丟番圖方程x2-3y4=397的正整數解

李 偉

(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院， 甘肅 蘭州 730070)

丟番圖方程x2-3y4=397的正整數解

李 偉

(蘭州交通大學 數理與軟件工程學院， 甘肅 蘭州 730070)

利用遞歸序列、同余式、二次剩余的方法證明了丟番圖方程x2-3y4=397僅有正整數解(x,y)=(20,1)。

丟番圖方程； 遞歸序列； 二次剩余； 正整數解

0 引 言

關于丟番圖方程x2-Dy4=N(D，N∈Z，且D>0為非平方數)已有不少研究工作[1-7]。設N(D,N)為方程x2-Dy4=N的正整數解的組數，文獻[1]證明了以下幾個結果：

文獻[3]證明了

文獻[6]證明了當y≡0(mod8)時，

N(2,17)=0

N(2,41)=0

N(2,97)=0

N(8,17)=0

文中利用遞歸序列、同余式和二次剩余的方法證明了丟番圖方程x2-Dy4=N,當(D,N)=(3,397)時僅有正整數解(x,y)=(20,1)。

1 定理及證明

定理丟番圖方程

(1)

僅有正整數解(x,y)=(20,1)。

證明 首先考慮pell方程

(2)

其一般解由以下兩個非結合類給出：

(3)

或

(4)

y2=±(vn+20un)

或

當n≥0時，vn+20un>0；當n<0時，vn+20un<0。因此可歸結為

(5)

或

(6)

可驗證下列關系成立:

(7)

(8)

(9)

對式(5)取模5,得剩余序列周期為3，當n≡1,2(mod3)時，vn+20un≡2(mod5),為模5的二次非剩余，故排除。剩n≡0(mod3)。

對式(5)取模3,得剩余序列周期為6，當n≡3,4(mod6)時，vn+20un≡2(mod3),為模3的二次非剩余，排除。剩n≡0,1,2,5(mod6)。

對式(5)取模7,剩余序列周期為8，當n≡2,4,5,7(mod8)時，vn+20un≡3,6,6,3(mod7),為模7的二次非剩余，排除。剩n≡0,1,3,6(mod8)。

對式(5)取模193,剩余序列周期為24，當n≡1,2,3,5,6,8,10,13,14,15,17,18,20,22(mod24)時，vn+20un≡22,87,133,103,160,58,73,171,106,60,90,33,135,120(mod193),為模193的二次非剩余,排除。剩n≡0,4,7,9,11,12,16,19,21,23(mod24)。

因此可歸結為n≡0(mod24)。

若n≠0，令n=0+6(4k±1)m, m=2t, t>1, 由式(9)可知

(10)

因v2m≡2(mod5),所以

又v2m≡1(mod8)，設2s‖um，則

所以

因此

所以式(10)不成立，此時式(5)無解。當n=0時，得到方程(1)的解為(20,1)。

對式(6)取模5，剩余序列周期為3，當n≡1,2(mod3)時，-vn+20un≡3(mod5),為模5的二次非剩余,排除。剩n≡0(mod3)。

對式(6)取模3,剩余序列周期為6,當n≡0,5(mod6)時，-vn+20un≡2(mod3),為模3的二次非剩余,排除。剩n≡1,2,3,4(mod6)。結合模5得n≡3(mod6),即n≡3,9,15,21(mod24)。

對式(6)取模8,剩余序列周期為4,當n≡0(mod4)時，-vn+20un≡7(mod8),為模8的二次非剩余,排除；當n≡1,3(mod4)時，-vn+20un≡2(mod8)不可能為完全平方數,故排除。剩n≡2(mod4)，即n≡2,6,10,14,18,22(mod24)。所以式(6)無解。

由上述討論可知，方程(1)僅有正整數解(x,y)=(20,1)。證畢。

[1]CohnJHE.Somequarticdiophantineequations[J].PacificJMath.,1968,26:233-243.

[2] Mordell L J. Diophantine equations[M]. London: Academic Press,1969.

[3] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012.

[4] 朱德輝.關于不定方程x2-3y4=166[J].重慶師范大學學報:自然科學版，2008,25(3)：21-23.

[5] 黎進香，張春蕊.關于不定方程x2-3y4=46的初等解法[J].哈爾濱工業大學學報，1995,27(5)：13-16.

[6] Tzanakis N. On the diophantine equations[J]. Number Theory,1983,17:144-164.

[7] 柯召，孫琦.數論講義[M].北京：高等教育出版社，2001.

Positive integer solutions of diophantine equationx2-3y4=397

LI Wei

(College of Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Methods of recurrent sequence, congruence and quadratic residue are used to prove that diophantine equationx2-3y4=397 has positive integer solution (x,y)=(20,1) only.

diophantine equation; recurrent sequence; quadratic residue; positive integer solution.

2014-06-09

李 偉(1982-)，男，漢族，甘肅慶陽人，蘭州交通大學碩士研究生，主要從事數論方向研究,E-mail:SLXYLiWei@163.com.

O 156.1

A

1674-1374(2014)06-0625-03