基于最優化理論的梁受彎承載能力可靠度分析

趙 茜,李宏儒,吳軍虎

(西安理工大學,陜西西安710048)

結構可靠度是指結構在規定的時間和條件下，完成預定功能的概率。目前, 可靠度的計算方法主要有一次二階矩法、驗算點法(JC法)、蒙特卡羅法等[1]。JC 法是國際上推薦的可靠度計算方法。JC 法在計算可靠度指標β的過程中，對于確定的極限狀態方程表達式g(x)，求偏導?g/?xi的值, 計算出均值μ和標準差σ，采取數值迭代法重復上述過程,直至計算過程收斂, 并得出可靠度指標β和驗算點的坐標。此法計算概念明確，但對于功能函數為非線性方程且變量較多時進行微分計算則較為麻煩。蒙特卡羅法，即統計試驗法，在目前結構可靠度分析計算中, 它被認為是一種相對精確的方法。蒙特卡羅法求解結構失效概率的基本思路是: 先對影響其可靠度的隨機變量進行大量隨機抽樣, 然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數式, 確定結構失效與否, 最后求得結構的失效概率, 失效概率即結構失效次數占總抽樣數的頻率。蒙特卡羅法的優點在于其精度隨著N的次數增加而漸次提高。若N值選取足夠大時, 則可得到失效概率的相對精確值。但當遇到小破壞概率時, 用蒙特卡羅法直接計算的次數往往多達幾萬甚至幾十萬次，計算時間過長。

鋼筋混凝土梁受彎承載力極限狀態功能函數是非線性的，如果采用求導數的可靠度計算方法,極限狀態功能函數難以處理。目前有一些近似計算不涉及求功能函數的導數, 如某些數值方法、蒙特卡羅(Monte·calo)法等。 但前者推導復雜, 編制的計算機程序通用性差, 后者需進行大量的模擬計算, 效率較低, 且難于掌握。本文利用鋼筋混凝土結構中的隨機變量一般都服從正態分布這一特點, 采用幾何優化法, 從可靠度指標的幾何涵義出發, 運用最優化計算方法, 不需進行功能函數的求導計算來求解可靠度指標β和驗算點坐標。利用Matlab 語言求解數學最優化問題，程序簡便、通用性強，可以方便地應用到土木工程領域[2-3]。

1 結構可靠度指標的定義

在結構的可靠度分析中[4]，結構的極限狀態一般由功能函數來加以描述，功能函數可表示為:

Z=g(X1,X2,...,Xn)

(1)

上式中Xi(i=1,2,...,n)為影響結構某一功能的基本變量。

當Z>0時，結構處于可靠狀態；Z=0時，結構達到極限狀態；Z<0時，結構處于失效狀態，方程

Z=g(X1,X2,...,Xn)=0

(2)

稱為結構的極限狀態方程，它是結構可靠度分析的重要依據。結構功能函數Z>0的概率稱為結構的可靠概率(Pr)；功能函數Z<0的概率稱為該結構的失效概率(Pf)。二者原則上可通過多維積分式計算求得:

(3)

(4)

上式中f(x1,x2,...,xn,)是Z的分布密度函數，二者之間滿足關系:

Pr+Pf=l

(5)

當功能函數中有多個隨機變量或功能函數為非線性時，上述積分計算會十分復雜甚至難于求解，因此一般不用這種直接積分求解可靠概率。工程上常通過可靠指標β的求解來衡量結構的可靠程度。假設隨機變量X1,X2,...,Xn均服從正態分布,且相互獨立，如果功能函數Z=g(X1,X2,...,Xn)為線性函數,那么Z也是服從正態分布。β的定義可表示為:

(6)

μz、σz分別表示Z的均值、均方差。在變量相互獨立的假設下有:

(7)

μxi、σxi分別表示第i個隨機變量的均值、均方差。

β與Pr、Pf之間的關系為：

Pr=1-Pf=1-Φ(-β)=Φ(β)

(8)

2 最優化方法求解可靠度的數學模型

對獨立、正態隨機變量Xi進行標準化變換:

(9)

極限狀態方程在標準正態坐標系中的表達式為:

(10)

圖1 可靠指標與極限狀態曲面關系

它代表了n維標準正態空間中的一個曲面。該曲面將基本變量空間分成了可靠區和失效區兩部分，圖1給出了三個變量的情況。在結構可靠度分析中，結構可靠指標β的幾何意義是：在標準正態坐標系中，從原點到極限狀態曲面Z=0的最短距離。β的計算可轉化為求這個最短距離的問題，即 ：

(11)

于是結構可靠指標計算的優化模型可表示為:

(12)

3 非線性隨機變量的轉化

在實際工程中, 絕大部分結構常包含非正態分布的基本隨機變量，對于這種極限狀態方程的可靠度分析，一般先要把非正態隨機變量標準正態化后再進行求解，對各個隨機變量Xi(i=1,2,...n)做等概率映射變換：

F(Xi)=Φ(Yi)(i=1,2,...n)

(13)

(14)

常用的幾種分布計算公式[5]:

(1)正態分布

(15)

(2)對數正態分布

(16)

(3) 極值I型分布

Fxi(xi)=exp(-exp(-α(xi-u)))

(17)

4 工程計算實例

例1： 已知極限狀態方程z=fw-1140=0;隨機變量f、w均服從正態分布,μf=38，δf=0.1；μw=54，δw=0.05，求可靠指標及驗算點計算結果見表1。

表1 計算結果對比

例2：某矩形截面梁，b×h=250 mm×500 mm，as=35 mm，混凝土強度等級C30,鋼筋選用HRB400級，As=625 mm2, 永久荷載、可變荷載效應為SG、SQ(α1=1.0，fc=14.3 N/ mm2，fy=360 N/ mm2，ζb=0.52 ,ρmin=0.5 %)，各參數隨機變量均值與標準值見表2[6],求梁受彎極限承載力的可靠度。

(1)梁抗彎極限狀態方程為：

上式中Bm是指結構構件計算模式的不確定性，主要是指抗力計算中采用的基本假定的近似性和計算公式的不確定性。

(2)進行正態當量變換。

按等概率映射變換后所得結果見表2。

表2 各參數隨機變量均值與標準值

(3)將隨機變量x1～x8代入極限方程得

(0.04×y1+1.05)×{[(0.02×y7+465)×exp(0.0742×y2+5.95)×(0.014×y8+625)]-

(4)Matlab 程序如下

function f= example(y) %定義目標函數

f= sqrt(y(1) ^2+ y(2) ^2+ y(3) ^2+ y(4) ^2+ y(5) ^2+y(6) ^2+ y(7) ^2+ y(8)^2) ;

function [c,ceq] = example1(y)

%定義約束條件函數

c=(0.04*y(1)+1.05)*(((0.02*y(7)+465)*exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))-0.5*((exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))^2/((4.437*y(3)+26.1)*(0.01*y(6)+250)))-3.3*y(4)-30 000 000-40 000 000+(log(-log(normcdf(y(5),0,1))))/0.2136)

ceq= [];

%主程序為:

y0= [0,0,0,0,0,0,0,0]； %初始迭代點,可取均值。

A=[];

b=[];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[];

vub=[];

[y,fval]=fmincon(@example,y0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,@example1) %調用優化工具箱求解

計算結果：y = (-0.0015 -5.9017 -0.4242 0.0005 0.0005 0.0004 -0.0031 -0.0013)

β=5.9169

5 結論

本文首先從可靠度指標的幾何涵義出發，導出其求解可靠度指標的優化數學模型, 用最優化法求可靠度指標, 整個求算過程只用到目標函數值, 沒有將極限狀態方程作線性化展開，不用進行迭代次計算，可以避免線性化帶來的近似性。由算例1可知所得的結果與按JC 法和Monte·Carlo 法是一致的。同時, 此法求解簡單, 意義明確, 程序通用性高, 它既克服了JC法迭代計算的繁瑣過程, 又克服了Monte· Carlo 法計算效率低下的缺點。

由算例2證明，梁受彎承載能力為非線性極限狀態方程，有許多非正態分布的隨機變量，且不易求導，與其他方法相比,使用最優化理論對結構進行可靠度分析方法實用，計算結果合理，計算工作量小. 這為進一步研究復雜結構的可靠性提供了參考。

Matlab具有非常豐富和強大的功能,可以非常方便地編寫出簡潔高效的可靠度計算程序, 大大提高可靠性分析計算的工作效率。基于Matlab的可靠性快速算法的研究與開發具有良好的應用前景和工程實用價值。

[1] 趙國藩.結構可靠度理論[M].北京:中國建筑工業出版社,2000

[2] 許波.Matlab 工程數學應用[M].北京:清華大學出版社, 2000

[3] 陳懷琛.Matlab及其在理工課程中的應用指南[M].西安:西安電子科技大學出版社,2004

[4] GB 50068-2001建筑結構可靠度設計統一標準[S]

[5] 薄士威.基于Matlab7.0的梁板結構可靠度指標求解[J].水利與建筑工程學報,2009,(12)

[6] 馬宏旺.鋼筋混凝土梁抗震可靠度校核以及強剪弱彎設計可靠性分析[J].建筑結構,2000,(10)