有零行的非負矩陣，其中γi(A)表示矩陣A的第i行元素的絕對值之和，對任意的具有正對角元的對角矩陣D，有

引理4[1]設A=(aij)∈Rn×n為非負矩陣。如果Ak是A的主子矩陣，有ρ(Ak)≤ρ(A)。如果A是不可約的且Ak≠A，有ρ(Ak)<ρ(A)。

引理5[3]設A= (aij)∈Cn×n，(n≥2)，Ri表示A的第i個行蓋爾圓半徑。如果λ是A的特征值，則存在正整數對(r,q)且r≠q(1≤r,q≤n)，使得

|λ-arr|·|λ-aqq|≤RrRq

定理3 設A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負矩陣，則

(3)

ρ(A)>aii,?i∈N;ρ(B)>bii,?i∈N。

因為A=(aij)和B=(bij)均為非負不可約的，由引理1，則存在2個正向量u、v滿足Au=ρ(A)u，Bv=ρ(B)v。則有：

令D=VU，通過引理2，對任意的正對角矩陣D，有

通過引理5，存在正整數對(i,j)(i≠j,1≤i,j≤n)，滿足

(4)

由(4)式，推出

下面比較不等式(1)和(3)，不失一般性，對i≠j，假設

aiibii+ajjbjj+[(aiibii-ajjbjj)2+

(5)

又因為

(6)

由 (5) 式和(6)式我們能得到

所以，(3)式的界要比(1)式的好。下面對(2)式和(3)式作比較，容易得到

由此可見(3)式的界要比(2)式的界好。但是，由于(3)式需要知道非負矩陣A和B的Perron向量使得計算量可能比較大，這是(3)式的不足之處。

3 數值例子

直接計算得

由(1)式得

由(2)式得

由(3)式得

這個例子說明(3)式得到的界比(2)式和(1)式更加精確。

直接計算得

由(1)式得

由(2)式得

由(3)式得

ρ(A°B)≤21.136 2

這個例子也能說明(3)式得到的界比(2)式和(1)式更加精確。

[1] 黃庭祝，楊傳勝. 特殊矩陣分析及應用[M].北京：科學出版社，2007:47.

[2]Li Y T,Li Y Y, Wang R W, et al. Some New Bounds on Eigenvalues of the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010, 432 : 536-545.

[3]Zhou D M , Chen G L , Wu G X , et al. On some New Bounds for Eigenvalues of the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2012, In Press.

[4]Liu Q B , Chen G L. On Two Inequalities for the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J].Linear Algebra Appl, 2009, 431: 974-984.

[5]Liu Q B , Chen G L, Zhao L L.Some New Bounds on the Spectral Radius of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010,432:936-948.

[6]Kolotilina L Y. Bounds for the Perron Root, Singularity/ Nonsingularity Conditions, and Eigenvalue Inclusion Sets[J]. Numer Algorithm ,2006 ,42 : 247-280.