BL-代數的余零化算子及其BL同態像

王霞霞, 吳洪博

(陜西師范大學 數學與信息科學學院, 西安 710062)

BL-代數的余零化算子及其BL同態像

王霞霞, 吳洪博

(陜西師范大學 數學與信息科學學院, 西安 710062)

通過在BL-代數中給出單點余零化算子的概念, 研究單點余零化算子的基本性質; 在BL-代數中討論多點余零化算子的基本性質, 并給出BL-代數的一個子集是多點余零化算子像的充要條件; 研究多點余零化算子BL同態像的性質并分別給出余零化算子的BL同態像和余零化算子的BL同態原像是余零化算子像的充要條件.

模糊邏輯; BL-代數; 單點余零化算子; 多點余零化算子; BL同態

模糊邏輯作為非經典數理邏輯的一個重要分支是人工智能與信息科學等許多領域中推理機制的基礎.隨著模糊命題邏輯系統的發展, 各種模糊邏輯代數相繼出現, 如文獻[1-2]將蘊涵算子引入格結構中建立了格蘊涵代數; 文獻[3]以MV代數和R0代數為特例建立了BR0代數; Hjek[4]基于連續三角模在剩余格的理論框架提出了一種新的模糊邏輯系統----BL-系統和相應的邏輯代數系統----BL-代數; 文獻[5-11]從多角度對BL-代數的性質進行了研究; 文獻[12-13]對格蘊涵代數的零化子進行了研究.本文在文獻[5,12-13]的基礎上, 在BL-代數中提出單點余零化算子和多點余零化算子的概念, 并對其基本性質進行研究, 給出了BL-代數的子集是余零化算子像的充要條件; 研究了多點余零化算子的BL同態像, 并分別得到了BL-代數的余零化算子的同態像是余零化算子像的充要條件和BL-代數的余零化算子的同態原像是余零化算子像的充要條件.

1 預備知識

定義1[14]設P是偏序集, 若下列條件成立:

1) ?:P×P→P是單調遞增的;

2) →:P×P→P關于第一變量是不增的, 關于第二變量是不減的;

3)a?b≤c當且僅當a≤b→c,a,b,c∈P.

則P上的二元運算?和→稱為互為伴隨; (?,→)稱為P上的伴隨對.

定義2[14]若下列條件成立:

1)L上有伴隨對(?,→);

2) (L,?,→)是帶單位1的交換半群, 這里1是L中的最大元.

則有界格L稱為剩余格.

定義3[3]?a,b∈L, 若滿足下列條件:

1)a∧b=a?(a→b);

2) (a→b)∨(b→a)=1.

則剩余格L稱為BL-代數.

引理1[5-6]設L是BL-代數, ?a,b,c∈L, 有:

1)a?b≤a∧b≤a∨b;

2)a≤b當且僅當a→b=1;

3) 1→a=a;

4)a∧b≤a→b;

5)a?(a→b)≤b;

6)b≤a→(a?b);

7) 當b≤c時,a→b≤a→c;

10)a∨b=((a→b)→b)∧((b→a)→a);

11) BL-代數L是分配格.

2 BL-代數的單點余零化算子

d:L→P(L)

定義4設L是BL-代數, 若其滿足: ?a∈L,d(a)={x∈L|a∨x=1}, 則稱d:L→P(L)為BL-代數中的單點余零化算子, 這里P(L)指L的冪集(下同).

命題1若d是BL-代數L中的單點余零化算子, ?a,b∈L, 則下列結論成立:

1)d(1)=L,d(0)={1};

2) 若a≤b, 則d(a)?d(b);

3)d(a)∪d(b)?d(a∨b);

4)d(a)∩d(b)=d(a∧b)?d(a→b);

5)d(a?b)=d(a)∩d(b);

6) 若x∈d(a), 則x→0≤a.

證明: 1) ① ?x∈L, 由x∨1=1知x∈d(1), 即L?d(1), 又d(1)?L, 因此d(1)=L; ② ?x∈d(0), 由定義4知x∨0=1, 因此x=1, 所以d(0)={1}.

2) ?x∈d(a), 由a≤b得b∨x≥a∨x=1, 所以x∈d(b), 于是d(a)?d(b).

3) ?x∈d(a)∪d(b),x∈d(a)或x∈d(b), 即a∨x=1或b∨x=1, 因此(a∨b)∨x=1, 所以x∈d(a∨b), 于是d(a)∪d(b)?d(a∨b).

4) ①x∈d(a)∩d(b)當且僅當x∈d(a)且x∈d(b)當且僅當a∨x=1且b∨x=1當且僅當(a∧b)∨x=(a∨x)∧(b∨x)=1(引理1中11))當且僅當x∈d(a∧b), 所以d(a∧b)=d(a)∩d(b); ② 由引理1中4)知a∧b≤a→b, 結合2)知d(a∧b)?d(a→b).

5) 一方面, 若x∈d(a?b), 則由引理1中1)知a?b≤a∧b, 結合2)得x∈d(a∧b), 再結合4) 知x∈d(a)∩d(b), 即d(a?b)?d(a)∩d(b); 另一方面, 若x∈d(a)∩d(b), 則x∈d(a)且x∈d(b), 即a∨x=1且b∨x=1, 所以

從而(a?b)∨x=1, 即x∈d(a?b), 于是d(a)∩d(b)?d(a?b), 綜合得d(a?b)=d(a)∩d(b).

6) 若x∈d(a), 則由定義4和引理1中10)知(x→a)→a≥x∨a=1, 從而結合引理1中2)得x→a≤a, 又由引理1中7)知x→a≥x→0, 所以a≥x→0.

定義5設L是BL-代數, ?a∈L, 定義

則稱an為a的n次冪.

推論1設L是BL-代數,d是BL-代數中的單點余零化算子, 則?a,b∈L, 有d(a?b)=d(a∧b).特別地, 有?n∈,n≥1,d(an)=d(a).

證明: 1) 由命題1中4),5)知d(a?b)=d(a∧b).

2) 當n=1時, 結論顯然成立.假設n=k時結論成立, 即d(ak)=d(a), 則當n=k+1時, 由1)知d(ak+1)=d(ak?a)=d(ak∧a), 又由定義1中1)知ak≤a, 從而d(ak+1)=d(ak)=d(a).

由數學歸納法知結論成立.

定理1設L是BL-代數,d是BL-代數中的單點余零化算子, 則?a,x,y∈L, 有:

1)d(a)是上集, 即若x∈d(a)且x≤y, 則y∈d(a);

2) 當x∈d(a),y∈d(a)時,x?y∈d(a).

證明: 1) 若x∈d(a)且x≤y, 則由d的定義知y∨a≥x∨a=1, 即y∈d(a).

2) 若x∈d(a),y∈d(a), 則a∨x=1,a∨y=1, 因此由d的定義知a∈d(x),a∈d(y), 所以a∈d(x)∩d(y), 再結合命題1中5)知a∈d(x?y), 即a∨(x?y)=1, 從而x?y∈d(a).

定理2設L是BL-代數,d是BL-代數中的單點余零化算子,a,b∈L, ?x,y∈L, 有:

1) 若x∈d(a),y∈d(a∧b), 則x∨y∈d(b);

2) 若x∈d(a),y∈d(a?b), 則x∨y∈d(b);

3) 若x∈d(a),y∈d(a→b), 則x∨y∈d(b).

證明: 1) 由y∈d(a∧b)結合d(a∧b)?d(b)知y∈d(b), 再利用定理1中1)知x∨y∈d(b).

2) 由1)及推論1知結論成立.

3) 由x∈d(a),x≤x∨y結合定理1中1)知x∨y∈d(a), 同理由y∈d(a→b)知x∨y∈d(a→b), 所以x∨y∈d(a)∩d(a→b), 再結合命題1中5)知x∨y∈d(a?(a→b)), 又由引理1中5)知a?(a→b)≤b, 因此由命題1中2)知d(a?(a→b))?d(b), 所以x∨y∈d(b).

定理3設L是BL-代數,d是BL-代數中的單點余零化算子,a,b∈L, 若x∈d(a),y∈d(b), 則x?y,x→y,x∨y,x∧y∈d(a∨b).

證明: 由x∈d(a),y∈d(b)結合d(a),d(b)?d(a∨b)知,x,y∈d(a∨b), 再利用定理1中2)知x?y∈d(a∨b).又由引理1中1)知x?y≤x∧y,x?y≤x∨y, 再利用引理1中4)知x?y≤x→y, 最后結合定理1中1)知結論成立.

3 BL-代數的多點余零化算子

D: P(L)→P(L)

定義6設L是BL-代數, 若?A?L,D(A)={x∈L|a∨x=1, ?a∈A}, 則稱D: P(L)→P(L)為BL-代數中的多點余零化算子.

命題2若D是BL-代數L中的多點余零化算子, 則?A,B?L, 下列結論成立:

1)D({1})=L,D(L)={1};

3) 若A?B, 則D(B)?D(A);

4)A?D(D(A)),D(A)=D(D(D(A)));

5)D(D(A))∩D(A)={1};

6)D(A∪B)=D(A)∩D(B);

7)D(A)∪D(B)?D(A∩B).

證明: 1) ①由命題1中1)的證明過程知D({1})=L; ② ?x∈D(L), 又0∈L, 由定義6知x∨0=1, 即x=1, 所以D(L)={1}.

3),4)證明過程參見文獻[5].

5) 若x∈D(D(A))∩D(A), 則由定義6知x=x∨x=1, 即D(D(A))∩D(A)?{1}, 而由?a∈A, 1∨a=1知1∈D(A), 同理1∈D(D(A)), 從而1∈D(D(A))∩D(A).所以結論成立.

6) 一方面, 由A?A∪B,B?A∪B結合3)知D(A∪B)?D(A)且D(A∪B)?D(B), 所以D(A∪B)?D(A)∩D(B); 另一方面, ?x∈D(A)∩D(B), 則有x∈D(A),x∈D(B), 所以?c∈A∪B, 總有c∨x=1, 即x∈D(A∪B), 所以D(A)∩D(B)?D(A∪B).綜合得6)成立.

7) 因為A∩B?A,A∩B?B, 因此利用3)知D(A)?D(A∩B),D(B)?D(A∩B), 所以7)成立.

定理4設L是BL-代數,D是BL-代數的多點余零化算子,A是L的非空子集, 則?x,y∈L, 有:

1)D(A)是上集, 即若x∈D(A)且x≤y時,y∈D(A);

2) 當x∈D(A),y∈D(A)時,x?y∈D(A).

證明: 1) 若x∈D(A),x≤y, 則由?a∈A,y∨a≥x∨a=1知y∈D(A).

定理5設L是BL-代數,D是BL-代數中的多點余零化算子,A,B是L的非空子集, ?x,y∈L, 若x∈D(A),y∈D(B), 則: 1)x∨y∈D(A∪B); 2)x∧y∈D(A∩B).

證明: 1) 若x∈D(A),y∈D(B), 則由定理4中1)及x∨y≥x,x∨y≥y知,x∨y∈D(A)且x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B), 再結合命題2中6)知結論成立.

2) 若x∈D(A),y∈D(B), 則由A∩B?A,A∩B?B結合命題2中3)知x∈D(A∩B),y∈D(A∩B), 再利用定理4中2)知x?y∈D(A∩B), 又因為x?y≤x∧y, 所以由定理4中1)有x∧y∈D(A∩B).

定理6設L是BL-代數,A,B是L的子集,D是L的多點余零化算子, 則D(A)∩D(B)={1}的充要條件是D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)).

證明: 必要性.?x∈D(A), ?y∈D(B), 由定理4知D(A),D(B)是上集, 再結合x∨y≥x,x∨y≥y知x∨y∈D(A),x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B).而由D(A)∩D(B)={1}知x∨y=1, 所以由BL-代數的多點余零化算子D的定義知x∈D(D(B))且y∈D(D(A)), 從而得D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)).

充分性.若D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)), 則D(A)∩D(B)?D(D(B))∩D(B).而由命題2中5)知D(D(B))∩D(B)={1}, 所以有D(A)∩D(B)?{1}, 又由定理4知1∈D(A)∩D(B), 所以D(A)∩D(B)={1}.

定理7設L是BL-代數,F是L的非空子集,D是L的多點余零化算子, 則存在A?L, 使得F=D(A)的充要條件是F是上集, 且D(D(F))=F,F∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)={1}.

證明: 必要性.若F=D(A), 則由定理4中1)知F是上集, 由命題2中4)得D(D(F))=D(D(D(A)))=D(A)=F, 由命題2中5)知

F∩D(D(A))=D(A)∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)=D(A)∩D(D(A))={1}.

充分性.若F∩D(D(A))={1}, 則由F是上集結合定理6必要性的證明過程知F?D(D(D(A))), 又由命題2中4)知D(D(D(A)))=D(A), 所以F?D(A).又若D(A)∩D(F)={1}, 則由定理6知D(A)?D(D(F)), 又D(D(F))=F, 所以D(A)?F, 綜合得F=D(A).

4 BL-代數多點余零化算子的BL同態像

定義7[5]設L,K是BL-代數,f:L→K是L到K的映射, 若?x,y∈L,f(x→y)=f(x)→f(y),f(x?y)=f(x)?f(y),f(0L)=0K, 則稱f為從L到K的BL同態.

若BL同態映射f是一一映射, 則稱f為BL同構映射.

引理2[5]設L,K是BL-代數,f:L→K是L到K的BL同態, 則?x,y∈L, 有： 1)f(x∨y)=f(x)∨f(y); 2)f(x∧y)=f(x)∧f(y).從而BL同態是剩余格同態.

定義81) 設L,K是BL-代數,f:L→K是L到K的BL同態,A?L, 令f(A)={f(x)|x∈A}, 則稱f(A)為A的BL同態像.

2) 設L,K是BL-代數,f:L→K是L到K的BL滿同態,B?K, 令f-1(B)={x∈L|f(x)∈B}, 則稱f-1(B)為B的BL同態原像.

定理8設L,K是BL-代數,f:L→K是BL同態,D是BL-代數的多點余零化算子,A是L的非空子集, 則f(D(A))?D(f(A)).

證明: ?y∈f(D(A)), ?x∈D(A), 使得f(x)=y, 又?z∈f(A), ?a∈A, 使得f(a)=z, 所以由引理2知y∨z=f(x)∨f(a)=f(a∨x).而由定義6知a∨x=1L, 再利用BL同態定義知

f(a∨x)=f(1L)=f(0L→0L)=0K→0K=1K,

所以y∨z=1K, 即y∈D(f(A)).

圖1 L的結構Fig.1 Structure of L

例1多點余零化算子的BL同態像不必是多點余零化算子的像, 即設L,K是BL-代數, 映射f:L→K是一個BL同態,A是L的非空子集,D是BL-代數的多點余零化算子, 則f(D(A))不必是K中多點余零化算子的像.

證明: BL-代數L={0,a,b,1}, 其結構如圖1所示, 其中“→”和“?”運算列于表1.BL-代數K={0,1/2,1}, 其中“→”和“?”運算列于表2.

表1 例1中L的運算Table 1 Operation of L for example 1

表2 例1中K的運算Table 2 Operation of K for example 1

1) 取f(1)=f(a)=1,f(0)=f(b)=0, 則可驗證f:L→K是一個BL同態.

2) 取A={a}, 則D(A)={b,1},f(D(A))={0,1}, 可見f(D(A))不是K中的上集, 從而由定理4知不存在B?K, 使得f(D(A))=D(B).

定理9設L,K是BL-代數,f:L→K是BL滿同態,B是K的非空子集,D是BL-代數的多點余零化算子, 則f-1(D(B))?D(f-1(B)).

證明: 設x∈D(f-1(B)), ?b∈B, 由f是滿同態知存在a∈L, 使得f(a)=b, 即a∈f-1(B), 由定義6知x∨a=1, 所以由引理2知

f(x)∨b=f(x)∨f(a)=f(x∨a)=f(1)=1.

因此由定義6知f(x)∈D(B), 即x∈f-1(D(B)), 所以f-1(D(B))?D(f-1(B)).

例2多點余零化算子的BL同態原像不必是多點余零化算子的像, 即設L,K是BL-代數, 映射f:L→K是一個BL滿同態,B是K的非空子集,D是BL-代數的多點余零化算子, 則f-1(D(B))不必是L中多點余零化算子的像.

證明: BL-代數L={0,1/2,1}, 其中“→”和“?”運算列于表3.BL-代數K={0,1}, 其中“→”和“?”運算列于表4.

表3 例2中L的運算Table 3 Operation of L for example 2

表4 例2中K的運算Table 4 Operation of K for example 2

1) 取f(1)=f(1/2)=1,f(0)=0, 則可驗證f:L→K是一個BL滿同態.

2) 取B={0}, 則D(B)={1},f-1(D(B))={1,1/2}, 可驗證f-1(D(B))是L的一個上集, 所以由定理7知不存在A?L, 使得f-1(D(B))=D(A).

定理10設L,K是BL-代數,f:L→K是BL同態,A是L的非空子集,D是BL-代數的多點余零化算子, 則f(D(A))=D(f(A))的充要條件是:

1)D(D(f(D(A))))=f(D(A)); 2)D(f(A))∩D(f(D(A)))={1}.

證明: 必要性.若f(D(A))=D(f(A)), 則結合命題2中4)知

D(D(f(D(A))))=D(D(D(f(A))))=D(f(A))=f(D(A)),

由命題2中5)知

D(f(A))∩D(f(D(A)))=D(f(A))∩D(D(f(A)))={1}.

結論成立.

充分性.由定理8知f(D(A))?D(f(A)).而由2)成立, 再結合定理6得D(f(A))?D(D(f(D(A)))), 又由1)成立, 所以D(f(A))?f(D(A)).綜合得f(D(A))=D(f(A)).

定理11設L,K是BL-代數,f:L→K是BL滿同態,B是K的非空子集,D是BL-代數的多點余零化算子, 則f-1(D(B))=D(f-1(B))的充要條件是f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

證明: 必要性.若f-1(D(B))=D(f-1(B)), 則由命題2中5)知

f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))=D(f-1(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

充分性.首先f-1(D(B))是L中的一個上集.事實上, 設x∈f-1(D(B)),y∈L, 若y≥x, 則f(y)≥f(x), 又f(x)∈D(B), 所以由定理4知f(y)∈D(B), 即y∈f-1(D(B)).因此由f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}， 再結合定理7充分性的證明可得f-1(D(B))?D(f-1(B)).又由定理9知f-1(D(B))?D(f-1(B)).綜合得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

定理12設L,K是BL-代數, 映射f:L→K是一個BL同構,D是BL-代數的多點余零化算子,A是L的非空子集,B是K的非空子集, 則f(D(A))=D(f(A)),f-1(D(B))=D(f-1(B)).

證明: 1) 由定理8知f(D(A))?D(f(A)), 因此只需證明D(f(A))?f(D(A)).事實上,y∈D(f(A)), 則由f是BL同構知f是滿射, 即?x∈L使得f(x)=y.又?a∈A有f(a)∈f(A), 因此由引理2及定義6得f(x∨a)=f(x)∨f(a)=y∨f(a)=1K, 進而由f是單射知a∨x=1L, 所以有x∈D(A), 從而有y∈f(D(A)), 故D(f(A))?f(D(A)).綜上得f(D(A))=D(f(A)).

2) 由定理9知f-1(D(B))?D(f-1(B)), 因此只需證明D(f-1(B))?f-1(D(B)).事實上,x∈f-1(D(B)), 則f(x)∈D(B), 又?a∈f-1(B),f(a)∈B, 因此由引理2知f(x∨a)=f(x)∨f(a)=1K, 進而由f是單射知a∨x=1L, 所以有x∈D(f-1(B)), 從而D(f-1(B))?f-1(D(B)).綜上得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

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[14]王國俊.非經典數理邏輯與近似推理 [M].2版.北京: 科學出版社, 2008.(WANG Guojun.Non-classical Logic and Approximate Reasoning [M].2nd ed.Beijing: Science Press, 2008.)

Co-annihilatorOperatorofBL-AlgebrasandItsImageofBL-Homomorphism

WANG Xiaxia, WU Hongbo
(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Firstly, the definition of single-point co-annihilator operator was given in the BL-algebras, then some properties of single-point co-annihilator operator were studied.Secondly, some properties of multiple-point co-annihilator operator were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given for a subset being an image of multiple-point co-annihilator operator in the BL-algebras.Finally, some properties of multiple-point co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given when co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism and its inverse image of BL-homomorphism are the images of multiple point co-annihilator operator.

fuzzy logic; BL-algebra; single-point co-annihilator operator; multiple-point co-annihilator operator; BL-homomorphism

2014-02-20.

王霞霞(1989—), 女, 漢族, 碩士研究生, 從事格上拓撲與模糊邏輯的研究, E-mail: 767558905@qq.com.通信作者： 吳洪博(1959—), 男, 漢族, 博士, 教授, 從事格上拓撲與模糊邏輯的研究, E-mail: wuhb@snnu.edu.cn.

國家自然科學基金(批準號: 11171196).

O141.1

A

1671-5489(2014)06-1112-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.02

趙立芹)