?3中一類共線數(shù)字集自仿測度的譜性質

高 桂 寶

（1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，西安710062；2.運城學院 應用數(shù)學系，山西 運城044000）

0 引 言

目前，譜自仿測度問題的研究主要體現(xiàn)在兩方面：一方面，在什么條件下μM，D是一個譜測度［1－5］；另一方面，關于μM，D不是譜測度條件的研究［6－7］.文獻［8］討論了擴張整矩陣M和?3中的數(shù)字集D分別為M＝pI3，D＝｛0，1，l｝v或者D＝｛0，1｝v所產(chǎn)生自仿測度的譜與非譜性質，其中：p∈?＼｛0，±1｝；v＝｛α，β，γ｝T∈?3，α2＋β2＋γ2≠0.其譜性只與 M，D 有關，本文考慮當數(shù)字集的個數(shù)超過3時的情形，討論?3中的（M，D）對，其中M，D 分別為M＝pI3，D＝｛0，1，2，…，q－1｝v，這里：

得到了幾個μM，D的譜性與非譜性結果.

如果存在一個離散點集Λ??n，使得E（Λ）∶＝ ｛e2πi〈λ，x〉：λ∈Λ｝成為L2（μ）的一個正交基，則稱一個支撐在?n中緊集上的概率測度μ為譜測度，集合Λ稱為μ的一個譜.由仿射迭代函數(shù)系｛φd（x）＝ M－1（x＋d）｝d∈D迭代產(chǎn)生的不變測度μ∶＝μM，D滿足

猜測1［9－10］設M∈Mn（?）是擴張整數(shù)矩陣，D??n是有限集，且0∈D.如果存在S??n，0∈S，使得（M－1D，S）是和諧對，則μM，D是一個譜測度.

本文結果提供了支持猜測1和猜測2可能成立的理論依據(jù).

1 主要結果

定理1 設擴張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＝4，則：

1）當p∈4?＋｛1，3｝時，L2（μM，D）中至多有4個正交指數(shù)函數(shù)；

2）當p∈4?時，μM，D是譜測度.

M1＝B－1MB＝M，而μM，D與μM1，D1的譜性質相同.

令

從而μM，D與的譜性質相同.

從而

假設λj∈?2（j＝1，2，3，4，5）.使得

是Z1∪Z2∪Z3中的10個元素，由抽屜原理知，Zi（i＝1，2，3）中有一個集合至少包含前4個元素中的2個元素，而這是不可能的.例如，若λ2－λ1，λ3－λ1∈Z1，則

而λ3－λ2∈Z1∪Z2∪Z3與

2）由于p∈4?時，

定理1推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論1 設擴張矩陣M＝pIn和數(shù)字集D由式（1）給出（其中v∈?n且非零），q＝4，則：

1）當p∈4?＋｛1，3｝時，L2（μM，D）中至多有4個正交指數(shù)函數(shù)；

2）當p∈4?時，μM，D是譜測度.

對數(shù)字集個數(shù)q＞4時的情形有下列定理：

定理2 設擴張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＞4，則下列兩個結論成立：

2）L2（μM，D）空間中有無限相互正交的指數(shù)函數(shù)當且僅當p，q的最大公因子大于1.

證明：記

從而μM，D與譜性質相同.

對于μ＝μM，D，由式（2）可得

通過迭代有

其中

則

其中ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3）T∈?3.

記

設gcd（q，p）＝d.假設q和p互素，即d＝1.設

則

假設d＞1，顯然d≤q.

1）先考慮d＝q并且證明其對應的測度是譜測度.記p＝qr并定義

易驗證矩陣

是它的一個譜，等價于下列等式成立：

而

從而

定理2推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論2 設擴張矩陣M 和數(shù)字集D 分別為M＝pIn，D＝｛0，1，…，q－l｝v，其中p∈?＼｛0，±1｝，In是n階單位矩陣，v是?n中的非零列向量，則：

2）L2（μM，D）空間中有無限相互正交的指數(shù)函數(shù)當且僅當p，q的最大公因子大于1.

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［8］高桂寶.?3中共線數(shù)字集自仿測度的譜性質 ［J］.吉林大學學報：理學版，2014，52（2）：190－194.（GAO Guibao.Spectrality of Self－affine Measures with Collinear Digit Set on?3［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2014，52（2）：190－194.）

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