雙曲空間中的拉普拉斯算子

王全勝

(荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000)

雙曲空間中的拉普拉斯算子

王全勝

(荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000)

拉普拉斯算子是黎曼流形上一類重要的微分算子，流形上很多問題的研究都與拉普拉斯算子有關。文章得到了不同雙曲空間模型中拉普拉斯算子的計算公式，利用這些計算公式，通過計算具體函數的拉普拉斯，可以直觀地看到拉普拉斯算子與度量密切是相關的。

拉普拉斯算子；雙曲空間；黎曼度量

0 引言

拉普拉斯算子是黎曼流形上一類重要的微分算子，流形上很多問題的研究都與拉普拉斯算子有關(如流形的譜問題)，因而掌握拉普拉斯算子的計算方法是重要的。設M是一個n維的黎曼流形，g,△分別是M上的黎曼度量(度量也可用ds2表示)和拉普拉斯算子，當M的截曲率是常數時，這樣的黎曼流形被稱為空間形式。常見的空間形式有三種，而雙曲空間形式(一般稱為雙曲空間)是其中一種，其截曲率為-1。空間形式是黎曼流形中很重要的模型，是學習黎曼流形的基礎。而相對于另外兩種空間形式歐氏空間和單位球來說，對雙曲空間的理解就要困難一些。而在本文中，我們的目的就是要得到雙曲空間中拉普拉斯算子的具體表述形式。但黎曼流形的度量并不是唯一的，而拉普拉斯算子與度量又密切相關，要完全給出雙曲空間上拉普拉斯算子的表述形式非常困難。因此，在本文中，我們將先給出雙曲空間的一些常見度量，然后給出這些度量下拉普拉斯算子的表述形式。下文先介紹一些與本文研究問題相關的知識。

1 預備知識

對于黎曼流形上的拉普拉斯算子，通常的定義的方法是先梯度后散度，即是由梯度算子和散度算子的一種復合算子。以下簡要介紹這幾種算子，具體細節可參看文獻[1-2]。

(1)

設n維雙曲空間Hn是n+1維歐氏空間Rn+1的浸入子流形，在文獻[3]中，給出下述基本型：

H={(1,x2,…,xn+1):xn+1>0}

關于這三種基本型的度量分別為：

(2)

(3)

(4)

接下來，我們將給出在這三種度量下雙曲空間的拉普拉斯算子的表述形式。

2 主要結果及其證明

在文獻[4]中，作者給出了一類乘積流形上的拉普拉斯算子的具體表達式。在本節中，我們將導出在第1節給出的三種度量下雙曲空間的拉普拉斯算子的表述形式。關于雙曲空間的具體內容可參看文獻[5]。

定理1 設雙曲空間中，三種度量對應的拉普拉斯算子分別為ΔH,ΔI,ΔJ，則其分別為：

證明由式(2)可知，在第一種度量下，有：

再由式(1)，可知

同樣由式(2)可知，在第二種度量下，有：

同樣由式(1)，可知

作與前兩種情形類似的計算，可知在第三種度量下，有：

gij=δij,i,j=1,…,n;gn+1,n+1=-1

再由式(1)，可知

至此，定理1得證。

3 計算實例

下文給出一個拉普拉斯的計算實例。利用上文給出的拉普拉斯算子的計算公式，計算最后一個坐標函數xn+1的拉普拉斯算子。

例1 由定理1直接計算可得：

ΔHxn+1=(2-n)xn+1,

ΔKxn+1=0。

由上面的例子可以看到，拉普拉斯算子的計算和度量是密切相關的。

[1] 陳維桓,李興校.黎曼流形[M].北京:北京大學出版社,2002.

[2] Petersen P.Riemannian geometry[M].2nd ed.New York:Springer,2006.

[3] Cannon J W.Hyperbolic geometry[J].Flavors of Geometry,1997(31):59-111.

[4] 王全勝.乘積流形R×N上的拉普拉斯算子[J].科技創新導報,2013(27):208.

[5] Anderson J W.Hyperbolic geometry[M].2nd ed.London:Springer,2006.

2014-04-02

王全勝(1973-)，男，湖北公安人，荊楚理工學院講師，碩士。研究方向：函數分析與幾何分析。

O189.3

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1008-4657(2014)04-0076-03

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