模型縮聚法在桁架結構損傷識別中的應用

潘曉威，方有亮，毛卓能

(河北大學建筑工程學院，河北保定071002)

1 損傷識別簡介

損傷識別技術是當前土木工程領域研究的難點和熱點問題，它的基本思想是利用健康結構的數學模型和振動實驗數據與損傷結構的振動響應進行比較，從而判定結構損傷位置及程度[1]。我們知道，凡是需要用到實測模態信息的損傷識別方法都要求實測模態的自由度與有限元模型的自由度數一致。而實際測量中會因為比如傳感器數量、結構的某些部位難以布置傳感器或者某些自由度無法測量的原因，造成實測自由度與數值模擬自由度的不匹配。為了解決實測自由度少于有限元模型自由度數的問題，通常都采用模型縮聚或振型擴充方法。前者是將有限元模型的自由度縮聚到結構測試自由度，即模型縮聚，后者是將結構測試自由度擴充至與有限元模型自由度一致，即模態擴展[4]。本文利用改進的Guyan縮聚法[5]對一平面桁架結構進行模態分析，然后用曲率模態方法[2]對該平面桁架結構進行損傷識別。

2 曲率模態法

由材料力學理論可知，對于梁類構件，曲率是抗彎剛度的函數，它與抗彎剛度成反比，結構發生局部損傷處的抗彎剛度會降低，所以曲率函數在損傷處會突變，根據曲率函數的突變可以進行結構損傷識別。曲率一般不能直接測量，其計算通常采用中心差分法求得，如式(1)所示。

y″=(yi+1-2yi+yi-1)/l2

(1)

3 改進的Guyan縮聚法

設一個n自由度系統的剛度矩陣為K，質量矩陣為M，特征值和特征向量為λj和φj(j=1～n),其中振型φj可表示為：

(2)

(3)

由式(3)的第2式可得：

(4)

因為Guyan縮聚法[3]略去了慣性量，所以對于Guyan縮聚法只有當被縮減的自由度對應的質量很小時才較精確，若被縮減的自由度有較大質量則該方法有較大誤差。本文利用改進的Guyan縮聚法，將式(4)按Nummman級數展開得：

(5)

其中“ο”表示高階無窮小。將式(5)省略高階項得：

(6)

由式(3)的第1式可得：

(7)

對于許多結構的有限元模型而言，質量矩陣通常采用對角矩陣，那么有

Mms=Msm=0

(8)

式(8)代入式(7)并整理可得：

(9)

式(8)、式(9)代入(6)整理可得：

(10)

由式(10)可得：

(11)

故改進的縮聚公式為：

(12)

即轉換矩陣T為：

(13)

式(12)和式(13)代入式(3)可得：

KTφmj=λjMTφmj

(14)

式(14)兩邊各乘TT可得：

TTKTφmj=λjTTMTφmj

(15)

令

Kr=TTKT

(16)

Mr=TTMT

(17)

則縮聚后的特征方程為：

Krφmj=λjMrφmj

(18)

顯然，Kr和Mr的階數比原來的K和M減小了，式(18)即可得到縮聚后的各階頻率和振型。

4 數值算例

4.1 方法驗證

本文計算模型采用如圖 1所示兩端固定的平面桁架結構。模型全長跨度c=18m,高h=4m，節點數為12個，桿單元21個。桿單元截面積為A=2 800mm2，材料密度為ρ=7 850kg/m3，彈性模量為E=2.1×1011Pa。

圖 1 平面桁架結構模型(單位： mm)

采用ANSYS軟件對結構進行模態分析所得到的前五階振型及頻率如圖2所示。

(a)一階模態振型(頻率 28.762 Hz)

(b)二階模態振型(頻率 56.927 Hz)

(c)三階模態振型(頻率 76.017 Hz)

(d)四階模態振型(頻率 105.971 Hz)

(e)五階模態振型(頻率 141.268Hz)圖2 桁架結構各階模態振型及頻率

利用改進的Guyan縮聚法縮聚其每一節點的水平自由度，得到前五階頻率，其結果如表 1所示。

表1 前五階頻率結果比較

從上表中可以看出在平面桁架結構中，利用改進的Guyan縮聚法縮聚水平自由度能夠得到很精確的結果，誤差非常小。

4.2 損傷識別

利用改進的Guyan縮聚法，縮聚掉每一個節點的水平自由度達到實測自由度與理論自由度相匹配，為簡化計算，僅考慮模型主振型方向，計算下弦節點的曲率模態。曲率計算采用中心差分法。損傷單元采用減小彈性模量E來模擬，假定該桁架結構第6號單元損傷25 %，計算過程如表 2所示。

表2 桿單元無損傷和損傷時各階曲率模態

6號桿損傷時，利用Matlab軟件編程計算，其曲率模態變化量如下圖3所示。

圖3 桁架6桿單元損傷25 %時的曲率模態變化量

從圖3中可以看到，6號桿的端節點3和5處的曲率模態發生突變，從而可以判定桿件的損傷。同時，可觀察到，對于6號桿的損傷，各階均有較好的識別效果，其中二階曲率模態變化最突出，識別效果最好。

5 結論

本文利用改進的Guyan縮聚法縮聚平面桁架結構的水平自由度達到實測自由度與理論自由度相匹配，通過數值模擬計算對該平面桁架結構進行損傷識別，結果表明：

(1)采用改進的Guyan縮聚法縮聚其水平自由度得到的頻率的數值很準確，誤差很小。由于該方法是對質量矩陣和剛度矩陣進行縮聚，因此只有在縮聚的自由度質量很小，而剛度很大時才比較合理。此外，隨著頻率的增大，誤差將變大，所以該方法適用于分析低階模態。

(2)利用改進的Guyan縮聚法進行自由度匹配后可進行桿單元的損傷識別。

[1] 劉偉，高維成，孫毅.自由度匹配技術在網殼結構損傷識別應用中的比較研究[J].振動與沖擊，2007，(2)

[2]PandeymBiswas,Sammanmm.Damagedetectionfromchangesincurvaturemodeshapes[J].JournalofSoundandVibration,1991,145 (2):321-332

[3]R.JGuyan.ReductionofStiffnessandmassmatrices[J].AIAAJournal.1965,13(1):380

[4]J.CO’Callahan.AProcedureforImprovedReducedSystem(IRS)model[J].In:AlfredLW,DominickJ,Demichele,eds.Proceedingsofthe7thInternationalmodalAnalysisConference,LasVegas,1989-02-20-22.Kissimmee:UnionCollege.1989:17-21

[5] 楊秋偉，劉濟科.一種改進的模型縮聚方法[J].力學與實踐,2006,28(2)